数学广角（重叠问题）（教案）-2025-2026学年人教版三年级下册数学

该教案聚焦“重叠问题”核心知识点，通过“脑筋急转弯+获奖名单”情境导入，从生活现象引发认知冲突，引导学生发现重复，借助集合圈（韦恩图）构建从具体到抽象的学习支架，梳理“只参加A、只参加B、两项都参加”的数量关系。 特色在于分层教学贯穿始终，基础题巩固集合圈应用，中等题突破建模，拓展题实现知识迁移，培养数学思维与应用意识。情境导入激发数学眼光，小组合作与动手操作提升探究能力，帮助学生理解核心公式，教师使用可兼顾学情，提升教学效率。

2026年春季人教版三年级下册数学同步教学设计 课题 数学广角 重叠问题 年级 三年级 授课教师 科目 数学 授课类型 新课 教学内容 教材第102-104页 课时 第1课时 学习目标 知识与技能：能结合生活情境理解重叠问题的数量关系，认识集合圈（韦恩图）的各部分含义，会用“分块相加”“先合后减”两种方法列式计算总人数， 过程与方法：能借助集合圈图示分析问题，完成应用题建模，能清晰描述“只参加A、只参加B、两项都参加”三个部分的区别，突破应用题建模和知识迁移的中等瓶颈。 情感态度与价值观：感受集合思想在生活中的应用，能自主设计简单的重叠问题，培养合作探究能力和逻辑推理能力，实现优秀率的稳步提升。 教学重点 1.理解重叠部分的含义，认识集合圈的结构； 2.掌握“总数=A+B-重叠部分”的核心计算方法，能正确列式计算。 教学难点 1.区分“只参加一项”和“参加两项”的不同含义，避免重复计算； 2.借助集合圈建立重叠问题的数学模型，实现知识迁移。 教学准备 多媒体课件、姓名磁贴、两个可移动的集合圈 教学过程 导入新课 （一）情境导入，引发认知冲突（5分钟） 师：同学们，上课前老师先出个脑筋急转弯考考大家！两个爸爸和两个儿子一起去看电影，他们只买了3张票就顺利进了电影院，这是为什么呀？ 学生回答预设： 预设1：“老师，他们有一个人没进去！”“他们买了儿童票！” 预设2：“因为有一个人既是爸爸又是儿子，重复了！” 师引导：你观察得很仔细，我们换个角度想——这三个人里，有一个人既是爸爸，又是儿子，身份重叠啦！比如爷爷、爸爸、孙子，爸爸既是爷爷的儿子，又是孙子的爸爸，所以两个爸爸+两个儿子，实际只有3个人。 师：生活中像这样“重复、重叠”的现象还有很多，今天我们就一起来研究数学广角里的——重叠问题（板书课题）。 师：咱们学校刚结束科技节，三（2）班的同学在“航空模型比赛”和“机器人作品比赛”里获奖啦！老师把获奖名单带来了，大家仔细看： 航空模型比赛获奖名单：杨明、王爱华、罗阳、陈东、马超、丁旭（共6人） 机器人作品比赛获奖名单：罗阳、于力、周晓、杨明、朱东、陶伟（共6人） 师：请同学们拿出练习单，把两份名单里的名字圈出来，算一算三（2）班一共有多少人获奖？给大家2分钟时间，开始！ 学生回答预设： 预设1：“6+6=12人！航空6个，机器人6个，加起来就是12人！” 师追问：你算得很认真，那我们再仔细数一数，把名字一个个列出来，真的有12个不同的人吗？ 预设2：“老师，不对！杨明和罗阳两个名字都出现了，重复了，所以不是12人！” 师引导：你眼睛太尖了！一下子就发现了重复的名字，那实际有多少人呢？我们一起数：杨明、王爱华、罗阳、陈东、马超、丁旭、于力、周晓、朱东、陶伟，一共10人！ 预设3：“有2个人两项都获奖了，被算了两次，所以6+6=12，多算了2个，12-2=10人！” 师表扬：你不仅数出了总人数，还说出了计算方法，逻辑太清晰了！ 师总结：你看，当一些事物被重复计算时，就出现了重叠问题。今天我们就用数学的方法，把这个重叠问题研究透！ 讲授新课 （二）合作探究，构建集合模型（15 分钟） 师：刚才我们发现，直接用 6+6 算总人数会重复，那怎样才能不重复、不遗漏地表示出所有获奖同学的情况呢？请小组讨论 3 分钟，用你们喜欢的方式（画图、列表、摆卡片）表示出来！ （学生小组讨论，教师巡视，参与小组交流，重点关注基础薄弱生的参与情况） 小组汇报预设： 预设 1（基础组）：我们用表格，把只参加航空的、只参加机器人的、两项都参加的分开写： 只参加航空模型：王爱华、陈东、马超、丁旭（4 人） 只参加机器人作品：于力、周晓、朱东、陶伟（4 人） 两项都参加：杨明、罗阳（2 人） 加起来 4+4+2=10 人。 师肯定：你们把人分了三类，特别清楚，完全没有重复，太棒了！ 预设 2（中等组）：我们画了两个圈，左边的圈放航空的人，右边的圈放机器人的人，中间重叠的地方放两项都参加的杨明和罗阳！ 师引导：这个想法太有创意了！老师这里有两个圈和姓名磁贴，谁愿意上来摆一摆？ 预设 3（优等组）：我们画了两个相交的圈，左边圈里写航空的 6 个人，右边圈里写机器人的 6 个人，中间重叠的部分写两个重复的人，这样一眼就能看出谁重复了！ 师表扬：你们和数学家想到一块儿去了！这个图叫集合圈，也叫韦恩图，是数学家韦恩发明的，专门用来表示重叠的事物。 师：现在我们一起来认识这个集合圈！（黑板贴出两个相交的集合圈） 师指左边月牙部分：这部分叫什么？里面放谁？ 学生回答预设： 预设 1：“放航空模型比赛的人！” 预设 2：“放只参加航空模型比赛的人！” 预设 3：“放只参加航空、没参加机器人比赛的人！” 师总结：这部分叫只参加航空模型比赛的学生，也就是只属于左边集合、不属于右边集合的部分，这里放王爱华、陈东、马超、丁旭 4 个人。 师指右边月牙部分：这部分又叫什么？里面放谁？ 学生回答预设： 预设 1：“放机器人比赛的人！” 预设 2：“放只参加机器人比赛的人！” 预设 3：“放只参加机器人、没参加航空比赛的人！” 师总结：这部分叫只参加机器人作品比赛的学生，也就是只属于右边集合、不属于左边集合的部分，这里放于力、周晓、朱东、陶伟 4 个人。 师指中间重叠部分：这中间重叠的部分，放谁？他们有什么特点？ 学生回答预设： 预设 1：“放杨明和罗阳！” 预设 2：“放两项比赛都参加的人！” 预设 3：“放既参加航空模型比赛、又参加机器人作品比赛的学生！” 师总结：太对了！这部分叫两项比赛都参加的学生，他们既属于左边的集合，又属于右边的集合，所以被重复计算了，这里放杨明和罗阳 2 个人。 师：现在请大家用 “既…… 又……”“只……” 这两个句式，和同桌互相说一说集合圈的三个部分，给大家 2 分钟时间！ （学生同桌互说，教师巡视，重点指导基础薄弱生的表达） （三）探究计算方法，提炼核心公式（10 分钟） 师：我们已经把集合圈的三个部分都弄明白了，那怎么用算式算出总获奖人数呢？请大家结合集合圈，试着列算式，看看谁能想出不同的方法！ （学生独立列式，教师巡视，收集不同的算法） 学生列式预设： 预设 1（基础薄弱生）：4+2+4=10（人）师追问：你能说说每个数字分别对应集合圈的哪个部分吗？生答：左边只参加航空的 4 人，中间两项都参加的 2 人，右边只参加机器人的 4 人，加起来就是总人数。师总结：这个方法叫分块相加法，把三个部分分开算，再加起来，完全没有重复，特别稳！ 预设 2（中等生）：6+6-2=10（人）师追问：你为什么要减 2 呢？6+6 算的是什么？生答：6 是航空的总人数，6 是机器人的总人数，加起来的时候，中间的 2 个人被算了两次，多算了一次，所以要减去重复的 2 人。师总结：这个方法叫先合后减法，先把两个集合的总数加起来，再减去重复计算的重叠部分，特别方便！ 预设 3（优等生）：6-2+6=10（人） 或 6+（6-2）=10（人）师追问：你这个算式是什么意思呀？生答：先从航空的 6 人里减去重复的 2 人，得到只参加航空的 4 人，再加上机器人的 6 人；或者先从机器人的 6 人里减去重复的 2 人，得到只参加机器人的 4 人，再加上航空的 6 人，结果都是 10 人。师表扬：你把两种方法结合起来了，逻辑太灵活了！ 师：我们来对比这几种方法，它们有什么相同和不同的地方？ 相同点：都考虑到了中间重叠的 2 个人，都没有重复计算，结果都是 10 人。 不同点：分块相加是把三部分分开算，先合后减是先加再减，大家可以选自己喜欢的方法。 师板书核心关系式：总人数 = 只参加 A 的人数 + 只参加 B 的人数 + 两项都参加的人数总人数 = A 类总人数 + B 类总人数 - 两项都参加的重叠部分 师：我们来验证一下，用这个公式算，6+6-2=10，和我们数出来的总人数一模一样！以后遇到重叠问题，就可以用这个公式来解决啦！ （四）分层巩固练习，突破学情瓶颈（7 分钟） 结合学情，设计 3 道分层练习题，让不同层次的学生都能获得成就感： 基础题（面向全体学生，兜底）：教材 P104 第 1 题：把下面动物的序号填在合适的圈里。（动物：①会飞的 ②会游泳的，中间重叠部分是既会飞又会游泳的）师引导：先找既会飞又会游泳的动物，填在中间重叠部分，再把只会飞的填左边，只会游泳的填右边，最后算一算一共有多少种动物？（学生独立完成，基础薄弱生可同桌互助，教师巡视批改） 中等题（面向中等生，突破建模）：教材 P104 第 2 题：三年级同学参加兴趣小组，参加语文小组的有 8 人，参加数学小组的有 9 人，两个小组都参加的有 3 人，参加兴趣小组的一共有多少人？ 学生列式预设： 预设 1：8+9-3=14（人） 预设 2：（8-3）+3+（9-3）=14（人） 预设 3：8+（9-3）=14（人） 师点评：大家都用了我们今天学的方法，不仅算对了，还能说清道理，太棒了！ 拓展题（面向优等生，拔高迁移）：三（1）班有 20 人，其中 15 人参加了数学竞赛，13 人参加了作文竞赛，每人至少参加一项，两项都参加的有多少人？师引导：总人数 = A+B - 重叠部分，那反过来，重叠部分 = A+B - 总人数，大家试着算一算！生列式：15+13-20=8（人）师表扬：你们把公式反过来用，知识迁移能力太强了！ （五）课堂小结 + 作业布置（3 分钟） 师：今天这节课，你有什么收获？ 学生回答预设： 预设 1（基础薄弱生）：我认识了集合圈，知道了重叠部分要减去！ 预设 2（中等生）：我学会了用两种方法算重叠问题的总人数，还会用集合圈画图分析！ 预设 3（优等生）：我知道了重叠问题的核心公式，还能反过来求重叠部分的人数！ 师总结：今天我们认识了集合圈，理解了重叠部分的含义，学会了用分块相加、先合后减的方法解决重叠问题，以后遇到生活中的重复现象，都可以用今天学的知识来解决！ 作业布置（分层设计，贴合学情）： 基础作业：教材 P104 第 3 题，用两种方法列式计算。 提升作业：回家找一个生活中的重叠现象，画一个集合圈表示出来，明天和同学分享。 拓展作业：自己编一道重叠问题的应用题，考一考你的同桌。 板书 数学广角——重叠问题 只参加航空的 两项都参加的 只参加机器人的 （4人） （2人） （4人） 王爱华 陈东 杨明 罗阳 于力 周晓 马超 丁旭 朱东 陶伟 核心公式： 1. 分块相加：4 + 2 + 4 = 10（人） 2. 先合后减：6 + 6 - 2 = 10（人） 总人数 = A类人数 + B类人数 - 重叠部分 回顾反思 集合思想比较抽象，本节课通过 “脑筋急转弯→名单冲突→小组画图→集合圈建模” 的流程，从直观到抽象，逐步引导学生理解重叠的含义，符合三年级学生的认知规律，有效降低了基础薄弱生的理解门槛。 针对班级两极分化的学情，本节课设计了分层的目标、练习和作业，让基础薄弱生能兜底、中等生能突破、优等生能拔高，兼顾了不同层次学生的需求。 后续教学中，需要重点关注基础薄弱生的计算准确率，增加集合圈画图的实操练习，帮助中等生巩固应用题建模能力，同时给优等生设计更多知识迁移的拓展题，稳步提升班级的平均分和优秀率。 学科网（北京）股份有限公司 $