精品解析：2025年第21届泛珠三角物理奥林匹克暨中华名校邀请赛力学基础考试物理试题

第21届泛珠三角物理奥林匹克暨中华名校邀请赛力学基础试题 第I部分是选择题（共48分，答案唯一），第II部分是简答题（共52分）。全部做在答题纸上 若有需要取重力加速度及重力常数（若没有特别注明取所有摩擦力为零） 第I部分选择题（16×3分） 一辆重量为800公斤的赛车沿着半径为R=100m的圆形赛道行驶。赛道倾斜角度为，如图所示。轮胎与赛道之间的静摩擦系数和动摩擦系数分别为和。 1. 保留3位有效数字，在什么速度范围内，轮胎不会相对于赛道打滑？您可以忽略空气阻力和滚动摩擦，这样轮胎和赛道之间在赛道切线方向上就没有摩擦力（　　） A. B. C. D. E. 2. 接上题，如果且，那么，保留3位有效数字，赛车的速度范围是多少，使得轮胎相对于轨道不会打滑（　　） A. B. C. D. E. 3. 一个装有弹簧的玩具静止地放在水平、无摩擦的表面上。当弹簧松开时，玩具会分裂成三块，A、B和C，且各自沿着表面滑动。A、B和C的质量分别为、和，若已知A和B的速度之间的角度为，问必须满足以下哪个条件才能确保C的速率为三者中最快？（ ） A. B. C. D. E. 4. 质量为4.00×1030千克的恒星A正朝某个方向移动，质量为千克的恒星位于其前方并正朝同一方向移动。恒星和恒星的初速度分别为10公里/秒和40公里/秒，它们的初始距离为公里。求它们的最大距离（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 E. 公里 5. 在一个半径为的均匀球体上挖出一个直径为的洞，使原球体的中心位于洞的表面，如图所示。洞的中心和都位于轴上。求该物体绕通过并与洞表面相切的轴（图中的轴）的转动惯量，以和物体的质量表达（ ） A. B. C. D. E. 一个均匀的矩形板，其一边固定在地面上，且板面与垂直方向成角度，其中。如果大于某个角度，则在放开板体使其在重力作用下绕固定边缘旋转的那一刻，以下陈述为真：板体的另一端的加速度的垂直向下分量大于。 6. 求该角度（ ） A. B. C. D. E. 7. 当板体以上述角度被放开的瞬间，地面所施加的反作用力的大小和垂直分力分别是多少？（ ） A. ，向上 B. ，向下 C. ，向上 D. ，向下 E. 此瞬间没有任何反作用力。 8. 如果小于上述临界角，则当板旋转到某个角度时陈述为真。如果，求该角（ ） A. B. C. D. E. 9. 一根均匀的细杆，质量为，长度为，最初静止在光滑的地板上。它的一端被一个点质量撞击，该点质量的速率为，垂直于杆。碰撞后，点质量嵌入杆中，如图所示。取千克，千克，米，米/秒。求刚碰撞后瞬间杆另一端的速度（ ） A. 0米/秒 B. 向右6.67米/秒 C. 向右10.2米/秒 D. 向左3.45米/秒 E. 向左5.71米/秒 回答下列小题 10. 大炮和大炮可以以相同的速率发射炮弹。大炮位于高为的悬崖顶。大炮位于悬崖左方地面上，与悬崖的距离为。在某一时刻，大炮向左水平发射一枚炮弹。大炮同时以一定的仰角发射一枚炮弹，如图所示。求出使得两枚炮弹可能相撞的（ ） A. B. C. D. E. 11. 接上题，当速度低于多少时，两颗炮弹不可能相撞（ ） A. B. C. D. E. 12. 如下图所示，一根刚性均匀杆，其右端受到向右的力，左端受到向右的力。杆中点处的张力是多少（ ） A. 0 B. C. D. E. 回答下列小题 13. 考虑一个牛顿摆，其中只有两个球A和B，它们的质量分别为和，且这两个质量可能不同。每个球都用一根绳子悬挂在一水平杆上固定的点。B最初处于静止状态，A最初在一定高度开始向下摆动并以速率撞击B，如右图所示。此时，两根绳子都是垂直的。碰撞是理想的弹性碰撞。碰撞后，两个球向上摆动，然后再次向下摆动，并在相同的最低位置再次碰撞。求（ ） A. B. C. 1 D. 2 E. 3 14. 接上题，第二次碰撞后A和B的速度分别是多少？取向右的速度为正（ ） A. A：，B： B. A：，B： C. A：，B： D. A：，B： E. A：，B： 15. 考虑如图所示的装置，4个金属球完全相同，质量均为。磁铁的质量为。整个装置放置在气垫轨道上，这样可以忽略所有摩擦力。最初，球A从左侧很远的地方以初速率向右移动。球A撞到磁铁后，球D被射向右侧，并在很远的地方达到最终速率。碰撞后，磁铁与球A、B和C粘在一起。由于没有摩擦，球在轨道上滑动而不旋转。分别用和表示整个系统的初动能和终动能。求（ ） A. 81 B. 89 C. 105 D. 121 E. 137 16. 一根2.00米长的均匀细绳的一端连接到振荡器上，另一端固定，当振荡器设置为进行振幅为1.00毫米、频率为10.0赫兹的简谐运动时，会产生横向驻波。沿弦传播的波速为41.0米/秒。由于振荡幅度很小，可以忽略由于振荡引起的弦长变化，故振荡器到固定端的距离可以取为2.00米。求产生的驻波的最大振幅（ ） A. 1.00毫米 B. 6.53毫米 C. 9.35毫米 D. 13.1毫米 E. 18.7毫米 第II部分简答题（52分） 17. 如图所示，两个均匀薄圆盘的质量分别为和，半径分别为和，由一根穿过它们中心的无质量的刚性杆牢固地固定住，该杆长度为。该组件放在坚固平坦的表面上，并使其在表面上滚动而不滑动。绕杆轴的角速率为。 （1）求角度。 （2）求组件质心绕轴的角速率。 （3）求绕点O的轨道角动量的大小，即忽略在质心参考系中观察到的由于自转而产生的自转角动量而只计算由于组件质心运动而产生的角动量。 18. 考虑两个质量分别为和的物体在光滑水平面上作一维运动并发生弹性碰撞。和的初速度分别为和，碰撞后的速度分别为和。 （1）求以，，和表达的和。已知且最初处于静止状态，而在右侧以速度向移动。将向右的方向视为正方向，因此。初次碰撞后，向左移动并在一定距离处撞到一墙壁，然后反弹回来再次向右移动。然后它可能再次撞到并再反弹回来撞到墙壁。将和之间的初次碰撞称为第0次碰撞。我们假设所有碰撞都是弹性碰撞。设和在第次碰撞之前的速度分别为和，因此和 。 （2）用相空间中的一个点表示两个物体的运动状态。因此，在第一次碰撞之前，状态为。在第二次碰撞之前，状态为。求以和表达之图所示的角度。 （3）据上，或以其他方法，求以，和表达的和。上述过程重复一定次数，直到系统达到不再发生碰撞的状态。 （4）假设两物体之间以及与墙壁之间的碰撞总次数为。证明如果画出与的关系图，当时，这些点渐近位于一条直线上。这条直线的斜率是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21届泛珠三角物理奥林匹克暨中华名校邀请赛力学基础试题 第I部分是选择题（共48分，答案唯一），第II部分是简答题（共52分）。全部做在答题纸上 若有需要取重力加速度及重力常数（若没有特别注明取所有摩擦力为零） 第I部分选择题（16×3分） 一辆重量为800公斤的赛车沿着半径为R=100m的圆形赛道行驶。赛道倾斜角度为，如图所示。轮胎与赛道之间的静摩擦系数和动摩擦系数分别为和。 1. 保留3位有效数字，在什么速度范围内，轮胎不会相对于赛道打滑？您可以忽略空气阻力和滚动摩擦，这样轮胎和赛道之间在赛道切线方向上就没有摩擦力（　　） A. B. C. D. E. 2. 接上题，如果且，那么，保留3位有效数字，赛车的速度范围是多少，使得轮胎相对于轨道不会打滑（　　） A. B. C. D. E. 【答案】1. D 2. C 【解析】 【1题详解】 若赛车速度较大时，即赛车向外打滑，此时赛车有沿斜面向上滑动的趋势，静摩擦力沿斜面向下，水平方向，有 竖直方向，有 又 联立解得 代入数据解得 若赛车速度较小时，即赛车向内打滑，此时赛车有沿斜面向下滑动的趋势，静摩擦力沿斜面向上，水平方向，有 竖直方向，有 又 联立解得 代入数据解得 所以，若轮胎和赛道之间在赛道切线方向上就没有摩擦力，速度范围为。 故选D。 【2题详解】 由以上分析可知，当轮胎相对于轨道不会打滑时，最大速度为 由于，即赛车速度较小时，其所受静摩擦力可以完全平衡重力沿斜面向下的分力，即赛车不会向内打滑，所以赛车速度的范围为。 故选C。 3. 一个装有弹簧的玩具静止地放在水平、无摩擦的表面上。当弹簧松开时，玩具会分裂成三块，A、B和C，且各自沿着表面滑动。A、B和C的质量分别为、和，若已知A和B的速度之间的角度为，问必须满足以下哪个条件才能确保C的速率为三者中最快？（ ） A. B. C. D. E. 【答案】E 【解析】 【详解】系统初始静止，水平面无摩擦，因此分裂过程总动量守恒， 总动量为0，即 ，得 已知与夹角为，由矢量合成公式得大小： 三个动量构成闭合三角形，其中与在三角形中的夹角为 由正弦定理得： 式中，为三角形另外两个内角， 的最大值为1 要求为三者最大，即且 结合 ，代入得： 约去，代入最大值1，得 同理得，综合得 ,故选E。 4. 质量为4.00×1030千克的恒星A正朝某个方向移动，质量为千克的恒星位于其前方并正朝同一方向移动。恒星和恒星的初速度分别为10公里/秒和40公里/秒，它们的初始距离为公里。求它们的最大距离（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 E. 公里 【答案】A 【解析】 【详解】两恒星组成的系统仅受相互引力作用，动量守恒、机械能（动能+引力势能）守恒 当两者速度相等时，距离达到最大，此前B速度大于A，距离持续增大，此后A速度将超过B，距离开始减小。 由动量守恒定律： 代入、、、 解得 引力势能公式为 由机械能守恒： 代入初始距离、 计算得，故选A。 5. 在一个半径为的均匀球体上挖出一个直径为的洞，使原球体的中心位于洞的表面，如图所示。洞的中心和都位于轴上。求该物体绕通过并与洞表面相切的轴（图中的轴）的转动惯量，以和物体的质量表达（ ） A. B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【详解】挖去的小球直径为，故其半径为 均匀球体质量与体积成正比，故挖去小球的质量与原完整球体质量满足，即 剩余物体质量 解得， 均匀球体绕通过球心的轴的转动惯量公式为 轴过原球球心，故原球转动惯量 代入得 小球球心在轴上，与点间距 小球绕自身球心且平行于轴的转动惯量为 由平行轴定理，小球绕轴的转动惯量 代入，得 所以该物体的转动惯量为 故选B。 一个均匀的矩形板，其一边固定在地面上，且板面与垂直方向成角度，其中 。如果大于某个角度，则在放开板体使其在重力作用下绕固定边缘旋转的那一刻，以下陈述为真：板体的另一端的加速度的垂直向下分量大于。 6. 求该角度（ ） A. B. C. D. E. 7. 当板体以上述角度被放开的瞬间，地面所施加的反作用力的大小和垂直分力分别是多少？（ ） A. ，向上 B. ，向下 C. ，向上 D. ，向下 E. 此瞬间没有任何反作用力。 8. 如果小于上述临界角，则当板旋转到某个角度时陈述为真。如果 ，求该角（ ） A. B. C. D. E. 【答案】6. E 7. A 8. C 【解析】 【小问1详解】 设矩形板质量为，沿垂直固定转轴方向的长度为 均匀矩形板绕固定边缘的转动惯量为 刚释放瞬间角速度，仅存在角加速度 由转动定律，重力对转轴的力矩满足，代入转动惯量解得 板自由端的切向加速度大小为，方向垂直于板面 将其分解为竖直向下分量，因板面与竖直方向夹角为，故竖直分量为 临界情况满足 代入得，解得，即，故选 E。 【小问2详解】 质心到转轴的距离为，故质心切向加速度 竖直向下分量为 代入临界角得 由质心运动定理，竖直方向合外力满足 解得地面反作用力的竖直分量，方向向上 地面作用力大小为，故选A。 【小问3详解】 当静止释放，板转过角度时，由机械能守恒，质心下降高度， 故，代入，解得角速度平方 此时端点加速度包括两个分量：切向分量（垂直板面）、法向分量（沿板面向转轴） 二者竖直向下分量之和为临界值，即： 代入化简得二次方程 取合理正根得，即，故选 C。 9. 一根均匀的细杆，质量为，长度为，最初静止在光滑的地板上。它的一端被一个点质量撞击，该点质量的速率为，垂直于杆。碰撞后，点质量嵌入杆中，如图所示。取 千克，千克，米， 米/秒。求刚碰撞后瞬间杆另一端的速度（ ） A. 0米/秒 B. 向右6.67米/秒 C. 向右10.2米/秒 D. 向左3.45米/秒 E. 向左5.71米/秒 【答案】E 【解析】 【分析】 【详解】设碰撞后系统质心速度为,点质量的初速度方向为正方向，则初始总动量为 末态总动量为 代入数据，解得，方向向右。 以杆的初始质心即杆中点为原点，向右为正方向，系统质心到杆初始中点的距离为x，根据质心位置公式 即系统质心在杆初始中点右侧1.25米处。 以系统质心为参考点，初始时杆静止，角动量为0；点质量相对系统质心的距离为 其初始角动量为 碰撞后，系统绕质心转动，总转动惯量为杆绕系统质心的转动惯量与点质量绕系统质心的转动惯量之和， 杆绕自身质心的转动惯量为 根据平行轴定理，杆绕系统质心的转动惯量为 点质量绕系统质心的转动惯量为 总转动惯量为 根据角动量守恒定律，初始角动量等于末态绕质心转动的角动量，即满足 由以上解得，转动方向为逆时针。 又由杆另一端到系统质心的距离为 该端点的速度为质心平动速度与绕质心转动速度的矢量和， 由于转动方向为逆时针，杆另一端的转动速度方向向左，与质心速度方向相反，因此 解得 负号表示速度方向向左。 故选E。 【点睛】 回答下列小题 10. 大炮和大炮可以以相同的速率发射炮弹。大炮位于高为的悬崖顶。大炮位于悬崖左方地面上，与悬崖的距离为。在某一时刻，大炮向左水平发射一枚炮弹。大炮同时以一定的仰角发射一枚炮弹，如图所示。求出使得两枚炮弹可能相撞的（ ） A. B. C. D. E. 11. 接上题，当速度低于多少时，两颗炮弹不可能相撞（ ） A. B. C. D. E. 【答案】10. C 11. D 【解析】 【10题详解】 设大炮A的位置为坐标原点。根据题意，大炮B位于高为的悬崖顶，且大炮A与悬崖的水平距离为。因此，大炮B的坐标为。 大炮B向左水平发射，初速度大小为。 其初始位置为，初速度向量为。 在重力加速度的作用下，炮弹B在时刻的位置坐标为： ； 大炮A以仰角发射，初速度大小也为。 其初始位置为原点，初速度向量为。 在重力加速度的作用下，炮弹A在时刻的位置坐标为： ； 要使两枚炮弹相撞，它们必须在同一时刻到达空间中的同一点。即存在某个时间，使得：； 将运动方程代入上述条件： 水平方向： 竖直方向： 整理得：； 根据半角公式，我们知道：； 将这些代入上面的等式中：； 对上式两边取反正切，得到： 故选C。 【11题详解】 相撞必须在炮弹B落地前发生，即相撞时炮弹B的高度必须大于0。 相撞时间必须满足 ：即 ，解得 将代入不等式： 解得： 为了求出的下限，我们需要确定的值。 已知，利用三角恒等式： 所以， 将代入的表达式中： 整理得： 故选D。 12. 如下图所示，一根刚性均匀杆，其右端受到向右的力，左端受到向右的力。杆中点处的张力是多少（ ） A. 0 B. C. D. E. 【答案】B 【解析】 【详解】设杆的质量为，对整体分析，根据牛顿第二定律有 解得加速度 方向向右。设杆中点处的张力为，取左半段杆为研究对象，其质量为，受到左端向右的力和中点处向右的张力，根据牛顿第二定律有 代入值解得 故选B。 回答下列小题 13. 考虑一个牛顿摆，其中只有两个球A和B，它们的质量分别为和，且这两个质量可能不同。每个球都用一根绳子悬挂在一水平杆上固定的点。B最初处于静止状态，A最初在一定高度开始向下摆动并以速率撞击B，如右图所示。此时，两根绳子都是垂直的。碰撞是理想的弹性碰撞。碰撞后，两个球向上摆动，然后再次向下摆动，并在相同的最低位置再次碰撞。求（ ） A. B. C. 1 D. 2 E. 3 14. 接上题，第二次碰撞后A和B的速度分别是多少？取向右的速度为正（ ） A. A：，B： B. A：，B： C. A： ，B： D. A：，B： E. A：，B： 【答案】13. A 14. A 【解析】 【13题详解】 碰撞后，两球向上摆动，返回时在相同的最低位置再次碰撞，可知两球碰后速度大小相等，方向相反；规定向右为正方向，设碰后A和B两球的速度大小均为，由动量守恒可知 两球发生弹性碰撞，碰撞前后系统动能总和不变，满足 两式联立，解得， 故选A。 【14题详解】 第一次碰撞后球A向左、球B向右，摆动后回到最低点时，速度大小不变、方向反转，因此第二次碰撞前A速度为 第二次碰撞前B速度为 设两球第二次碰后速度分别为和，由动量守恒得 两球发生弹性碰撞，碰撞前后系统动能总和不变，满足 结合 解得，或，（该解对应两球发生第二次碰撞前的运动状态，故舍去） 因此第二次碰撞后A和B的速度分别是， 故选A。 15. 考虑如图所示的装置，4个金属球完全相同，质量均为。磁铁的质量为。整个装置放置在气垫轨道上，这样可以忽略所有摩擦力。最初，球A从左侧很远的地方以初速率向右移动。球A撞到磁铁后，球D被射向右侧，并在很远的地方达到最终速率。碰撞后，磁铁与球A、B和C粘在一起。由于没有摩擦，球在轨道上滑动而不旋转。分别用和表示整个系统的初动能和终动能。求（ ） A. 81 B. 89 C. 105 D. 121 E. 137 【答案】B 【解析】 【详解】设碰撞后磁铁与球A、B和C的最终速度为，选向右为正方向，则根据动量守恒定律有 解得 即碰撞后磁铁与球A、B和C的最终速度大小为，方向向左。根据可得 故选B。 16. 一根2.00米长的均匀细绳的一端连接到振荡器上，另一端固定，当振荡器设置为进行振幅为1.00毫米、频率为10.0赫兹的简谐运动时，会产生横向驻波。沿弦传播的波速为41.0米/秒。由于振荡幅度很小，可以忽略由于振荡引起的弦长变化，故振荡器到固定端的距离可以取为2.00米。求产生的驻波的最大振幅（ ） A. 1.00毫米 B. 6.53毫米 C. 9.35毫米 D. 13.1毫米 E. 18.7毫米 【答案】D 【解析】 【详解】由波速公式 ，代入数据得 驻波固定端为波节，设固定端在，驻波振幅分布满足 其中波数，为待求的最大振幅 振源位于 处，其振幅为给定的 ，即 代入计算 利用三角恒等式 解得 ，故选D。 第II部分简答题（52分） 17. 如图所示，两个均匀薄圆盘的质量分别为和，半径分别为和，由一根穿过它们中心的无质量的刚性杆牢固地固定住，该杆长度为 。该组件放在坚固平坦的表面上，并使其在表面上滚动而不滑动。绕杆轴的角速率为。 （1）求角度。 （2）求组件质心绕轴的角速率。 （3）求绕点O的轨道角动量的大小，即忽略在质心参考系中观察到的由于自转而产生的自转角动量而只计算由于组件质心运动而产生的角动量。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 通过相似三角形可得，小圆盘圆心到O点的距离为l，则有 可得 【小问2详解】 设R1为小圆盘运动轨迹的半径，则有 设小圆盘自转1圈的时间为t，这段时间内圆盘走过的路程等于自身周长 设为小圆盘在时间t 内沿圆周轨迹转过的角度 设R2为大圆盘运动轨迹的半径，则有 设大圆盘自转1圈的时间为t，这段时间内圆盘走过的路程等于自身周长 设为大圆盘在时间t 内沿圆周轨迹转过的角度 时间t内沿z轴的角速度 【小问3详解】 题目给出质心的角速度 系统质心绕点O的角动量大小 是从点O指向质心的位置矢量。即 由于系统绕z轴旋转，系统质心沿半径为R的圆周运动。则 质心的线速度 因此，系统质心绕O点的角动量大小为 代入 可得绕O点的角动量大小为 18. 考虑两个质量分别为和的物体在光滑水平面上作一维运动并发生弹性碰撞。和的初速度分别为和，碰撞后的速度分别为和。 （1）求以，，和表达的和。已知且最初处于静止状态，而在右侧以速度向移动。将向右的方向视为正方向，因此。初次碰撞后，向左移动并在一定距离处撞到一墙壁，然后反弹回来再次向右移动。然后它可能再次撞到并再反弹回来撞到墙壁。将和之间的初次碰撞称为第0次碰撞。我们假设所有碰撞都是弹性碰撞。设和在第次碰撞之前的速度分别为和，因此和 。 （2）用相空间中的一个点表示两个物体的运动状态。因此，在第一次碰撞之前，状态为。在第二次碰撞之前，状态为。求以和表达之图所示的角度。 （3）据上，或以其他方法，求以，和表达的和。上述过程重复一定次数，直到系统达到不再发生碰撞的状态。 （4）假设两物体之间以及与墙壁之间的碰撞总次数为。证明如果画出与的关系图，当时，这些点渐近位于一条直线上。这条直线的斜率是多少？ 【答案】（1） ， （2） （3）， （4）见解析， 【解析】 【小问1详解】 根据动量守恒， 能量守恒 变形得 并且 即 解得， 【小问2详解】 根据 【小问3详解】 1. 守恒定律推导， 2. 角度的推导 利用二倍角公式 3.空间几何示意图 4. 第n次碰撞前速度表达式 整理得最终速度公式 【小问4详解】 1. 停止碰撞的临界条件：当 2. 大质量近似 3. 总碰撞次数计算 4. 渐近线斜率推导 斜率 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $