精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024届高三下学期三模数学试题

河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①若，且，则 ②若且，则 ③若，且，则 ④若，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 10. 南宋数学家杨辉所著《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面 B. 当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点E到直线的距离的最小值为 D. 当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______． 13. 已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意，恒成立，则的最大值是______． 14. 已知满足，则的最小值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的值； （2）如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积． 16. 设函数，（e为自然对数底数） （1）若函数有两个极值点，求a的取值范围； （2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1. 17. 如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点． （1）若，求证：平面； （2）若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长． 18. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； （2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； （3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 19. 已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的方程． （2）记直线的斜率为，证明：为定值． （3）试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学2023-2024学年高三三模（A） 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意. 1. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意是的子集，从而求解. 【详解】， 因为的充分条件是，所以， 则， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因，所以，即． 故选：A． 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①若，且，则 ②若且，则 ③若，且，则 ④若，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用方向向量与法向量判断线面位置关系，从而判断①④；利用面面平行的判定定理判断②，举特例可排除③，从而得解. 【详解】设分别是直线的方向向量， 对于①，因为，所以分别是平面的法向量， 又，即，所以，故①正确； 对于②，由面面平行的判定定理可知，当不相交时，不一定成立，故②错误； 对于③，当时，可满足时有， 又，显然此时位置关系不确定，故③错误； 对于④，因为，所以是平面的法向量， 又，所以也是平面的法向量， 又，即，所以，故④错误. 故选：A. 4. 已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，求得，结合向量的投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】由向量和满足，，， 可得，解得， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：A. 5. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 6. 已知等比数列前项和为，若，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到，即可求出，再根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为， 又，，成等差数列，所以， 即，所以，即， 所以. 故选：D 7. 设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，，然后结合双曲线的定义得到，进而利用勾股定理求得，于是根据直线l的斜率，得到a,c的关系，从而求得离心率 【详解】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即， 故选：D． 【点睛】本题考查双曲线的几何性质——离心率的求法，涉及向量的运算和数量积，关键是取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，结合双曲线的定义得到是关键，根据直线l的斜率，得到a,c的关系是求得离心率的方向. 8. 已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项. 【详解】构造，，则恒成立， 则， 当时，，， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 因为，所以，， 又，所以，D错误， 因为，所以，， 所以，所以，A错误，B正确. 令，则， 当时，恒成立， 所以在上单调递增， 当时，，即， 因为， 所以 因为， 所以， 因为在单调递减， 所以，即 因为在上单调递减， 所以，C错误 故选：B 【点睛】结合题目特征，构造函数，利用函数单调性比较函数值的大小，是比较大小很重要的方法，本题中构造进行求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】 【分析】第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误：，所以选项B正确；，所以选项C正确；此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误. 【详解】解：数据4，1，6，2，9，5，8整理为1，2，4，5，6，8，9，，则数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为第五位数据6，所以选项A错误： 随机变量，则，所以选项B正确； 经验回归方程为，且，则，所以选项C正确； 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率大于0.001，所以选项D错误. 故选：BC． 10. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可. 【详解】由题意可知：，于是有， 显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确； 当 时，， 显然适合上式，，因此选项D不正确； ， ，因此选项C正确， 故选：BC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是侧面内的一点，点E是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 当点P是线段的中点时，存在点E，使得平面 B. 当点E为线段的中点时，过点A，E，的平面截该正方体所得的截面的面积为 C. 点E到直线的距离的最小值为 D. 当点E为棱的中点且时，则点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可. 【详解】对于A，如下图所示，连接， 因为点是线段的中点，所以点也是线段的中点， 所以平面即为平面. 根据正方体的性质，平面，平面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面，所以与重合时，平面，故A正确； 对于B，如下图所示，取的中点， 根据分别为的中点，易得， 所以四点共面， 所以截面为四边形，且该四边形为等腰梯形. 又因为， 所以等腰梯形的高为， 所以截面面积为，故B错误； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 由图可得，，所以， 设，所以， 所以点到直线的距离， 所以时，距离最小，最小为，故C正确； 对于D，如图所示，取的中点，连接， 易得平面， 又因为平面，所以， 所以， 则点在侧面内的运动轨迹为以为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为， 所以点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 所以原式的展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：. 13. 已知动点在圆上，动点Q在曲线上．若对任意的，恒成立，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心的轨迹，结合导数的几何意义，求得的最小值，再求的最小值即可. 【详解】由题意可知的圆心在直线上， 曲线，，曲线在点处的切线为，与平行； 故曲线上的动点Q到直线的最小距离为到的距离为， 因此，故n的最大值是． 故答案为：. 14. 已知满足，则的最小值是_______． 【答案】16 【解析】 【详解】解析： ． 令，则 ． 当时，，所以， 故． 故答案为：16 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求的值； （2）如图，，点D为边AC上一点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换分析求解； （2）中，可得，，可知，进而在中，利用余弦定理和面积公式分析求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则， 注意到，则，可得， 且，则， 可得， 则， 又因为，则，可知， 可得，， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 因为，在中，可得，， 又因为，可得， 则， 在中，由余弦定理， 即，解得，可知， 所以的面积. 16. 设函数，（e为自然对数的底数） （1）若函数有两个极值点，求a的取值范围； （2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，根据有两个极值点，转化为与的图象的交点有两个，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解. （2）根据题意得到，求得，得到，进而求得的单调性与极值，再分和两种情况，结合函数的单调性和极值的运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为有两个极值点， 即方程在有两个不同的解， 即与的图象的交点有两个. 由，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，有极大值. 又因为时，；时，， 当时，即时有两个解，所以 （2）由函数 可得，则，所以在单调递增， 若时， 当时，.在上单调递减； 当时，.在上单调递增； 所以在处取得极小值 若，令，则； 令，则 所以在，有唯一解； 若，令，则， 令，则，所以在，有唯一解； 所以在有唯一解， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以， 令，则， 由，可得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 所以，即的极小值不大于1. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 17. 如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点． （1）若，求证：平面； （2）若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，建系，利用空间向量证明线面平行； （2）设，求平面法向量，结合线面夹角的向量运算分析求的值，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：，，平面， 可得平面， 且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设， 则， 若，则，， 由题意可知：平面的法向量， 因为，且平面， 所以∥平面. 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面法向量，则， 令，则，可得， 由题意可得：， 整理得，解得或， 所以或，即线段BF的长为或. 18. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为.甲如果第轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为；乙如果第k轮猜对，则他第轮也猜对的概率为，如果第k轮猜错，则他第轮也猜错的概率为.在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响. （1）若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率； （2）若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为，，，，则称为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息熵H； （3）如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了Y轮游戏，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据全概率公式求解概率，即可由对数的运算求解， （3）根据全概率公式，结合错位相减法以及等比求和即可求解. 【小问1详解】 设“甲在第i轮活动中猜对成语”，“乙在第i轮活动中猜对成语”， “甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，， 则 故 【小问2详解】 由题意知，1，2， 由（1）知， ， 故X的信息熵 【小问3详解】 第二轮甲猜对的概率为， 第二轮乙猜对的概率为， 所以，， 每一轮甲乙都猜错的概率为， 因此， 则① 所以，② ①②得， 所以. 关键点点睛：根据全概率公式公式得，，由期望公式可得的表达式，将其转化为数列求和，利用错位相减求数列的和是本题的关键所在. 19. 已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上的动点，且面积的最大值为．直线与椭圆交于两点，点，直线分别交椭圆于两点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的方程． （2）记直线的斜率为，证明：为定值． （3）试问：是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）存在点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后表示出直线的斜率，即可证明； （3）根据题意，由（2）中的结论，即可表示出直线的方程，从而可得直线过定点，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，得解得所以椭圆的方程为． 小问2详解】 证明：设． 又，所以可设直线的方程为． 联立椭圆方程与直线的方程，得 消去，得． 又，所以，可得． 由根与系数的关系，得，则， 所以，同理，得． 从而直线的斜率． 又， 所以，即，为定值． 【小问3详解】 由（2）可得直线的方程为． 由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上， 所以令，得． 故直线恒过定点，且点的坐标为． 因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动． 故存在点，使． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中的定值问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$