2026年江苏省南通市海门区九年级 第二次学业质量监测 数学试题（5月）

2026届第二次学业质量监测 数学 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请务必将答题纸交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上．在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．若分式有意义，则x的取值范围是 A． B． C． D．且 2．下列各数，化简结果为1的是 A． B． C． D． 3．一个立体图形由多个大小相同的小立方块搭成，从不同方向看到的立体图形的形状图如图所示，则搭成该立体图形的小立方块个数是 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．在平面直角坐标系中，过点O的直线与的图象交于和两点，则的值为 A．-1 B．1 C．-3 D．3 5．一个圆锥，其母线长为，底面圆半径为，则侧面展开图圆心角度数为 A． B． C． D． 6．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为 A．1 B．2 C．3 D．4 7．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 A．-12 B．12 C．-3 D．3 8．如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为 A．12 B． C． D． 9．如图1，在等腰直角三角形中，是斜边上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，设，．若关于的函数图象如图2所示，点和都在函数图象上，，则下列选项正确的是 A． B．当时， C．点在该函数图象上 D．该函数图象的最高点的纵坐标为 10．若实数，，满足，，则的值为 A．11 B．10 C．9 D．8 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．“春假”期间，某市共接待海内外游客约156700人次，将156700用科学记数法表示为________． 12．把多项式因式分解的结果是________． 13．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为________． 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 15．在综合实践活动中，某数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量旗杆的高度 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】在看台底部处测得旗杆顶端的仰角为； 【步骤二】测得斜坡的坡度，米； 【步骤三】在看台顶部处测得旗杆顶端的仰角为；（其中点，，，在同一条水平直线上） 解决问题 旗杆的高约为________米． （参考数据：，，） 16．如图，正六边形的边长为，点、、、分别在、、、上，四边形是矩形，且． （1）当时，的长为________； （2）连接，，，，若，则的值为________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18．（本小题满分8分） 小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（春分）、B（小暑）、C（立秋）、D（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是A（春分）的概率是________； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用画树状图或列表法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率． 19．（本小题满分10分） 随着科学技术的发展，人工智能得到了广泛的应用．经市场调研，小明决定从A，B两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小明通过调查问卷的方式收集的10位用户对A，B两个人工智能产品的相关评价得分，并整理、描述、分析如下： 对A，B两个人工智能产品的评价得分 得分统计表 产品 平均数 中位数 众数 方差 A a 8 c B 7.5 b 8 2.45 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________，________2.45（填“>”或“<”）． （2）请写出小明选择A产品的两个理由． 20．（本小题满分10分） 求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 21．（本小题满分10分） 《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” （1）问牛、羊每头各值金多少两？ （2）若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 22．（本小题满分10分） 如图，在中，以点C为圆心，为半径的与相切于点A，与交于点D，过点D作，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 23．（本小题满分12分） 某水果批发商，对一种特色水果先后进行30次销售，已知该水果每吨成本为2万元，设第x次销售量为y吨，每吨售价p万元． 若第1次销售水果35吨，以后每增加一次销售，水果就少卖出1吨； 若第1次~第15次销售中p与x成一次函数关系，第16次~第30次销售中p与x满足． 经过统计，得到如下数据： x（次） 4 10 20 p（万元） 2.4 3 3.8 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当每吨售价为4万元时，求x的值； （3）在这30次销售中，哪一次销售获得的利润最大，最大利润是多少？ 24．（本小题满分13分） 已知二次函数（）． （1）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）； （2）当时，该函数的最大值与最小值之差为，求b的值； （3）若存在直线（）分别交抛物线和y轴于点A、B、P（点A在点B左侧）使，求b的取值范围． 25．（本小题满分13分） 如图，矩形中，点E在边上，，，点P为边上一动点，作，交射线于点F，连接、，点M是的中点． （1）求证：点M在的中垂线上； （2）若点M恰好在边上，且，求的长； （3）连接，若，求线段长的取值范围． 2026届第二次学业质量监测数学试题参考答案与评分标准 说明：本评分标准每题只给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A C A C C D B B D A 二、填空题（本大题共6小题，11~12每小题3分，13~16每小题4分，共22分） 11． 12． 13．1.5 14．且15.22 16．（1）；（2） 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（本小题满分12分） （1）解：两边同乘，得 解得： 检验：当时， 原方程的解是 （2）解：由①得： 由②得： 不等式组的解集为 18．（本小题满分8分） 解：（1） （2）列表为： （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由列表得：两次抽取共有16种等可能的结果， 其中至少有一张是的有7种 两次抽取至少有一张是的概率为 19．（本小题满分10分） 解：（1） （2）选的理由是在平均数相同的情况下，的中位数高于，的方差低于． 20．（本小题满分10分） 已知：． 求证： 证明：过点作的平行线， 21．（本小题满分10分） 解：（1）设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组 解得： 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）设购买牛头，羊头， 可得方程： 是正整数 答：有2种方案， 方案一是购买牛1头，羊34头； 方案二是购买牛11头，羊17头； 22．（本小题满分10分） 解：（1）连接 与相切于点， 在Rt和Rt中 （HL） 用切线长定理证明也可以． （2）， ， ， ， ， 阴影部分面积 阴影部分面积 23．（本小题满分12分） 解：（1） （2）当时，设： 可得：，解得： 当时， 解得：（舍） 当时，，代入，得： 解得：， ，当时， 解得：7分 （3）设第次销售获得利润为万元 当时， 当时，的值最大为31.59分 当时， 当时，的值最大为45万元 第16次获得的利润最大，最大利润是45万元 24．（本小题满分13分） 解：（1） 顶点坐标为 （2）当时， 解得：（舍） 当时，，解得： 当时，，解得：（舍） 综上得：的值为或 （3）当时， 点在点左侧， ， I当时， ； Ⅱ当时， 或． 25．（本小题满分13分） 解：（1）如图1，连接 在矩形中， 与均为直角三角形 是中点 点在的中垂线上 （2）如图2，连接，， 点在的中垂线上， 在矩形中， 又是的中点 ， ． 设 在Rt中，， 在Rt中，， ， （3） ，矩形是正方形 由（1）可得，点始终在线段的垂直平分线上，设路径为线段 如图3，当与重合时，长取最大值． 在Rt中， 易证 在Rt中， 长的最大值为． 当与垂直时，长取最小值， 延长交于点，易得四边形是平行四边形， ，易证， ． 长的最小值为． 长的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $