精品解析：广东汕头金南实验学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学科试题

2025-2026（下）高一年级期中考试数学科试题 2026.5试题分值：150 分 考试时长：120 分钟 命题人：蔡健勋 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 8 2. 已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 10. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______． 13. 已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 14. 已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 正方体的棱长为a，E为棱中点． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离． 17. 在中，． （1）求； （2）若，求边． 18. 已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. （1）求中线的长； （2）若的平分线为，求的长； （3）求的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（下）高一年级期中考试数学科试题 2026.5试题分值：150 分 考试时长：120 分钟 命题人：蔡健勋 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，，所以. 2. 已知复数，则该复数所对应的点在复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数，所对应的点在复平面的第四象限 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与的夹角为， 则 ，所以. 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积. 5. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 6. 如图，在平行四边形中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 7. 我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图， 连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，， 由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角， 而平面，AC在面ABCD内，则， 是直角三角形，又，，则，， 在中，，同理， 在中，， 所以二面角的余弦值为. 故选：C 8. 刘徽所著的《重差》是我国第一部测量学著作，其思想也为地图学提供了数学基础.现采用《重差》的方法测量一个球体建筑物的相关数据.如图，已知球体建筑物与水平地面的接触点（切点）为点，地面上A，B，C三点共线，且在三者中的最左侧.若在B，C处分别测得该球体建筑物的最大仰角为和，且，则根据以上测量数据可计算出该球体建筑物的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得如下截面图，设球半径为R，由平面几何知识可得，据此可得答案. 【详解】由题设可得如下截面图，设球心为O，过B，C两点的射线与球O相切于D，E. 连接，则，又， ，则，， 结合，则， ，， （单位：m）， 则该建筑物体积为：. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的实部为1，正确； 对于B，的共轭复数为，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 10. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行计算. 【详解】由，，， 代入投影向量公式：. 13. 已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是实系数方程的一个复数根， 则是实系数方程的一个复数根， 所以，解得，所以. 14. 已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出球的半径，再求球的表面积． 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知，，且与夹角为． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 ∵，且与夹角为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴ 16. 正方体的棱长为a，E为棱中点． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作中位线并利用线面平行的判定定理即可证明得出结论； （2）利用等体积法以及三棱锥的体积公式即可计算求出结果. 【小问1详解】 证明：设AC与BD交于点O，连结OE，如图所示： 因为是正方体，所以ABCD为正方形，O为BD中点． 又E为中点，可知； 又平面AEC，平面， 所以平面AEC， 【小问2详解】 设点D到平面AEC的距离为d，则由图可知： 在中，，，可得， 由可得， 即， 解得， 即点D到平面AEC的距离为． 17. 在中，． （1）求； （2）若，求边． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由可得, 由于,故， 【小问2详解】 ，故， 进而，故 18. 已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直易证得线面垂直，进而可证面面垂直； （2）由（1）平面，易得即直线与平面所成角，借助于直角三角形和三角函数即可求得. 【小问1详解】 在图（1）中，因，折起后，， 因，则平面， 又平面，故平面平面. 【小问2详解】 由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影， 故即直线与平面所成角. 在图（1）中，， 在图（2）中，，则， 在中，，故， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. （1）求中线的长； （2）若的平分线为，求的长； （3）求的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解. （2）利用三角形面积公式列式求解. （3）利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 在中，，由为的中点，得， . 【小问2详解】 由的平分线为，得，由， 得， 所以. 【小问3详解】 由是的中点，得， ， 所以的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $