精品解析：2026年山西临汾市大宁县中考模拟预测数学试题

数学（四） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 2026年1月1日某市最高温度为，最低温度为，则这天的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据温差的定义，用最高温度减去最低温度，结合有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 2. 阅读正在逐渐成为更多人的生活方式，小轩自上小学以来每年暑期出游必打卡各地图书馆，下面是他收集的图书馆标识，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、图案无法找到一条直线，使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、沿图案中间的竖直线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； C、图案右下角有特殊延伸结构，折叠后无法重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、图案左右结构不相同，折叠后无法重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 3. 2025年前11个月，消费品“以旧换新”政策带动销售额超万亿元，惠及超亿人次．数据万亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确万、亿的计数单位换算关系，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）进行转换． 【详解】解：万亿， 万亿． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，添加下列条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定；由图可知与已有一组公共角相等，依次根据选项判断添加的条件能否判定即可． 【详解】解：A、，加上已知公共角，由两组对应边成比例且夹角相等的三角形相似，可判定，故A不符合题意； B、的对应边错误，中对应边为，对应边为，故B符合题意； C、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故C不符合题意； D、，加上已知公共角，由两组对应角相等三角形相似，可判定，故D不符合题意． 故选：B． 6. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握当根的判别式小于零时，方程无实数根是解题的关键． 解一次方程可判定A选项正确；再运用根据判别式判断B、C、D即可． 【详解】解：A．一次方程，必有实数根，故该选项不符合题意； B．在中，，有实数根，故该选项不符合题意； C．在中，，有实数根，故该选项不符合题意； D ．在中，，无实数根，故该选项符合题意． 故选D． 7. 如图，在平行四边形中，点、在边、上，，连接交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．取中点，连接，通过构造辅助线，利用相似三角形的比例关系，逐步推导出上各线段的长度，进而求出的长． 【详解】解：如图，取中点，连接交于点，则， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8. 某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，平均数反映了一组数据的集中趋势，但是平均分容易受到极端数据的影响；方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，这组数据越稳定．本题中乙和丁的平均成绩较好，但是乙的方差大、丁的方差小，说明丁的成绩更稳定，所以应让丁去参加比赛． 【详解】解： 乙和丁的平均分均为，高于甲和丙的平均分，且丁的方差为，小于乙的方差， 在平均分最高的 乙和丁中，丁的方差最小，因此成绩最好且最稳定，应选择丁， 故选：D． 9. 如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，解直角三角形等知识．根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，求出，即可求出的面积． 【详解】解：连接， ∵为的直径，点B是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 10. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 第Ⅰ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由频数分布直方图可知，仰卧起坐次数在次的频数为，数据总数为30，所以仰卧起坐次数在次的频率为． 13. 从“熔化”“燃烧”“凝固”“升华”4种现象中同时任选2种，都属于物理现象的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出表格得出所有等可能情况数和都属于物理现象的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：由题意得：物理现象有熔化（记为A）、凝固（记为C）、升华（记为D）；化学现象有燃烧（记为B）列表格如下： 序号 组合 是否都为物理现象 1 否（含燃烧） 2 是（熔化、凝固） 3 是（熔化、升华） 4 否（含燃烧） 5 否（含燃烧） 6 是（凝固、升华） 所有等可能的结果数有6种，都属于物理现象的结果数有3种； 故都属于物理现象的概率是． 14. 如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在上， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，过点作交于点， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法，是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，若，则的长是_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识；证明三角形相似和熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．先证明，得出，；再由矩形的对称性得出，从而得出；然后由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，, ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴由矩形的对称性，得， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：，得 ． 解得． 将代入①中，得 ． 解得． 所以方程组的解为． 17. 如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． （1）与全等吗？为什么？ （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析； （2），见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质． 根据平行线的性质可知，根据可得：，利用可证； 由可知，根据全等三角形对应角相等，可证，根据内错角相等，两直线平行可得：． 【小问1详解】 解：， 理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 由可知，， ， ． 18. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲： 乙： 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7 乙 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）． （2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】（1），， （2） 解：∵从配送速度得分看，在平均数和中位数上，甲和乙的得分相差不大；从服务质量得分看，甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲快递公司的评价得分更稳定， ∴小丽应选择甲快递公司． 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数和方差，熟练掌握调查统计的相关知识是解题关键． （1）根据中位数、平均数和方差的公式求解即可得； （2）根据中位数、平均数和方差的意义进行决策即可得． 【小问1详解】 解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则， ， ， ， 则， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数解析式为； （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ， ， ． 20. 如图，教学楼广场前面有两棵树，从教学楼顶部点观察，香樟树树顶、桂花树树顶恰好在一条直线上，且俯角为，同时测得香樟树的底部的俯角为，桂花树、香樟树、教学楼处在同一平面上，同时已知教学楼的高为，并测得间的距离为，试求桂花树的高．（精确到，参考数据：， 【答案】桂花树的高约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点作，交延长线于点，在中，利用可以求出：，在中，利用，可以求出，根据可以求出桂花树的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交延长线于点， 四边形为矩形， ，， 在中，，，，， ， 即， 解得：， ， ， ， ， 在中，，，， ，即， 解得：， ， 答：桂花树的高约为． 21. 课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：在与中， ， ， ，， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， 且； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用证明，于是可得，，由内错角相等两直线平行可得，进而可得，结合，可证得四边形为平行四边形，于是可得，，再结合，即可得出结论； （2）取的中点，连接，延长、交于点，由正方形的性质可得，由邻补角互补可得，进而可得，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长； （3）取的中点，连接，延长到点，使得，连接，由为的中点可得，利用可证得，于是可得，，过点作，交的延长线于点，连接，由邻补角互补可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，，在中，根据勾股定理可得，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，则，由此即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图，取的中点，连接，延长、交于点， 四边形是正方形， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ； （3）解：如图，取的中点，连接，延长到点，使得，连接， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， 过点作，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 为的中点，为的中点， 为的中位线， ， ，且为的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质（、），平行四边形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，内错角相等两直线平行，线段中点的有关计算，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 22. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1） （2）销售产品所获利润是万元； （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【解析】 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 【小问1详解】 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； 【小问3详解】 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 23. 在等腰中，，，点为线段的中点．点为直线上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点与点重合时， ，线段与线段的数量关系为 ； （2）如图2，当点在线段上（不与点重合）移动时，（1）中的线段与线段的数量关系是否仍然成立，若成立请证明，并求出的大小；若不成立，请说明理由； （3）如图3，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线，交直线，于点，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）； （2）成立，证明见解析； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一求，结合直角三角形性质及线段等量关系推导与的倍数关系； （2）连接，通过旋转性质、相似三角形判定推导与的关系，利用角度等量代换证明； （3）连接、，通过相似三角形转化与的关系，结合对称点求最小值，进而得最小值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：成立，连接，如图， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 设交于点Q， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接． ∵A，关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上运动， ∴E与重合时，的值最小，最小值， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、直角三角形性质、旋转性质、等边三角形判定、相似三角形判定与性质、对称性质、线段最值问题；解题的关键是利用等腰三角形对称性推导角度和线段关系，构造相似三角形转化线段关系，结合对称点求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（四） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 2026年1月1日某市最高温度为，最低温度为，则这天的温差是（ ） A. B. C. D. 2. 阅读正在逐渐成为更多人的生活方式，小轩自上小学以来每年暑期出游必打卡各地图书馆，下面是他收集的图书馆标识，其中文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年前11个月，消费品“以旧换新”政策带动销售额超万亿元，惠及超亿人次．数据万亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，添加下列条件不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点、在边、上，，连接交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，为的直径，弦交于点E，连接、、，若，点B是的中点，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（    ）． A. B. C. D. 第Ⅰ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 13. 从“熔化”“燃烧”“凝固”“升华”4种现象中同时任选2种，都属于物理现象的概率是_____________． 14. 如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 _____． 15. 如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，若，则的长是_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 17. 如图，点，分别在四边形的边，的延长线上，连接分别交，于点，，，，． （1）与全等吗？为什么？ （2）判断线段与的位置关系，并说明理由． 18. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 信息一：配送速度得分（满分10分）： 甲： 乙： 信息二：服务质量得分统计图（满分10分）： 信息三：配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 7 乙 8 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）． （2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积． 20. 如图，教学楼广场前面有两棵树，从教学楼顶部点观察，香樟树树顶、桂花树树顶恰好在一条直线上，且俯角为，同时测得香樟树的底部的俯角为，桂花树、香樟树、教学楼处在同一平面上，同时已知教学楼的高为，并测得间的距离为，试求桂花树的高．（精确到，参考数据：， 21. 课本再现 想一想 你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 定理证明 （1）已知：如图①，是的中位线．延长至点，使，连接． 求证：且． 知识运用 （2）如图②，在正方形中，为的中点，、分别为、边上的点，若，，，求的长． （3）如图③，在四边形中，，，为的中点，，分别为，边上的点，若，，，求的长． 22. 某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 23. 在等腰中，，，点为线段的中点．点为直线上一动点，连接，点为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点与点重合时， ，线段与线段的数量关系为 ； （2）如图2，当点在线段上（不与点重合）移动时，（1）中的线段与线段的数量关系是否仍然成立，若成立请证明，并求出的大小；若不成立，请说明理由； （3）如图3，点在直线上移动，作点关于直线的对称点，过点作直线，交直线，于点，请直接写出线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $