13.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 同步课时练-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练习按A级（7题）、B级（8题）、C级（1题）分层，聚焦圆柱、圆锥等旋转体，通过基础概念辨析、空间组合体分析到实际情境应用，培养几何直观与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|旋转体定义、简单计算|多选题结合钝角三角形旋转形成几何体，辨析题巩固球面与圆锥概念| |B级|组合体结构、轴截面应用|正方体与球的截面分析，内接正方体棱长计算，发展推理能力| |C级|实际问题建模|水管保温带螺旋包裹问题，体现数学应用意识与创新思维|

13.1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 A级 基础达标练 1.(多选题)以钝角三角形的某条边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体可以是(　　) A.两个圆锥拼接而成的组合体 B.一个圆台 C.一个圆锥 D.一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 2.下列几何体中,不是旋转体的是(　　) 3.下列结论中,正确的是(　　) A.半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球 B.直角三角形绕一直角边所在直线为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥 C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 D.用一个平面截圆锥,圆锥底面与截面组成的部分是圆台 4.用长为4,宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面的面积为(　　) A.8 B. C. D. 5.(2025新海月考)铜钱又称方孔钱,是古代钱币最常见的一种.如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”,由一个圆和一个正方形组成,若绕旋转轴(虚线)旋转一周,则形成的几何体是(　　) A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球挖去一个正方体 6.(2025镇江月考)如图,圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发,绕圆柱表面爬到BC的中点E,则蚂蚁爬行的最短距离为　　　　. 7.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. B级 能力提升练 8.如图所示的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是 A.一个棱柱中挖去一个棱柱 B.一个棱柱中挖去一个圆柱 C.一个圆柱中挖去一个棱锥 D.一个棱台中挖去一个圆柱 9.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面的可能图形是(　　) ① ② ③ ④ A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③ 10.(多选题)下列说法中,正确的是(　　) A.过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径 B.母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等 C.圆台中所有平行于底面的截面都是圆面 D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形 11.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1上、下底面中心分别为O1,O2,将正方体绕直线O1O2旋转一周,其中由线段BC1旋转所得图形是(　　) A　B　C　D 12.(2025启东月考)已知一个圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,这个内接正方体的顶点在圆锥的底面和侧面上,则此正方体的棱长为　　　　.  13.(2025无锡月考)若圆锥的侧面展开图是半径为5,面积为20π的扇形,则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为　　　　.  14.如图所示,四边形ABCD绕边AD所在的直线EF旋转,其中AD∥BC,AD⊥CD.当点A选在射线DE(除D点)上的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点. 15.如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10公里,母线长为40公里,B是母线SA上一点,且AB=10公里.为了发展旅游业,要建设一条最短的从A绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从A出发后首先上坡,随后下坡,求下坡段铁路的长度. C级 拓展探究练 16.(2025连云港期中)北方的冬天户外冰天雪地,若水管裸露在外,则管内的水就会结冰从而冻裂水管,给用户生活带来不便.每年冬天来临前,工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”:在水管外面包裹保温带,用一条保温带盘旋而上一次包裹到位.某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外,包裹水管的保温带都是四层):如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线,相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一.设水管的直径与保温带的宽度都为4 cm.在图2水管的侧面展开图中,此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)　　　　.  图1 图2 参考答案 1.AD　以钝角三角形的最长边所在的直线为轴,旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体,故A正确;以钝角三角形的较短边所在的直线为轴,旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥,故D正确.故选AD. 2.D 3.B　半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫作球,故A错误;当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时,其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥,故B正确;当两个平行截面不平行于上、下两个底面时,两个平行截面间的几何体不是旋转体,故C错误;当圆锥的截面不与底面平行时,圆锥底面与截面组成的部分不是圆台,故D错误.故选B. 4.B　当围成的圆柱底面周长为4,高为2时,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr=4,所以r=,所以轴截面是长为2,宽为的矩形,所以轴截面的面积为2×.同理,当围成的圆柱底面周长为2,高为4时,轴截面的面积也为. 5.B　圆及其内部旋转一周后所得几何体为球,而矩形及其内部绕一边所在直线旋转后所得几何体为圆柱,故题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为一个球挖去一个圆柱,故选B. 6.2　如图,将圆柱侧面展开半周,则展开矩形长为2π, BE=2,所以AE==2. 7.解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示). 由已知可得上底面半径O1A=2 cm, 下底面半径OB=5 cm, 又因为腰长为12 cm,所以高AM==3(cm). (2)如图所示,延长BA,OO1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l,则由△SAO1∽△SBO可得,解得l=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 8.B　螺栓是圆柱,螺母的横截面是六边形内有一个圆,所以螺母可以看成一个棱柱中间挖去一个圆柱.故选B. 9.A　当截面平行于正方体的一个侧面时得③;当截面过正方体的体对角线时可得④;当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时,可得①.但无论如何都不能截得②.故选A. 10.ACD 11.D　设正方体的棱长等于a, ∵BC1的中点到旋转轴的距离等于a,而B、C1两点到旋转轴的距离等于a, ∴BC1的中点旋转一周,得到的圆较小,可得所得旋转体的中间小,上、下底面圆较大. 由此可得B项不符合题意,舍去. 又∵在所得旋转体的侧面上有无数条直线,且直线的方向与旋转轴不共面, ∴A、C两项不符合题意,只有D项符合题意.故选D. 12.　作出圆锥的一个轴截面,如图所示,其中AB,AC为母线,BC为底面直径,DG,EF是正方体的棱,DE,GF是正方体的上、下底面的对角线.设正方体的棱长为x,则DG=EF=x,DE=GF=x.依题意,得△ABC∽△ADE, ∴, ∴x=,即此正方体的棱长为. 13.　设圆锥的底面圆半径为r,则×2πr×5=20π,解得r=4, 设截面与圆锥底面的交线长为a(0<a≤8), 由题意知,截面是一个等腰三角形,截面三角形的高h=, 所以截面面积S=ah=,当且仅当=25-,即a=5∈(0,8]时等号成立. 14.解 当AD>BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得的空间图形是由底面半径为CD的圆柱和圆锥组成的空间图形,当AD=BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得的空间图形是圆柱,当0≤AD<BC时,四边形ABCD绕直线EF旋转一周所得的空间图形是一个圆柱中挖去一个同底的圆锥. 15.解 如图,展开圆锥的侧面,过点S作A'B的垂线,垂足为H, 记点P为A'B上任意一点,连接PS,=∠A'SA·SA=2π·10⇒∠A'SA=, 由两点之间线段最短,知观光铁路为图中的A'B,A'B==50, 上坡即P到山顶S的距离PS越来越小,下坡即P到山顶S的距离PS越来越大, ∴下坡段的铁路即图中的HB, 由Rt△SA'B∽Rt△HSB, 可得,可求出HB==18, 即下坡段铁路的长度为18公里. 16.　过点A作AE⊥D'B',垂足为E,其展开图如图所示. 因为水管直径为4 cm,所以水管的周长为AE=4π cm, ∠AB'E=α, 又B'E=×4=1,AB'=, 所以cos α=. 学科网（北京）股份有限公司 $