精品解析：吉林长春市第八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

长春八中2025-2026学年度下学期期中考试 高二年级（数学）试卷 出题人：吴宇杰 审题人：杨帆、王丽梅 时 间：120分钟 分 值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 离散型随机变量的分布列为 0 1 2 4 5 0.3 0.2 0.2 0.1 则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 3. 命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 7. 有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 300 B. 360 C. 390 D. 420 8. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有 A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量、满足，则 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若某地区狗的寿命超过15岁的概率为，超过20岁的概率为，那么该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为 D. 命题“，”的否定形式是“，或” 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程，则变量与负相关 B. 设，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 11. 设．且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为__． 13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 14. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设函数，其中．已知在处取得极值． （1）求的解析式； （2）求在点处的切线方程． 16. 为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 17. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望． 18. 2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关； 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 100 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差． 附：，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. （1）已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春八中2025-2026学年度下学期期中考试 高二年级（数学）试卷 出题人：吴宇杰 审题人：杨帆、王丽梅 时 间：120分钟 分 值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 离散型随机变量的分布列为 0 1 2 4 5 0.3 0.2 0.2 0.1 则下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质求出，结合数学期望及方差公式求解即可. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，得，解得. 所以，故AB错误. ，故C错误，D正确. 3. 命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 4. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由对立事件求出，再结合条件概率公式求出，进而求解即可. 【详解】因为，所以． 所以 ． 由，得 ． 所以． 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可. 【详解】对选项A， ， 令，得，令，得， 所以，故A错误. 对选B，因为， 所以表示的各项系数之和， 令，则，故B正确. 对选项C，，所以，故C错误. 对选项D，因为，， 令，则， 则，故D正确. 故选：BD 6. 十五五规划将商业航天定位为战略性新兴产业，意味着未来几年将是这个领域高速发展的关键时期．某公司生产的飞行器的某一部件质量指标服从正态分布，其中指标的部件为正品，其他为次品，要使次品率不高于，则的值不可能为（ ） （参考数据：） A. 0.015 B. 0.016 C. 0.02 D. 0.021 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意确定，再根据正品率和原则确定的取值范围. 【详解】已知，. 又指标的部件为正品，即区间为正品. 要使次品率不高于，即满足正品率大于或等于. 因此要保证区间，则， 所以，解得，故选项A、B、C均可能，选项D不可能. 7. 有5个人到三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 300 B. 360 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合求解即可． 【详解】当5人中恰有三人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人中恰有四人被录用，则不同的录用情况数为； 当5人全部被录用，则不同的录用情况数为 ； 故不同的录用情况数为． 8. 定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】：先构造的原函数，由此题意，得出原函数单增函数，由此判断函数值的大小． 【详解】：先构造的原函数，因为，则，那么在不等式的两边同时乘以不等号不变，，所以原函数单增函数，由此， ，，，，所以 ，所以A错 ，所以B错 ，所以C错 故选D． 【点睛】：已知抽象函数的性质解不等式的基本解法有两种：（1）构造满足题目条件的特殊函数，（2）还原抽象函数，利用抽象函数的性质求解． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量、满足，则 B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C. 若某地区狗的寿命超过15岁的概率为，超过20岁的概率为，那么该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为 D. 命题“，”的否定形式是“，或” 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据方差的性质求解即可；对于B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；对于C：根据条件概率公式求解即可；对于D：根据命题的否定形式判断即可. 【详解】对于A，由，可知，所以A正确； 对于B，回归直线方程为，当时，， 所以，，即，， 去除一个异常点后，，，可得新的均值为，， 即新的回归直线必过点，所以B正确； 对于C，设事件为“狗的寿命超过15岁”，则，设事件为“狗的寿命超过20岁”，则，则， 则该地区一只寿命超过15岁的狗，寿命超过20岁的概率为 ，所以C正确； 对于D，原命题的否定形式为“，或”，故D错误. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若回归方程，则变量与负相关 B. 设，则“”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 以拟合一组数据，设，得关于的回归直线方程为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的性质可判断A；根据一元二次不等式及绝对值不等式求出解集，结合充分条件、必要条件的概念即可判断B；采用作差法即可判断C；由非线性回归方程与线性回归方程的转化关系求解即可得，的值，即可判断D. 【详解】对于A，回归方程为，因为，所以变量与负相关，故A正确； 对于B，不等式的解集，由，得，其解集， 则集合是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，， 因为，所以，，所以，即，故C正确； 对于D，依题意， ， 又，所以且，即，所以，故D正确． 11. 设．且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合不等式的性质、基本不等式求得正确答案. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，设，则，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时满足，，所以，故D正确． 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某学校有，两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去餐厅用餐的概率为__． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】设“第一天去餐厅用餐”为事件，“第一天去餐厅用餐”为事件，“第二天去餐厅用餐”为事件， 则，且与互斥， 根据题意得，， ，， 由全概率公式得 ． 13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【答案】 【解析】 【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算. 【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种， 然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位， 利用插空法排列甲，排法有种， 所以不同的排列方法有种. 故答案为： 14. 已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可. 【详解】的定义域为，. 当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个不同的零点，所以 ，解得. 当时， ，所以在上存在一个零点， 因为 ，所以在上也存在一个零点. 综上，. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 设函数，其中．已知在处取得极值． （1）求的解析式； （2）求在点处的切线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）判断点在上，结合导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 . 因为在处取得极值， 所以，即 ， 整理得，解得，经检验满足题意. 所以 ． 【小问2详解】 因为，所以点在上. 由（1）知， ，则 ， 所以切线方程为，即. 16. 为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 【答案】（1），与成正相关，有较强的相关性； （2），1.1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表求出相关系数，进而推断相关程度. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差. 【小问1详解】 由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数， 与成正相关，有较强的相关性. 【小问2详解】 由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民的身体活力指数残差为. 17. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20 用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望． 【答案】分布列见解析，. 【解析】 【分析】由分层抽样得出10个水果中精品果个，非精品果个，现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，求得各概率，得分布列，然后由期望公式计算期望． 【详解】用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个， 现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为， 则；； ；， 所以的分布列如下： 所以 18. 2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4 000元有关； 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 捐款不超过500元 10 总计 100 （2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差． 附：，n＝a＋b＋c＋d. α 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格数据见解析，能 （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，可补全表格数据；零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元无关，计算出参照附值表可得答案； （2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，求出的可能取值且，可得分布列及、. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下： 项目 经济损失不超过4 000元 经济损失超过4 000元 总计 捐款超过500元 60 20 80 捐款不超过500元 10 10 20 总计 70 30 100 零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 从而ξ的分布列为： 0 1 2 3 P ，. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）. （1）已知，， （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由； （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）不相互独立，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算能求出至少收到一次0的概率； （ii）利用相互独立事件的定义判断并证明； （2）由两个事件的概率列不等式，能求出的取值范围． 【小问1详解】 （i）记事件为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为． （ii）证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”， 则， ， ， ， 事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立． 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”， ，， 根据题意得，， ，，， 解得， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $