2.2 一元二次方程的解法 同步练习 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2026年浙江省八年级第二学期第二单元复习：一元二次方程的解法 一元二次方程的定义 1.下列各式中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3.写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，其中一个根为﹣2　x2﹣x﹣6＝0　． 【解答】解：∵﹣2+3＝2，﹣2×3＝﹣4， ∴二次项系数为1，两根分别为﹣2和6的一元二次方程为x2﹣x﹣6＝4． 故答案为：x2﹣x﹣6＝8． 4.已知是关于x的一元二次方程，则a等于______． 【答案】 一元二次方程的解 1.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是，5．则方程a（x-1）2＋bx＝b-2c的两根为（ ） A. -，6 B. -3，10 C. -2，11 D. -5，21 【答案】C 2.我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+6）﹣3＝0看作关于4x+3的一元二次方程， 所以2x+6＝1或2x+4＝﹣3， 所以x1＝﹣5，x2＝﹣3． 故选：D． 3.已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 0 【答案】A 4.若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】A 5.已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 6.方程的两根分别是和，则方程的两根为（ ） A. 0， B. ，1 C. ， D. ，3 【答案】D 7.已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 8.已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx﹣4m2＝0的一个根，则m（2m+1）＝　2　． 【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x2﹣mx﹣3m2＝0的一个根， ∴32﹣2m﹣5m2＝0， ∴2＝4m2+5m， ∴2＝m（2m+6）， ∴m（2m+1）＝2， 故答案为：2． 9.已知关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是________． 【答案】 一元二次方程的解法之直接开平方法 1.方程的两个根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 一元二次方程的解法之因式分解法 1.方程的解是（ ） A. B. C. ，， D. ， 【答案】D 2.【综合与实践】 【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程（）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下： 【操作判断】）（1）小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，进而得到原方程的根为， ． 【实践探究】（2）小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解． 【问题解决】（3）小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式（）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？ 【答案】（1）（2）（3）要满足， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和因式分解： （1）根据两数之积为0，则其中一个因数为0，作答即可； （2）配方法求出的两个根，再进行因式分解即可； （3）根据公式法解一元二次方程，再进行因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴，； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当有实数根时，， 此时的根为：， ∴当时，代数式（）都能进行因式分解， ∴． 3.如果的两个根为，，则因式分解______． 【答案】 一元二次方程的解法之配方法 1.将一元二次方程x2﹣4x+1＝0配方后，原方程可化为（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣4）2＝15 【解答】解：∵x2﹣4x+4＝0， ∴（x﹣2）6﹣4+1＝8， ∴（x﹣2）2＝2， 故选：C． 2.用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 4.解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 6.若方程的左边是一个完全平方式，则的值是_______ 【答案】0或4 7.若方程可配方成的形式，则方程可配方成（ ） A. B. C. D. 【答案】C 8.若x2﹣4x+k2＝0是一个关于x的完全平方式，则k＝　±2　． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝x4﹣4x+（±2）2， ∴k＝±2． 故答案为：±2． 一元二次方程的解法之换元法 1.实数x满足方程，则的值等于_____． 【答案】2 2. 若方程有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则________． 【答案】 3.方程解为__________． 【答案】或 4.已知，则____________． 【答案】或 一元二次方程的解法 1.解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 2.解方程： （1）， （2）． 【答案】（1）， （2） 3.解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 4.解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 5.用恰当的方法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 6.选择适当的方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 5.若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含k的代数式表示． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 一元二次方程的跟的判别式 1.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 【答案】B 2.a，b，c为常数，且，则关于x的方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 【答案】B 3.方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 4.已知关于x的一元二次方程．那么以下选项正确的是（ ） ①当时，此方程无实数根． ②若，是该方程不相等的两实数根，如果，那么a的值为3或． ③如果该方程有两个不相等的整数根，那么此时负整数a的值为． A. 全部错误 B. ① C. ② D. ③ 【答案】A 5.一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 6.对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（ ） A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④ 【答案】D 7.a，b，c为常数，且，则关于x方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 【答案】B 8.若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 9.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 10.若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ） A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 5和6之间 D. 4和5之间 【答案】A 11.对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 【答案】B 12.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 13.如果关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意可的关于k的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ 解得且， 故答案为：且． 14.若方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 15.若关于x的一元二次方程（）的根为，则k的值为___________． 【答案】1 16.已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长 【答案】（1）见解析； （2）； 17.关于x的一元二次方程（）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）求证：是该方程的根． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，方程的解： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）将代入方程，进行判断即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 ∵， ∴是该方程一个根． 18.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，为实数，求的取值范围． 【答案】−1⩽k<2且k≠． 19.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根： （2）设该方程的两个实数根为． ①求代数式：的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②等腰三角形的周长为16或17或19或20 一元二次方程的数形结合 1.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝b， 设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2， 整理得：x2+ax﹣b6＝0（a≠0，b≠4）， ∵Δ＝a2+4b6＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜4，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 2. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（　　） A. 线段BH B. 线段DN C. 线段CN D. 线段NH 【答案】B 一元二次方程的韦达定理 1.若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2.若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则； ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有___________． 【答案】②④ 3.设实数s，t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，并且st≠1，求的值． 【解答】解：把方程t2+99t+19＝0转化为：19+99， ∴s和是方程19x2+99x+1＝4的两个根， ∴s+＝﹣ ＝， ＝s++＝﹣+＝﹣4． 故的值为﹣5声明：试题解析著作权属 一元二次方程的新定义题型 1.新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________． 【答案】2019 2.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值为____________． 【答案】或 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省八年级第二学期第二单元复习：一元二次方程的解法 一元二次方程的定义 1.下列各式中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.下列选项中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3.写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，其中一个根为﹣2　 　． 4.已知是关于x的一元二次方程，则a等于______． 一元二次方程的解 1.若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是，5．则方程a（x-1）2＋bx＝b-2c的两根为（ ） A. -，6 B. -3，10 C. -2，11 D. -5，21 2.我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 3.已知关于x的一元二次方程的一个根是0， 则的值（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 0 4.若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 5.已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 6.方程的两根分别是和，则方程的两根为（ ） A. 0， B. ，1 C. ， D. ，3 7.已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 8.已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx﹣4m2＝0的一个根，则m（2m+1）＝　 ． 9.已知关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是________． 一元二次方程的解法之直接开平方法 1.方程的两个根是（　　） A. B. C. D. 一元二次方程的解法之因式分解法 1.方程的解是（ ） A. B. C. ，， D. ， 2.【综合与实践】 【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程（）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下： 【操作判断】）（1）小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程或 ，进而得到原方程的根为， ． 【实践探究】（2）小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如，这个方程利用公式法或者配方法可得：，，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对进行因式分解得到，请你利用这个方法对进行因式分解． 【问题解决】（3）小彬：从特殊到一般，是否所有的代数式（）都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？ 3.如果的两个根为，，则因式分解______． 一元二次方程的解法之配方法 1.将一元二次方程x2﹣4x+1＝0配方后，原方程可化为（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣4）2＝15 2.用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3.已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（ ） A. B. C. D. 4.解一元二次方程，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 5.一元二次方程 配方后可变形为（　　） A. B. C. D. 6.若方程的左边是一个完全平方式，则的值是_______ 7.若方程可配方成的形式，则方程可配方成（ ） A. B. C. D. 8.若x2﹣4x+k2＝0是一个关于x的完全平方式，则k＝　 　． 一元二次方程的解法之换元法 1.实数x满足方程，则的值等于_____． 2. 若方程有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则________． 3.方程解为__________． 4.已知，则____________． 一元二次方程的解法 1.解方程： （1）； （2）． 2.解方程： （1）， （2）． 3.解下列方程： （1） （2） 4.解方程： （1）； （2）． 5.用恰当的方法解下列方程 （1）； （2）． 6.选择适当的方法解下列方程： （1）． （2）． （3）． 5.若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含k的代数式表示． 一元二次方程的跟的判别式 1.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k>－ B. k>－且 C. k<－ D. k－且 2.a，b，c为常数，且，则关于x的方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 3.方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4.已知关于x的一元二次方程．那么以下选项正确的是（ ） ①当时，此方程无实数根． ②若，是该方程不相等的两实数根，如果，那么a的值为3或． ③如果该方程有两个不相等的整数根，那么此时负整数a的值为． A. 全部错误 B. ① C. ② D. ③ 5.一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6.对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的：（ ） A. 只有① B. 只有①② C. ①②③ D. 只有①②④ 7.a，b，c为常数，且，则关于x方程根的情况是　　 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0 8.若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ） A. 2 B. C. D. 9.关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 11.若关于x的方程有唯一解，则该解应在（ ） A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 5和6之间 D. 4和5之间 12.对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（ ） A. 只有①② B. 只有①②④ C. ①②③④ D. 只有①②③ 13.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 14.如果关于x的一元二次方程有实数根，那么k的取值范围是______． 15.若方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是___________． 16.若关于x的一元二次方程（）的根为，则k的值为___________． 17.已知关于的方程 （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长 18.关于x的一元二次方程（）． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）求证：是该方程的根． 19.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，为实数，求的取值范围． 20.已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根： （2）设该方程的两个实数根为． ①求代数式：的最大值； ②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长． 一元二次方程的数形结合 1.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 2. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（　　） A. 线段BH B. 线段DN C. 线段CN D. 线段NH 一元二次方程的韦达定理 1.若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 2.若关于x的一元二次方程有实数根，，且，有下列结论： ①； ②若，则； ③关于x的方程的根为，； ④关于x的方程的根为2，3． 其中正确结论的有___________． 3.设实数s，t分别满足19s2+99s+1＝0，t2+99t+19＝0，并且st≠1，求的值． 一元二次方程的新定义题型 1.新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是_________． 2.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值为____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $