湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

**基本信息** 2024级高二5月月考数学试卷，覆盖数列、概率统计、解析几何、函数导数等核心模块，解答题融合泊松分布应用、函数零点证明等，注重数学思维与应用能力，适配月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|等差等比数列、正态分布、隐函数求导|第8题结合隐函数定义考查切线方程，体现创新应用| |多选题|3题/15分|分层抽样、双曲线性质、函数极值|第10题关联双曲线渐近线与圆相切，综合几何与代数| |填空题|3题/15分|条件概率、三次函数拐点、抛物线焦点弦|第13题以“拐点”定义考查三次函数对称中心，深化概念理解| |解答题|5题/50分|数列求和、立体几何证明、泊松分布应用、椭圆综合、函数导数|第17题结合工厂次品率考查泊松分布近似计算，体现数学语言表达现实问题；第19题函数零点证明，培养逻辑推理能力|

2025—2026学年度下学期2024级 5月月考数学试卷 命题人：吕跃 审题人：邹泳 考试时间：2026年5月21日 一、单选题 1．在等差数列中，，则（   ） A．108 B．62 C．56 D．54 2．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（   ） A． B．120 C． D．240 3．设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ）参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 5．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出灯泡的次数，则（    ） A． B． C． D． 6．用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（   ） A．280 B．420 C．720 D．1680 7．已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 8．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 10．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 11．如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（   ） A．的取值范围是 B．函数有两个极值点 C．当时先减后增且恒为负 D． 三、填空题 12．在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为 13．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______． 14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________． 四、解答题 15．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 17．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的的取值范围。 （参考数据：；若，则有，，） 18．如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程： (2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点． （ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标： （ⅱ）求面积的最大值． 19．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若，求的最大值； (3)若函数有零点，证明：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $