湖北省沙市中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
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5月月考数学试卷
命题人：王鹏 审题人：邹振斌
考试时间：2025年5月16日
一、单选题
1．
展开式中的常数项为（ ）
A．10 B．
C．80 D．
2．某校高三年级有1000人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布
，且成绩不低于110分的人数为200，则此次考试数学成绩高于90分的人数约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．950
3．记
为等比数列
的前n项和.若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．2 B．0 C．
D．
5．公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘
客在第4个车站下车的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，
，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设
，
是双曲线C：
（
，
）的左，右焦点，O是坐标原点.过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若
，则C的离心率为（ ）
A．
B．2 C．
D．
8．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中
，
，
，
是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知等差数列
的前
项和为，若
，且对于任意正整数都有
，则（ ）
A．
B．
是公差为
的等差数列
C．
D．
，
10．现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（ ）
A．若自由放置，共有3125种不同的放法
B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法
C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种
D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种
11．设函数
，则（ ）
A．
的单调递增区间为
， B．有三个零点
C．若关于x的方程
有四个不同实根，则
D．若
对于
恒成立，则
三、填空题
12．斜率为1的直线
经过抛物线
的焦点
，且与抛物线相交于
，
两点，则线段
的长为 .
13．已知函数
在
上存在零点，则实数
的最小值为 ．
14．现有n个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射新信号．当处理器接收到一个A类信号时，会产生一个A类信号和一个B类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个B类信号时，会产生一个A类信号和两个B类信号，产生的B类信号全部发射至下一个处理器，但由接收B类信号直接产生的所有A类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个A类信号至第二个处理器，按
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上述规则依次类推，若第n个处理器发射的B类信号数量记作
，即
，则
，数列
的通项公式
．
四、解答题
15．已知函数
（
）．
(1)若
是函数
的极值点，求a的值；
(2)讨论的单调性．
16．已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球和一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．
(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量X为1号球的个数，求X的分布列；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球．求第二次摸到的是3号球的概率．
17．对于数列
且
，则称数列
为
的“四分差数列”．已知数列为数列
的“四分差数列”．
(1)若
，求
的值．
(2)设
．
①求的通项公式；
②若数列
满足
，且的前n项和为
，证明：
．
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