黑龙江哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（I卷）

哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学试题（Ⅰ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线直线b，直线c，平面，则（ ） A. B. C. a与相交 D. 或 3. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 5. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 13 B. 14 C. 20 D. 25 6. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 7. 在平面四边形中，，，，对角线与交于点，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影向量为 10. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ） A. 共有18个顶点 B. 共有36条棱 C. 表面积为 D. 体积为 11. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 12. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 在的外接圆上，则的最大值为 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设复数，则___________． 14. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________. 15. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 16. 已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是__________. 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知i为虚数单位，复数z满足，其中． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 18. 已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. （1）求； （2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的角平分线的长度. 21. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． （1）求证：平面平面； （2）求证：； （3）若，求四棱锥的体积． 22. 巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． （1）求二桥CD的长度． （2）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学试题（Ⅰ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（（共4小题，每小题5分，共20分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】AD 【12题答案】 【答案】ABD 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】#### 【15题答案】 【答案】8 【16题答案】 【答案】 四、解答题（共6小题，共70分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【22题答案】 【答案】（1）2千米 （2）平方千米 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $