山东泰安市肥城市泰西中学2026届高三下学期五月底数学高考冲刺训练

**基本信息** 高考冲刺训练涵盖函数、几何、概率等核心模块，以智能养老统计案例、双曲线光学性质等情境设计，考查逻辑推理与数学应用能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、数列、向量等|注重数学概念辨析，如向量模长计算| |多选题|3/18|立体几何、解三角形、双曲线性质|结合空间线面关系推理，如等轴双曲线光学性质应用| |填空题|3/15|二项式定理、外接球表面积、函数不等式|考查空间想象与转化能力，如三棱锥外接球补形法| |解答题|5/77|立体几何证明与二面角、数列求和、统计案例、双曲线综合、导数零点|以智能养老统计案例考查独立性检验与期望计算，导数题分层设计零点存在性讨论，贴合高考综合题型特点|

山东省泰安市肥城市泰西中学2026年五月底高考冲刺训练 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知为虚数单位，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（本题5分）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 6．（本题5分）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 7．（本题5分）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（        ） A．3 B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．（本题6分）已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 11．（本题6分）圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在的展开式中，的系数为______． 13．（本题5分）已知平面平面，交线为为上的两点，，且，若，则三棱锥的外接球的表面积为___________． 14．（本题5分）已知函数，若关于x的不等式有解，则m的取值范围是___________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）如图，在三棱柱中，，为上的点，且． (1)证明：平面； (2)若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（本题15分）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（本题15分）科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 (1)求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ (2)在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．（本题17分）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（本题17分）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市肥城市泰西中学2026年五月底高考冲刺训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B B D D D BC ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】. 2．D 【详解】，解得， ； ，解得， ； ， ． 3．B 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式进行计算. 【详解】在等差数列中，， 所以，因为，所以. 4．B 【分析】先利用角的整体代换，将表示成，再利用诱导公式和二倍角公式，即可求出的值. 【详解】由题意得 ， 因为， 所以. 5．B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 6．D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 7．D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 8．D 【分析】由题设结合双曲线的定义可得，，再根据结合勾股定理及等面积法可得，，进而求得，进而求解离心率即可. 【详解】由于的中点记为，的中点记为， 则，即， 由于，则，即， 则，即①， 而，则，即②， 由①②，解得（因，另外一解舍去）， 则双曲线的离心率为. 9．BC 【分析】结合空间线面位置关系的判定定理判断即可. 【详解】选项A.若，，，则或与相交，错误. 选项B.因为，，所以直线是平面的一条法线，直线是平面的一条法线， 又因为，因此平面，正确. 选项C.由，所以平面内存在直线满足；又，因此. 因为，所以；又因为，根据面面垂直的判定定理，所以，正确. 选项D.若，，，则或与相交，错误. 10．ACD 【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角， 故或， 为直角三角形或钝角三角形，故A正确； 选项B：当时，，对于任意，， 恒成立，为钝角三角形，故B错误； 选项C：由 ，得， 由余弦定理得：， ， ，故C正确； 选项D：由正弦定理，则，即， ， ，故D正确． 11．BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， B正确， 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确. 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，D正确， 12． 【详解】的展开式的通项， 令，得，即． 13． 【详解】由，根据面面垂直的性质定理，平面，则， 同理，故平面． 因为，所以可将三棱锥补成一个棱长为1的正方体， 三棱锥的外接球与正方体的外接球完全相同． 正方体的体对角线长度为， 即外接球的直径，故， 则三棱锥外接球的表面积． 14． 【分析】转化问题为有解，令，，设，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，得，显然， 所以在有解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的取值范围为. 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过作辅助线证明，再通过线面平行的判定定理即可证明； （2）先证平面，再建立空间直角坐标系求出平面的法向量和平面的法向量，最后求解二面角的正弦值即可. 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是平行四边形，故为的中点， 又，故为的中位线，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面是菱形，，则是等边三角形， 设的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 连接，，因为是等边三角形，则， 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系. 设，则由几何关系可知，，，， 故，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，取，则，则， 平面的法向量为， 则，取，则，则. 故. 故平面与平面夹角的余弦值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； （2）因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 17．(1)，，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 (2)X的期望；X的方差． 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【详解】（1）由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． （2）易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，， 所以X的期望； X的方差． 18．(1) (2)是， 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【详解】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 19．(1) (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $