精品解析：2026年甘肃省武威市凉州区武威第七中学中考 模拟测试数学试题（6月）

武威七中中考6月模拟测试数学试题 满分：120分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 3. 2025 年 10 月，我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约 248300 万元，将数据248300万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将数据248300万用科学记数法表示为． 4. 2026年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿 的夹角为 ，小腿与滑雪板的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作，得到，推出 ， ，即可求出 ． 【详解】解：过点C作， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 5. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果 个，买苦果个，则下列关于的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．由甜果苦果共买千可得出，利用总价单价数量可得出，联立两方程组成方程组即可得出结论． 【详解】解： 甜果苦果共买千， ； 甜果九个十一文，苦果七个四文钱，且购买两种果共花费九百九十九文钱， ． 联立两方程组成方程组． 故选：D． 6. 函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. y1、y2的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据、与对称轴的大小关系，判断、的大小关系． 【详解】解：∵， ∴此函数的对称轴为：， ∵，两点都在对称轴左侧，， ∴对称轴左侧y随x的增大而增大， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键． 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：D． 8. 习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量先减少后增加 B. 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C. 年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图中的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由统计图可知， 年我国粮食产量一直增加，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可知， 年我国粮食产量增长率先减少后增加，再减少，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可知，年我国粮食产量相比前一年一直在增加，原说法正确，符合题意； D、由统计图可知，相比 2023 年，2024 年我国粮食产量增长率减少，但是产量还是正增长，原说法错误，不符合题意 ． 9. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为，图2是点P运动时，的面积随变化的图象，则a的值为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键． 结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，由E为的中点，得到，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由为中位线，求出，根据的面积s为，求出，再求出，根据勾股定理求出，即可求出长，求出a． 【详解】解：结合图形得， 当点P运动到点E处时，运动路程为a，即， ∵E为的中点， ∴， 当点P运动到点D处时，运动路程为， ∴， ∵为中位线， ∴， 此时的面积s为，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 检：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 13. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可． 【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0， ∴α=30°，β=45°， ∴α+β=75°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 14. 对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则列出关于 的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：由，可得：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 15. 如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是直角三角形， ∵点为的中点， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 【答案】（，） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、坐标与图形的变化及规律探究，解题的关键是找出旋转周期和坐标变化规律．先根据初始点，分别计算前几次变换后的坐标，发现每6次变换回到 轴正方向，周期为6；由，得与同方向，累计旋转，在第二象限，与 轴负半轴夹角为, 再用含角的直角三角形性质求坐标． 【详解】解：初始点，在 轴正半轴，， 第一次变换：顺时针旋转， 过点作轴于点H， 在中，， ， 顺时针旋转到第四象限， ； 第二次变换：顺时针旋转，累计旋转，过点作于G， 在中，， ， 在第三象限， ； 第三次变换：顺时针旋转，累计旋转, ， 由上可知，每6次变换回到 轴正方向，周期为6， ， 与同方向， 累计旋转，在第二象限，与 轴正方向的夹角为即与 轴负半轴夹角为， ， 过作 轴垂线，垂足为， 在中，， ， 在第二象限， ， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解． 【答案】，图见解析，所有整数解为，， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图所示： ， 所有整数解为，，． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用分式的混合运算法则化简得到化简结果，再将，代入计算即可． 【详解】解： ， ，， 原式． 20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 由题意，作图如下，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】略 21. 2024年9月10日至11日习近平总书记视察甘肃天水，考察了全国重点文物保护单位伏羲庙，调研了麦积区南山花牛苹果基地，考察了麦积山石窟．习近平总书记视察结束后，许多单位积极开展“追随步伐”活动，以实际行动贯彻落实总书记的重要指示精神．某单位计划了以下活动：A：去秦州区参观伏羲庙；B：参观麦积山石窟；C：参观麦积区南山花牛苹果基地；D：去麦积区马跑泉公园参观革命烈士纪念馆，单位规定每个人只能去以上四个地方中两个地方参观． （1）用列表法或树状图列举所有可能组合（用代码代替参观地点名称）； （2）请你计算小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的概率． 【答案】（1）A和B，A和C，A和D，B和C，B和D，C和D （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据题意列出对应的表格，再找到所有的组合即可； （2）根据表格得到所有等可能性的结果数，再找到小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解；列表如下： 由表格可知，共有A和B，A和C，A和D，B和C，B和D，C和D6种组合； 【小问2详解】 解：由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的结果数有2种， ∴小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的概率为． 22. 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． （2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） （3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 【答案】（1） （2）C （3） 解：乙山楂园的山楂品质更优，理由如下： 由样本数据频数直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园的山楂品质更优（答案不唯一，合理即可）． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键． （1）根据直方图可知甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的频数，再除以200即可求解； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）根据直方图的数据分析即可． 【小问1详解】 解：， 甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由样本数据频数直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在C组． 故答案为：C． 【小问3详解】 略 23. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过点作于点，作于点，先求解，，再证明，再利用锐角的正切可得，从而可得答案． 【详解】解：过点D作于点F，作于点H 由题意得：， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 答：该风力发电机塔杆的高度为． 24. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【小问1详解】 解：由题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于一次函数，令，则； ∴； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ∴； ∴； 解得： 25. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】（1） 证明： ，分别切于A点，B点， 平分， ， 又 ， ， ． （2）长为44． 【解析】 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又 ，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， 理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）， ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）， 理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 27. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转 得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①，在抛物线上② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点 的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交 轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 ①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交 轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威七中中考6月模拟测试数学试题 满分：120分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025 年 10 月，我国紧凑型聚变能实验装置（BEST）建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段．该项目总投资约 248300 万元，将数据248300万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2026年米兰冬季奥林匹克运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿 的夹角为 ，小腿与滑雪板的夹角为 ，则大腿与小腿的夹角 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于的二元一次方程组中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数y＝﹣2x2﹣8x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜﹣2，则（　　） A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1＝y2 D. y1、y2的大小不确定 7. 如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 习近平总书记强调：“保障粮食和重要农产品稳定安全供给始终是建设农业强国的头等大事．”2025 年我国将坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为粮食生产的关键举措，如图是我国粮食数据的相关统计图，下列结论正确的是（ ） A. 年我国粮食产量先减少后增加 B. 年我国粮食产量增长率先减少后增加 C. 年我国粮食产量相比前一年一直在增加 D. 相比 2023 年，2024 年我国粮食产量呈现负增长趋势 9. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为，图2是点P运动时，的面积随变化的图象，则a的值为（ ） A. 2.5 B. 4 C. 5 D. 10 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 分式方程的解为______． 13. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________． 14. 对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 15. 如图，在正方形中，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为________． 16. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 21. 2024年9月10日至11日习近平总书记视察甘肃天水，考察了全国重点文物保护单位伏羲庙，调研了麦积区南山花牛苹果基地，考察了麦积山石窟．习近平总书记视察结束后，许多单位积极开展“追随步伐”活动，以实际行动贯彻落实总书记的重要指示精神．某单位计划了以下活动：A：去秦州区参观伏羲庙；B：参观麦积山石窟；C：参观麦积区南山花牛苹果基地；D：去麦积区马跑泉公园参观革命烈士纪念馆，单位规定每个人只能去以上四个地方中两个地方参观． （1）用列表法或树状图列举所有可能组合（用代码代替参观地点名称）； （2）请你计算小王恰好能去麦积山石窟和花牛苹果种植基地的概率． 22. 【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． （2）乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） （3）辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 23. 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，形成了如下实践报告： 【测量对象】风力发电机的塔杆高度． 【测量工具】测角仪、激光测距仪等． 【测量活动】利用激光测距仪测得斜坡长为20米，坡底与塔杆底的距离米；利用测角仪测得斜坡的坡角为，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为．（图中各点均在同一竖直平面内，） 【问题解决】请根据以上测量数据，求该风力发电机塔杆的高度． （结果精确到个位：参考数据：，，，） 24. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为3时，求m的值． 25. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． （1）求证：； （2）延长交的延长线于点E．若，，求的长． 26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 27. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $