第三节 不等式的性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“不等式的性质”核心考点，依据高考评价体系梳理了比较大小、性质应用、范围求解三大考查方向，通过真题分析明确比较大小（占比约30%）和性质判断（占比约40%）为高频考点，归纳出选择、填空及解答题中的常考题型，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“知识清单系统化+真题例析情境化+跟踪训练分层化”，如例1通过作差法比较√2、√7-√3、√6-√2的大小，培养数学思维的推理能力，例3结合不等式性质求2α-β/3的范围，渗透数学语言的模型意识。特设“学霸笔记”提炼方法，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现精准复习，提升备考效率。

第三节　不等式的性质 1 知识清单 1.两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或________1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或________1(a，b＜0) < ＞ 返回导航 2 2.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 a＞b⇔________ 传递性 a＞b，b＞c⇒________ 可加性 a＞b⇒a＋c＞b＋c 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒________ 同向可加性 a＞b，c＞d⇒____________ 同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒________ 同正可乘方性 a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2) b＜a a＞c ac＜bc a＋c＞b＋d ac＞bd 返回导航 3 【常用结论】 与倒数有关的结论： (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0，0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 返回导航 4 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)一个不等式的两边同加上或同乘一个数，不等号方向不变．(　　) (3)若>1，则a>b.(　　) (4)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　) √ × × √ 返回导航 5 2．(多选)(人教A版必修一P42练习T2改编)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，c<d，那么a－c>b－d B．若a>b>0，c<d<0，那么ac>bd C．若a>b>0，那么> D．若a>b>c>0，那么< 答案：AD 返回导航 6 解析：若a＞b，c<d，则－c＞－d，由同向可加性得a－c＞b－d，故A正确；若a＞b＞0，c<d<0，同向同正才能相乘，则－c＞－d＞0，才能得出－ac＞－bd，即ac<bd，故B错误；若a＞b＞0，则0<，由同正可乘方性即可得出<，故C错误；若a＞b＞c＞0，则0<<，由于c为正数，则<，故D正确．故选AD. 返回导航 7 3．(人教A版必修一P40T2改编)设M＝(x＋3)(x＋7)，N＝(x＋4)(x＋6)，则M与N的大小关系为________． 答案：M<N 解析：M－N＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以M<N. 返回导航 8 4．(人教A版必修一P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________． 答案：＞ 解析：因为b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，所以糖水的浓度为.再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水的浓度为.糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，所以＞. 返回导航 9 命题点一　比较数与式的大小 例1 (1)设P＝，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是(　　) A．P>Q>R B．P>R>Q C．Q>P>R D．Q>R>P (2)eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为__________(用“<”连接)． B eπ·πe＜ee·ππ 返回导航 10 解析：(1)∵P－R＝－＝2>0，∴P>R，R－Q＝－＝－，而2＝9＋22＝9＋2，而18>14，∴，即R>Q.综上P>R>Q.故选B. (2)＝π－e，又0<<1，0<π－e<1，所以π－e<1，即<1，又ee·ππ>0，eπ·πe>0，所以<ee·ππ. 返回导航 11 学霸笔记： (1)作差法：若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式)，常用作差比较法，一般作差后利用因式分解或配方等判断符号． (2)作商法：若待比较的式子符号相同，且含分式或指数式，常用作商比较法． 返回导航 12 跟踪训练　(1)已知P＝x2＋xy＋y2，Q＝3xy－1，则(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．P，Q的大小关系不确定 (2)已知P＝a2＋a＋1，Q＝(a∈R)，则P，Q的大小关系为________． A P≥Q 返回导航 13 解析：(1)因为P－Q＝x2＋xy＋y2－3xy＋1＝(x－y)2＋1>0，所以P>Q.故选A. (2)因为P＝a2＋a＋1＝2＋>0，a2－a＋1＝2＋>0，则Q>0.所以＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q. 返回导航 14 命题点二　不等式的基本性质 例2 (多选)(2026·临沂二模)已知a>b>c，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．ab2>cb2 C．a＋b>c D．a2＋c2>b2 答案：AD 返回导航 15 解析：对于A，，因为a>b>c，所以c－b<0，a－c>0，a－b>0，即<0，所以<，故A正确；对于B，取a>b＝0>c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1>b＝－2>c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若b＝0，则a2＋c2>b2＝0显然成立，若b，则a2＋c2a2>b2成立，若a>0>b>c，则a2＋c2c2>b2成立，综上所述，只要a>b>c，就一定有a2＋c2>b2，故D正确．故选AD. 返回导航 16 学霸笔记：判断不等式是否成立主要是综合不等式的性质进行推理论证，求解时常用比较大小的方法以及取特殊值判断． 返回导航 17 跟踪训练　(多选)(2026·沧州模拟)下列说法正确的是(　　) A．若a<b，则< B．若a<b，则> C．若a<b，c>d，则a－c<b－d D．若a，b，m>0，则< 答案：AC 返回导航 18 解析：对于A，因为a<b，且>0，所以<，故A正确；对于B，若a<0<b，则<，故B错误；对于C，因为c>d，所以－c<－d，又因为a<b，所以a－c<b－d，故C正确；对于D，若a>b>0，则ab＋am>ab＋bm，不等式两边同时除以b(b＋m)得>，故D错误．故选AC. 返回导航 19 命题点三　利用不等式的性质求范围 例3 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围为________，3x＋2y的取值范围为________． (2)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是___________． (－4，2) (1，18) 返回导航 20 解析：(1)∵－1<x<4，2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，∴1<3x＋2y<18. (2)∵a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，b＝－2a－c.∵a＞b＞c，∴－2a－c＜a，即3a＞－c，解得<－.将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得>－1，∴－1＜－. 返回导航 21 学霸笔记：利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除求解时要充分利用所给条件进行适当变形，注意变形的等价性． 返回导航 22 　跟踪训练　(1)设α∈(－)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－) C．[－) D．(－，π) (2)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． D 返回导航 23 解析：(1)因为α∈，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤0，所以－<2α－<π.故选D. (2)因为4<b<9，所以<<，又3<a<8，所以×3<<×8，即<<2. 返回导航 24 1．设a，b∈R，则下列条件可断定|a|<b的是(　　) A．a<b且－a<b B．a<b或－a<b C．a<b且a<－b D．a<b或a<－b 答案：A 解析：由|a|<b可知b>0，则－b<a<b，等价于“a<b且－a<b”．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 25 2．若x，y∈[2，＋∞)，则p＝xy＋2与q＝2x＋y的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p>q D．p<q 答案：A 解析：由题意有p－q＝(xy＋2)－(2x＋y)＝xy－2x＋2－y＝(1－x)(2－y)，因为x，y∈[2，＋∞)，所以1－x<0，2－y≤0，所以p－q≥0，即p≥q.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 26 3．(2026·六安模拟)若a>b>0，c>d，则(　　) A．ac>bd B．a－c>b－d C．ac2>bc2 D．a2c>a2d 答案：D 解析：对于A，当a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－时，ac＝bd＝－3，故A错误；对于B，当a＝3，b＝2，c＝－1，d＝－2时，a－c＝b－d＝4，故B错误；对于C，当a＝3，b＝2，c＝0时，ac2＝bc2＝0，故C错误；对于D，因为a>b>0，所以a2>0，又因为c>d，所以a2c>a2d，故D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 27 4．若a<b<c，则的值为(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 答案：A 解析：.因为a<b<c，故c－b>0，a－c<0，a－b<0，＞0，即＞0.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 28 5．(2026·驻马店模拟)“b>0>a”是“a2>ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 29 解析：当b>0>a时，a－b<0，则a(a－b)>0，则a2>ab成立，可知充分性成立；当a＝1，b＝0时，a2>ab成立，但b>0>a不成立，可知必要性不成立．可得“b>0>a”是“a2>ab”的充分不必要条件．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 30 6．下列命题为真命题的是(　　) A．若>，则a<b B．若a<b，则a2<b2 C．若a>b>0，则< D．若a>b>0，则< 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 31 解析：对于A，举例a＝1，b＝－1，满足>，但a>b，故A错误；对于B，举例a＝－1，b＝1，满足a<b，但a2＝b2，故B错误；对于C，若a>b>0，>0，即>，故C错误，对于D，，因为a>b>0，则ab>0，b＋a>0，b－a<0，则<0，即<.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 7．(2026·沧州模拟)已知2<a≤4，－1<b≤0，则2a－b的取值范围是(　　) A．[4，9) B．(4，9) C．(5，8] D．(5，8) 答案：B 解析：因为2<a≤4，－1<b≤0得4<2a≤8，0≤－b<1，所以4<2a－b<9.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 8．已知0<b<a，a＋b＝1，则(　　) A．0<a< B．<b<1 C．ab>a2 D．0<a－b<1 答案：D 解析：由0<b<a，a＋b＝1可得0<1－a<a，解得<a<1，故A错误；也可得0<b<1－b，解得0<b<，故B错误；由0<b<a可得0<a·b<a·a，即ab<a2，故C错误；由上面的推导可知<a<1， 0<b<，即－<－b<0，所以－<a＋(－b)<1＋0，即0<a－b<1，故D正确．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 9．(2026·日照模拟)已知a<b<0，c∈R，则下列不等式成立的是(　　) A．< B．ac3<bc3 C．a2>b2 D．＋a>＋b 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 解析：由a<b<0，则<<0，A正确；若c＝0时ac3＝bc3，B错误；由a<b<0，则＋a－＝＋(a－b)＝(a－b)，又a<b<0，则a－b<0，ab>0，故(a－b)<0 即＋a－<0，所以＋a<＋b，D错误．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 10．(2026·广州模拟)已知6<a<60，15<b<18，则下列正确的是(　　) A．∈ B．a＋b∈(21，78) C．a－b∈(－9，42) D．∈ 答案：AB 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 解析：因为6<a<60，15<b<18，所以<<，－18<－b<－15，则<<，6＋15<a＋b<60＋18，6－18<a－b<60－15，即<<4，21<a＋b<78，－12<a－b<45，则∈，a＋b∈(21，78)，a－b∈(－12，45)，1∈，故AB正确，CD错误．故选AB. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 11．若x<y<0，设M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x＋y)，则M，N的大小关系是________. 答案：M>N 解析：M－N＝－2xy(x－y)，因为x<y<0，所以－2xy<0，x－y<0，所以M－N>0，即M>N. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 12．已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．(填序号) 答案：① 解析：①由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，由a<b；③当a<0，b<0时，由a2>b2可知a<b; 故②③不是a>b的充分条件．所以能成为“a>b”的充分条件的只有①. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 13．(13分)(1)比较－1与2－的大小． (2)已知c>a>b>0，比较与的大小． 答案：由2－(2＋1)2＝2－4>0， 故>2＋1，即－1>2－. 答案：， 因为c>a>b>0，则c－a>0，c－b>0，a－b>0， 故>0，则>. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 14．(15分)(1)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. (2)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，证明：ab＋bc＋ca<0. 证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0<<. 又∵e<0，∴>. 证明：∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)．∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，则a2＋b2＋c2>0，∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2)<0. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 15．(5分)已知实数m，n，p满足m2＋n＋4＝4m＋p，且m＋n2＋1＝0，则下列式子成立的是(　　) A．n≥p>m B．p≥n>m C．n>p>m D．p>n>m 答案：B 解析：因为m2＋n＋4＝4m＋p，移项得m2－4m＋4＝p－n，所以p－n＝(m－2)2≥0，可得p≥n，由m＋n2＋1＝0，得m＝－n2－1，可得n－m＝n－(－n2－1)＝n2＋n＋1＝(n＋)2＋>0，可得n>m，综上所述，p≥n>m成立．故选B． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 16.(5分)(2026·武汉模拟)若实数a，b满足－1<a＋b<3，2<a－b<4，则3a＋b的取值范围为________. 答案：(0，10) 解析：令3a＋b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又－1<a＋b<3，2<a－b<4，所以0<2(a＋b)＋(a－b)<10，即0<3a＋b<10，所以3a＋b的取值范围为(0，10)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 $