第2部分 题型8 新定义问题-【中考快车道】2026年中考数学总复习教师用书Word

类型一　定义新运算 【典例1】　(2024·金乡期末)定义一种新运算“a⊗b”：当a≥b时，a⊗b＝a＋2b；当a＜b时，a⊗b＝a－2b．例如：3⊗(－4)＝3＋(－8)＝－5，(－6)⊗12＝－6－24＝－30． (1)填空：(－3)⊗(－2)＝________； (2)若(3x－4)⊗(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)，则x的取值范围为________； (3)已知(5x－7)⊗(－2x)＞1，求x的取值范围． [解]　(1)由题意可得， (－3)⊗(－2) ＝(－3)－2×(－2) ＝(－3)＋4 ＝1． 故答案为1． (2)∵(3x－4)⊗(5＋x)＝(3x－4)＋2(5＋x)， ∴3x－4≥5＋x， 解得x≥4.5． 故答案为x≥4.5． (3)∵(5x－7)⊗(－2x)＞1， ∴当5x－7≥－2x，即x≥1时， 则(5x－7)＋2×(－2x)＞1， 解得x＞8； 当5x－7＜－2x，即x＜1时， 则(5x－7)－2×(－2x)＞1， 解得x>， 故<x＜1． 综上可得，x的取值范围是x＞8或<x＜1． [对点演练] 1．【问题提出】 (1)数学课上王老师在黑板上写了如下式子： a＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1)． 小丽同学想到刚学的平方差公式，她的方法是： a＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1)，求出a＝________． 【问题解决】 (2)请借鉴小丽的方法求出b的值． b＝(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(31 024＋1)． 【迁移应用】 定义一种新运算：i2＝－1． (3)(2＋3i)(2－3i)＝________． (4)求[1＋(2i)2][1＋(2i)4][1＋(2i)8]…[1＋(2i)256][1＋(2i)512]的值． [解]　(1)a＝1×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1) ＝(2－1)×(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1) ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(22 048＋1) ＝(24－1)(24＋1)…(22 048＋1) ＝(28－1)…(22 048＋1) ＝24 096－1． 故答案为24 096－1． (2)b＝(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(31 024＋1) ＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)…(31 024＋1) ＝(32－1)(32＋1)(34＋1)…(31 024＋1) ＝(34－1)(34＋1)…(31 024＋1) ＝(38－1)…(31 024＋1) ＝(32 048－1) ＝． (3)原式＝4－9i2 ＝4－9×(－1) ＝4＋9 ＝13． 故答案为13． (4)∵1－(2i)2＝1－4i2＝1－4×(－1)＝5， ∴原式＝×[1－(2i)2][1＋(2i)2][1＋(2i)4][1＋(2i)8]…[1＋(2i)256][1＋(2i)512] ＝×[1－(2i)1 024] ＝×(1－21 024×i1 024) ＝×[1－21 024×(i2)512] ＝×[1－21 024×(－1)512] ＝． 类型二　定义新概念 【典例2】　(2024·济宁一模)如果三角形的两个内角α与β满足2β＋α＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为________． 10　[∵∠C＝100°，∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝40°， ∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处， ∴∠EDF＝∠A＝40°， 当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB＋∠B＝90°或∠DEB＋2∠B＝90°， ∴2x°＋40°＝90°或x°＋2×40°＝90°， ∴x°＝25°或x°＝10°． ①当x°＝25°时，即∠DEB＝25°， ∴∠CDE＝∠DEB＋∠B＝65°， ∴∠CDF＝∠CDE－∠EDF＝25°， ∴∠CFD＝180°－∠C－∠CDF＝55°， 此时2∠CDF＋∠CFD＝105°，2∠CFD＋∠CDF＝135°， ∴△CDF不是“准直角三角形”． ②当x°＝10°时，即∠DEB＝10°， ∴∠CDE＝∠DEB＋∠B＝50°， ∴∠CDF＝∠CDE－∠EDF＝10°， ∴∠CFD＝180°－∠C－∠CDF＝70°， 此时2∠CDF＋∠CFD＝90°， ∴△CDF是“准直角三角形”． 综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10．] [对点演练] 2．(2024·曲阜一模)实践探究题 【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离． 例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l2之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离． 【应用】 (1)如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是________； (2)如图3，已知直线l3：y＝－x＋4与双曲线C1：y＝(x>0)交于A(1，m)与B两点，点A与点B之间的距离是________，点O与双曲线C1之间的距离是________； 【拓展】 (3)按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80 m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障(如图4)．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80 m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝－x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝(x>0)，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？ [解]　(1)如图，过点D作DH⊥BC于点H， ∵∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝45°， ∵DH⊥BC， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴DH＝BD， ∵AB＝6，AD＝4， ∴BD＝AB－AD＝6－4＝2， ∴DH＝×2＝． 故答案为． (2)把A(1，m)代入y＝－x＋4中，得m＝－1＋4＝3， ∴A(1，3)， 把A(1，3)代入y＝，得3＝， ∴k＝3， ∴双曲线C1的表达式为y＝， 联立直线与双曲线的表达式，得－x＋4＝， 即x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴B(3，1)， ∴AB＝＝2． 如图，作FG∥AB，且FG与双曲线有一个交点K，设直线FG的表达式为y＝－x＋b， 则－x＋b＝， 整理得x2－bx＋3＝0， ∴Δ＝(－b)2－4×1×3＝b2－12＝0， ∴b＝2或b＝－2(不符合题意，舍去)， ∴直线FG的表达式为y＝－x＋2， 由－x＋2＝， 解得x1＝x2＝， ∴K()， ∴OK＝＝． 故答案为2． (3)作直线l5：y＝－x＋n交y轴于点P，交C2于M，N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为G，H两点，作OK⊥l5，垂足为K，当OK＝80时，隔音屏障为GH的长． ∵y＝－x＋n，OK＝80， ∴∠POK＝45°， ∴OP＝OK＝80，即l5：y＝－x＋80， 由l5与C2联立得－x＋80＝， 解得x＝50或30， 则GH＝MN＝(xN－xM)＝×(50－30)＝40． ∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40 m． 【典例3】　定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则mn＝________． －2　[∵x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程， ∴1＋m＋n＝0，即n＝－m－1． 又∵方程x2＋mx＋n＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝m2－4n＝0， 将n＝－m－1代入，得m2－4(－m－1)＝0， 解得m＝－2， ∴n＝1， ∴mn＝－2×1＝－2．] [对点演练] 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 定义：方程cx2＋bx＋a＝0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的倒方程，其中a，b，c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程－12x2－x＋1＝0的倒方程是________． (2)若x＝5是x2－3x＋c＝0的倒方程的解，求出c的值； (3)若m，n是一元二次方程x2－5x－1＝0的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式2n2－mn－10m的值． [解]　(1)由题知， 方程－12x2－x＋1＝0的倒方程是x2－x－12＝0． 故答案为x2－x－12＝0． (2)由题知， 方程x2－3x＋c＝0的倒方程为cx2－3x＋1＝0， 又x＝5是倒方程的解， 所以25c－15＋1＝0， 解得c＝， 所以c的值为． (3)由题知，一元二次方程x2－5x－1＝0的倒方程是－x2－5x＋1＝0， 因为m，n是此方程的两个不相等的实数根， 所以m＋n＝－5，mn＝－1，－n2－5n＋1＝0， 所以n2＝－5n＋1， 所以2n2－mn－10m ＝2(－5n＋1)－mn－10m ＝－10n＋2－mn－10m ＝－10(m＋n)－mn＋2 ＝－10×(－5)－(－1)＋2 ＝53． 所以代数式2n2－mn－10m的值为53． 类型三　定义新方法 【典例4】　(2024·任城期中)阅读下面的材料： 一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法． 以x2＋10x＝39为例，花拉子米的几何解法步骤如下： ①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形； ②一方面大正方形的面积为(x＋________)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2＋10x＝39，可得方程(x＋________)2＝39＋________，则方程的正数解是x＝________． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤②； (2)根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程x2－6x＝7的正数解的正确构图是________(填序号)． [解]　(1)一方面大正方形的面积为(x＋5)2，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为x2＋10x＝39，可得方程(x＋5)2＝39＋25，则方程的正数解是x＝3． 故答案为5；5；25；3． (2)由题意可得，能够得到方程x2－6x＝7的正数解的正确构图是①． 故答案为①． [对点演练] 4．(2024·曲阜市一模)阅读新知 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． 即：在数列a1，a2，a3，…，an(n为正整数)中，若＝q，＝q，…，则数列a1，a2，a3，…，an(n为正整数)叫做等比数列．其中a1叫数列的首项，a2叫第二项，…，an叫第n项，q叫做数列的公比． 例如：数列1，2，4，8，16，…是等比数列，公比q＝2． 计算：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和． 解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100，则3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3100＋3101． 因此3S－S＝3101－1．所以S＝． 即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝． 学以致用 (1)选择题：下列数列属于等比数列的是________ A．1，2，3，4，5 B．2，6，18，21，63 C．56，28，14，7，3.5 D．－11，22，－33，44，－55 (2)填空题：已知数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，若它的首项a1＝3，则它的第n项an等于________． (3)解答题：求等比数列1，5，52，53，…前2 024项的和． [解]　(1)由题意可得， ≠，故选项A中的数列不是等比数列； ≠，故选项B中的数列不是等比数列； ＝＝＝，故选项C中的数列是等比数列； ≠，故选项D中的数列不是等比数列． 故答案为C． (2)∵数列a1，a2，a3，…，an是公比为4的等比数列，它的首项a1＝3， ∴它的第n项an＝a1·qn-1＝3×4n-1． 故答案为3×4n-1． (3)设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 023， 则5S＝5＋52＋53＋…＋52 024， 5S－S＝52 024－1， 4S＝52 024－1， S＝， 即前2 024项的和是． 【典例5】　阅读理解 【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解． ①因式分解法求解特殊的三次方程： 将x3－5x＋2＝0变形为x3－(4＋1)x＋2＝0， ∴x3－4x－x＋2＝0． ∴(x3－4x)－(x－2)＝0． ∴x(x＋2)(x－2)－(x－2)＝0． ∴(x－2)(x2＋2x－1)＝0． ∴x－2＝0或x2＋2x－1＝0． ∴原方程有三个根：x1＝2，x2＝－1＋，x3＝－1－． ②换元法求解特殊的四次方程： x4－5x2＋4＝0， 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4， 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2． 【应用新知】(1)仿照以上方法，按照要求解方程： ①(因式分解法)x3－10x＋3＝0； ②(换元法)x4＋3x2－4＝0． 【拓展延伸】(2)已知：x2－2x－1＝0，且x＞0，请综合运用以上方法，通过“降次”求x4－2x3－3x的值． [解]　(1)①将x3－10x＋3＝0变形为x3－(9＋1)x＋3＝0， ∴x3－9x－x＋3＝0， ∴x(x＋3)(x－3)－(x－3)＝0， ∴(x－3)(x2＋3x－1)＝0， ∴x－3＝0或x2＋3x－1＝0， ∴原方程有三个根：x1＝3，x2＝，x3＝． ②设x2＝y，那么x4＝y2， 于是原方程可变为y2＋3y－4＝0， 解得y1＝1，y2＝－4， ∵x2≥0， ∴y＝－4舍去． 当y＝1时，x2＝1， ∴x＝±1， ∴原方程有两个根：x1＝1，x2＝－1． (2)∵x2－2x－1＝0， ∴x2－2x＝1． ∴x4－2x3－3x＝x2(x2－2x)－3x＝x2－3x＝x2－2x－x＝1－x． 解方程x2－2x－1＝0得， x1＝1＋，x2＝1－， ∵x＞0， ∴x＝1＋， ∴x4－2x3－3x＝1－(1＋)＝－． [对点演练] 5．(2024·嘉祥期中)阅读： 计算(－3x3＋5x2－7)＋(2x－3＋3x2)时，可列竖式： 小明认为，整式的加减实际上就是合并同类项，而合并同类项的关键是合并各同类项的系数，因此，可以把上题的竖式简化为： 所以，原式＝－3x3＋8x2＋2x－10． 根据阅读材料解答下列问题： 已知：A＝－2x－3x3＋1＋x4，B＝2x3－4x2＋x． (1)将A按x的降幂排列：________； (2)请仿照小明的方法计算：A－B； (3)请写出一个多项式C：________，使其与B的和是二次三项式． [解]　(1)∵A＝－2x－3x3＋1＋x4＝x4－3x3－2x＋1， ∴将A按x的降幂排列是：A＝x4－3x3－2x＋1． 故答案为A＝x4－3x3－2x＋1． (2)竖式如下， 则A－B＝x4－5x3＋4x2－3x＋1． (3)C：－2x3＋1(答案不唯一)． 故答案为－2x3＋1(答案不唯一)． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $