河北唐山市路南区2025-2026学年第二学期阶段性抽样评估高一数学试卷

**基本信息** 高一数学期中试卷立足核心素养，以复数、立体几何、概率统计为主体，融入垃圾分类、快递收费等现实情境，通过折叠旋转、频率分布等问题设计，考查空间观念、数据意识与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数坐标、圆台体积、频率分布直方图|第5题梯形旋转体积结合空间想象，第6题百分位数计算强化数据处理| |多选|3/18|直三棱柱性质、单位向量运算|第9题直三棱柱外接球与体积综合考查空间观念| |填空|3/15|折叠三棱锥外接球、向量模长|第12题折叠问题体现几何直观与创新意识| |解答|5/77|垃圾分类数据处理、快递费用统计、立体几何证明与体积、三棱台综合、概率计算|15题以垃圾分类竞赛为情境考查数据意识，17题梯形折叠证明线面垂直强化推理能力，19题独立事件概率计算突出运算能力|

2025-2026学年度第二学期阶段性抽样评估 高一数学答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A A D A C ACD ACD 题号 11 答案 BC 12.52元 13.1 14.司 15.(1)a=0.032,b=0.004,70.5 (2)80;37.5 【分析】(1)由题意结合各组频率之和为1，即可求得a,b的值，利用中位数的计算方法即可 求得中位数： (2)利用平均值以及方差公式，即可求得答案。 【详解】(1)由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍， 即10a=0.016×10×2,则a=0.032: 又(0.016+0.032+0.04+0.008+b)×10=1,解得b=0.004: 由于成绩在[50,70)内的频率为0.16+0.32=0.48，在[50,80)内的频率为0.16+0.32+0.40=0.88， 故中位数位于[70,80)，设为m,则0.48+(m-70)×0.04=0.5,解得m=70.5; (2)由x=80,可得x1+x2+x3+…+x0=80x10=800, 则易剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为800-75-85=80： 又标准差s=55,=[(G-'+-++(0-] =0[(++号++）-2（名+x++o)x+10x] =【(+号+号++)-10]=（++++)- 故2=代++写++)80=55， 则x2+x+x+…+x=64350, 则剩余的8个数的方差为(64350-75-85)-80=37.5. 16.(1)专：(2)①15元：②栽员前期望值为100元，裁员后期望值为975元，不利， 第1页共5页 【分析】(1)由频率估计概率即可； (2)①利用平均数公式直接求解即可：②根据题意及(2)(i),揽件数每增加1，可使前台 工资和公司利润增加15×，=5（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即 3 可 【详解】(1)样本包裹件数在101~40之间的天数为48，频率f=48-4 605 显然未来1天中，包裹件数在101~400之间的概率为号 (2)(i)样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：g) 2 5 快递费（单位：元） 10 15 20 25 30 包裹件数 % 30 15 P 4 故样本中每件快递收取的费用的平均值为 0x43+15x30+20x15+25×8+30×4=-15(元)， 100 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元 (i)根据题意及(2)(i),拨件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15x-5(元)， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范 0~100 101-200 201-300 301~400 401~500 围 包裹件数近 50 150 250 350 450 似 天数 6 6 30 12 6 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近 50 150 250 350 450 似 实际揽件数 50 150 250 350 450 第2页共5页 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 EY 50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260 故公司平均每日利润的期望值为260×5-3×100=1000（元）： 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近 50 150 250 350 450 似 实际揽件数 50 150 250 300 300 Z 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 EZ 50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235 故公司平均每日利润的期望值为235×5-2×100=975（元） 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利， 17.(1)证明见解析：(2) 【分析】(1)记BF中点为M,AC与BD交点为O,连接MO,ME,证明OCEM为平行四边形即可 (2)先证明BC⊥平面DEF,再根据等体积法'o-贴r=VB-pr求解即可. 【详解】(1)如下图，记BF中点为M,AC与BD交点为O,连接MO,ME, 由题设知，cEDr,Mo/1Dr,且cE=Dr,M0DF, 即CE/1MO且CE=MO,知：四边形OCEM为平行四边形，有EM1/CO,， 即EMAC.又AC文平面BEF,EMC平面BEF, 所以AC/I平面BEF, F E M D 0 A B (2):面CDFE⊥面ABCD,面CDFE∩面ABCD=DC,BC⊥DC,BCC面ABCD,.BC⊥面CDFE, 第3页共5页 即BC⊥平面DEF. 三校锥D-8F的体积为m=6egBC-*x2x2x2-子 32 31 18.(1)证明见解析 (2)227 3)存在，CF=42 【分析】(1)根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得AB⊥BB;由面面垂直和线面垂 直的性质可证得AB,⊥BC,结合BC⊥AB可证得结论： (2)延长从，8职，化交于一点P,根据-马B:可求得人m,利用体积桥北度=心 可构造方程求得结果： (3)根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设FE=√3t,根据几何关系可表 示出DE,由二面角大小可构造方程求得t,进而得到结果. 【详解】(1)连接AB, 在三棱台ABC-AB,C中，ABIA B: AB=2A4=2AB=2BB,∴四边形ABB,A为等腰梯形且∠ABB,=∠BAA=60°， 设AB=2x,则BB=x. 由余弦定理得：AB2=AB2+BB2-2AB·BB cos60°=3x2, AB2=AB2+BB,∴.AB1⊥BB: :平面ABBA,⊥平面BCC,B,平面ABB,A,∩平面BCC,B,=BB,AB,C平面ABB,A, ∴AB⊥平面BCCB,又BCc平面BCCB,·AB,⊥BC; :△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，∴BC⊥AB, :AB∩AB,=A,AB,ABC平面ABBA,BC⊥平面ABBA,. 第4页共5页 (2)由棱台性质知：延长A4,BB,CC交于一点P, B 48=4B,S.4c=4S.46,pc=8,4G, 2 B 87V52√5 V48c-49=7X12=39 :BC⊥平面ABB,A,即BC⊥平面PAB, .BC即为三棱锥P-ABC中，点C到平面PAB的距离， 由(1)中所设：AB=BC=2x,∠PAB=∠PBA=60°， △PAB为等边三角形，PA=PB=AB=2x, 3，=1; :AB=BC=PA=PB=2,.AC=PC=22, 5e=2x2a-F=7, 设所求点B到平面ACC,A的距离为d,即为点B到面PAC的距离， ,时受兰，解得：2回 3 7 即点B到平面4CC4的距离为2v2 71 (3):BC⊥平面ABB,A,BCc平面ABC,∴.平面ABC⊥平面PAB, ,平面ABC∩平面PAB=AB .取AB中点N,在正△PAB中，PWN⊥AB,PN⊥平面ABC, 又PWc平面PWC,∴.平面PWC⊥平面ABC. 作FE⊥CN,平面PNC∩平面ABC=CN,则FE⊥平面ABC, 作ED⊥AB,连接FD,则ED即FD在平面ABC上的射影， 第5页共5页 2025-2026学年度第二学期阶段性抽样评估姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．复数满足，那么复数对应的点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 6．某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（   ） A．82.5 B．81.5 C．87.5 D．85 7．记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．在直三棱柱中，，点M是棱上的一点，则下列说法正确的是（    ） A．AM⊥BC B．四棱锥的体积为2 C．直三棱柱外接球的表面积是 D．的最小值为5 10．已知向量，，均为单位向量，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的虚部为 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 13．已知向量与的夹角为，则__________. 14．如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 16．（15分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表： 包裹重量（单位：） 包裹件数 公司对近天，每天揽件数量统计如表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 天数 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （）计算该公司未来天揽件数在之间的概率； （）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 17．（15分）如下图,梯形中，，且，沿将梯形折起，使得平面平面． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18．（17分）如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且.    (1)证明：平面； (2)求点到面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. (1)求丙投篮命中的概率； (2)甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； (3)甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 高一数学试卷 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $