二项式定理专题训练-2026届高三数学二轮复习

**基本信息** 聚焦二项式定理核心考点，以“概念辨析-性质应用-题型突破”为逻辑主线，通过关键技巧提炼与分层训练，培养符号运算与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|3个核心考点|二项式系数与展开式系数辨析、通项公式字母次数关系、赋值法求系数和|从定理公式到通项公式再到系数性质，形成“概念-推导-应用”链条| |题型训练|3类题型（展开式识别/特定项系数/系数和）|特定项系数用通项公式、常数项令指数为0、系数和用赋值法（x=1/-1）|基础展开式→含参系数计算→综合系数和，难度递进覆盖高频考法|

专题二：二项式定理 考点卡片 1. 二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数，二项式系数和的性质． 注意： （1）二项展开式有n+1项； （2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念； （3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开； （4）二项式定理通常有如下变形： ①； ②； 2. 二项展开式的通项公式 二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式． 注意： （1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； （2）字母b的次数和组合数的上标相同； （3）a与b的次数之和为n． 3. 二项式系数的性质． （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ； （2） 增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值． 题型一：二项展开式 例1. （1+x）6的二项展开式中的一项是（　　） A． x2 B．15x3 C．6x2 D．20x3 例2. 已知，则实数x＝ 　 　 ． 题型二：通项、特定项系数 例1. 在的展开式中，x2的系数等于（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 例2. （1）在的展开式中，x的系数为（　　） A．40 B．10 C．﹣40 D．﹣10 （2）在（2x2）5的二项展开式中，x的系数为（　　） A．﹣10 B．10 C．﹣40 D．40 （3）在的展开式中，x3的系数为（　　） A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80 （4）在（2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10 （5）在的展开式中，x3的系数为（　　） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12 （6）在的展开式中，x的系数为（　　） A．﹣24 B．﹣16 C．16 D．24 （7）（2x）5的展开式中，x的系数是（　　） A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80 （8）的展开式中x的系数为 　 　 ．（用数字作答） （9）展开式中x项的系数是　 　 ． 例3. （1）（）6展开式中的常数项为（　　） A．160 B．60 C．﹣160 D．﹣60 （2）展开式中的常数项为（　　） A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15 （3）在的展开式中，常数项为　 　 ． （4）在的展开式中，常数项是　 　 ．（用数字作答） （5）在的展开式中，常数项为 　 　 ． 例4. （1）在的展开式中，x2的系数为﹣10，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 （2）在的展开式中，x3的系数为10，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 （3）的展开式中x3的系数为10，则实数a＝　 　 ． （4）若二项式展开式中的常数项为160，则a＝ 　 　 ． 题型三：二项式系数以及项的系数 例1. （1）若的展开式的二项式系数和为32，则n＝　 　 ，x﹣2的系数为　 　 ． （3） 在（1﹣3x）n的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则n＝ 　 ，此时x2的系数是 　 　 ．（用数字作答） 例2. 已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则n＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 例3. （1）若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 （2）设，则a1+a2+a3+a4＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 （3）若（x2+1）4＝a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（　　） A．0 B．1 C．4 D．8 （4）已知，则a1+a3＝（　　） A．8 B．﹣8 C．40 D．﹣40 （5）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　） A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41 （6）若，则a3+a1＝（　　） A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41 （7） 已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝ 　　 ；a1+a2+a3+a4＝ 　 　 ． （8）已知，则a0＝　 ；a3+a1＝ ． （9）已知（x﹣2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4+a3＝ 　 　 ． （10）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0＝ 　 　 ；a1+a3+a5＝ 　 ． （11） 设，则a0＝　 　 ；当a8＝﹣a9时，n＝　 　 ． 例4. 已知（x+m）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，若a0+a1+a2+a3+a4＝81，则m的取值可以为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 例5. ，则a1+a2+a3+a4＝（　　） A．16 B．65 C．80 D．81 例6. 已知（x﹣1）2（2x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a1＝ 　 　 ；a1+a3+a5＝ 　 　 ．（用数字作答） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二：二项式定理 考点卡片 1. 二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数，二项式系数和的性质． 注意： （1）二项展开式有n+1项； （2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念； （3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开； （4）二项式定理通常有如下变形： ①； ②； 2. 二项展开式的通项公式 二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式． 注意： （1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是； （2）字母b的次数和组合数的上标相同； （3）a与b的次数之和为n． 3. 二项式系数的性质． （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ； （2） 增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值． 题型一：二项展开式 例1. （1+x）6的二项展开式中的一项是（　　） A．x2 B．15x3 C．6x2 D．20x3 【考点】二项式定理的应用．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式定理求解即可． 【解答】解：因为（1+x）6＝1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6， 所以20x3是展开式中的项，而ABC对应的不是展开式中的项． 故选：D． 例2. 已知，则实数x＝ 　﹣2　 ． 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】利用用二项式定理，可求得答案． 【解答】解：因为[1+（﹣2）]5＝1﹣2481632， 又， 所以x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 题型二：通项、特定项系数 例1. 在的展开式中，x2的系数等于（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式定理确定展开式的通项，进而求解结论． 【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1•（x2）4﹣r•（）r＝2r••x8﹣3r， 令8﹣3r＝2，解得r＝2． 故x2的系数等于：22•24． 故选：D． 例2. （1）在的展开式中，x的系数为（　　） A．40 B．10 C．﹣40 D．﹣10 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数． 【解答】解：的展开式的通项为Tr+1•x5﹣r（）r＝（﹣2）r•x5﹣2r， 令5﹣2r＝1可得r＝2，此时x的系数为440． 故选：A． （2）在（2x2）5的二项展开式中，x的系数为（　　） A．﹣10 B．10 C．﹣40 D．40 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】计算题． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的系数． 【解答】解：在的二项展开式的通项公式为 Tr+1•25﹣r•x10﹣2r•（﹣1）r•（x）﹣r＝（﹣1）r••25﹣r•x10﹣3r． 令10﹣3r＝1，可得r＝3，故x的系数为 （﹣1）3•25﹣3•40， 故选：C． （3）在的展开式中，x3的系数为（　　） A．40 B．﹣40 C．80 D．﹣80 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】利用二项式定理列式计算即可． 【解答】解：在的展开式中，含x3的项为（2x）4＝﹣5×16＝﹣80x3， x3的系数为﹣80． 故选：D． （4）在（2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数． 【解答】解：（2）5的展开式的通项公式为 Tr+1•（﹣2）r•， 令2，求得r＝1，可得x2的系数为 •（﹣2）＝﹣10， 故选：C． （5）在的展开式中，x3的系数为（　　） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】利用二项式定理，求解即可． 【解答】解：的通项公式为：（﹣1）r，，可得r＝2， 二项展开式中x3的系数：•（﹣1）2＝6． 故选：A． （6）在的展开式中，x的系数为（　　） A．﹣24 B．﹣16 C．16 D．24 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】利用二项式定理的展开式，求解x的系数． 【解答】解：在的展开式中，通项为：（﹣1）r， 当r＝2时，可得x的系数为：2224． 故选：D． （7）（2x）5的展开式中，x的系数是（　　） A．﹣40 B．40 C．﹣80 D．80 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】对应思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】首先找出二项展开式的通项公式，然后令x的次数为1，找到r的对应值，带回通项公式即可求得． 【解答】解：由二项式定理可知（2x）5展开式的第r+1项 Tr+1（2x）5﹣r（）r＝（﹣1）r25﹣rx5﹣2r，（r＝0，1，…，5） 令5﹣2r＝1，可得r＝2．即含x的项为第3项， ∴T3＝80x，故x的系数为80． 故选：D． （8）的展开式中x的系数为 　﹣80　 ．（用数字作答） 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式定理相关知识可解． 【解答】解：的展开式的通项公式为Tr+1（﹣2）r， 令，则r＝3， 则展开式中x的系数为（﹣2）3＝﹣80． 故答案为：﹣80． （9）展开式中x项的系数是　10　 ． 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】先写出展开式中的通项公式，再求出含x项的系数． 【解答】解：∵展开式中的通项公式为Tr+1＝Cx5﹣r（）r＝C（﹣1）rx5﹣2r，r＝0，1，…，5， 令5﹣2r＝1，解得r＝2．∴T3＝C（﹣1）2x＝10x． 故答案为：10 例3. （1）（）6展开式中的常数项为（　　） A．160 B．60 C．﹣160 D．﹣60 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解． 【解答】解：展开式的通项公式为TC， 令30，解得r＝2， 所以展开式的常数项为C60， 故选：B． （2）展开式中的常数项为（　　） A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】概率与统计． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项． 【解答】解：由于展开式的通项公式为 Tr+1••（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r••． 令 0，r＝2，故展开式中的常数项为 15， 故选：D． （3）在的展开式中，常数项为　60　 ． 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令6﹣3r＝0，运算即可得解． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为， 令6﹣3r＝0， 解得r＝2， 则展开式的常数项为． 故答案为：60． （4）在的展开式中，常数项是　24　 ．（用数字作答） 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理． 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项． 【解答】解：在的展开式中，通项公式为Tr+1•（﹣2）r•x4﹣2r，令4﹣2r＝0，求得r＝2， 可得常数项为•（﹣2）2＝24， 故答案为：24． （5）在的展开式中，常数项为 　﹣160　 ． 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】转化思想；分析法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解． 【解答】解：的展开式的通项公式•（）6﹣r（﹣2）rxr ＝（﹣2）rx2r﹣6， 令2r﹣6＝0，解得r＝3， 故展开式中常数项为． 故答案为：﹣160． 例4. （1）在的展开式中，x2的系数为﹣10，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】结合二项式展开式的通项公式求解即可． 【解答】解：在的展开式中，x2的系数为﹣10， 则a＝﹣10， 则a＝﹣2． 故选：A． （2）在的展开式中，x3的系数为10，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】求出二项式的展开式的通项公式，然后令x的指数为3，求出x3的系数，进而可以求解． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1，r＝0，1，…，5， 令5，解得r＝4， 则x3的系数为10，解得a＝2． 故选：D． （3）的展开式中x3的系数为10，则实数a＝　2　 ． 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为3，列出方程求出a的值． 【解答】解：∵Tr+1＝C5r•x5﹣r•（ ）r＝arC5rx5﹣2r， 又令5﹣2r＝3得r＝1， ∴由题设知C51•a1＝10⇒a＝2． 故答案为2 （4）若二项式展开式中的常数项为160，则a＝ 　2　 ． 【考点】二项式定理的应用．版权所有 【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解． 【分析】求出二项展开式的通项，令x的指数等于零，再根据题意建立等量关系，即可求出a． 【解答】解：若二项式展开式中的常数项为160， 由题二项式展开式的通项公式为：， 所以当r＝4时的项为常数项，解得a＝2． 故答案为：2． ． 题型三：二项式系数以及项的系数 例1. （1）若的展开式的二项式系数和为32，则n＝　5　 ，x﹣2的系数为　﹣80　 ． 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式系数的性质求解n，求得展开式的通项公式进而求解结论． 【解答】解：的展开式的二项式系数和为32， 可得2n＝32，则n＝5， 展开式的通项公式为：Tr+1•（）5﹣r•（）r＝（﹣2）r••， 令2，解得r＝3， 故x﹣2的系数为：（﹣2）3•80． 故答案为：5；﹣80． （2）在（1﹣3x）n的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则n＝　6　 ，此时x2的系数是 　135　 ．（用数字作答） 【考点】二项式系数与二项式系数的和．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解． 【分析】直接利用二项式的系数和求出n值，进一步利用展开式的应用求出结果． 【解答】解：由于（1﹣3x）n的展开式中，若各二项式系数的和等于2n＝64，解得：n＝6； 由展开式中x2的系数为•（﹣3）2＝135． 故答案为：6；135． 例2. 已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则n＝（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解． 【解答】解：的展开式中，其通项， 故第4项和第6项的系数相等就是第4项和第6项的二项式系数相等， 即，由组合数的性质有n＝8． 故选：B． 例3. （1）若（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】二项式定理的应用．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】利用赋值法可求得答案． 【解答】解：（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令x＝0，得a0＝﹣1； 令x＝1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1， 故a1+a2+a3+a4+a5＝1﹣a0＝2． 故选：D． （2）设，则a1+a2+a3+a4＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】常规题型；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解． 【分析】直接利用赋值法求出结果． 【解答】解：令x＝0，故a0＝1， 令x＝1，故a4+a3+a2+a1+a0＝1， 所以a1+a2+a3+a4＝0． 故选：B． （3）若（x2+1）4＝a0+a1x2+a2x4+a3x6+a4x8，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（　　） A．0 B．1 C．4 D．8 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】由二项式定理的应用，结合赋值法求解即可． 【解答】解：用t替换x2， 则， 令t＝﹣1， 则a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝0． 故选：A． 16． （4）已知，则a1+a3＝（　　） A．8 B．﹣8 C．40 D．﹣40 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式定理，求出（2﹣x）4的展开式的通项公式，然后分别取r＝1、3，求出一次项与三次项系数，相加即可得到本题的答案． 【解答】解：在（2﹣x）4的展开式中，第r+1项Tr+1， 其中r＝0、1、2、3、4， 取r＝1，可得一次项系数，取r＝3，可得三次项系数， 所以a1+a3＝﹣32﹣8＝﹣40． 故选：D． （5）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　） A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】法一：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出a0和a2，以及a4的值，可得结论． 解法二：在所给的等式中，分别令x＝1，x＝﹣1，得到两个等式，再把两个等式相加并除以2可得a0+a2+a4的值． 【解答】解：法一：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 可得a01，a222＝24，a424＝16， ∴a0+a2+a4＝41， 故答案为：41． 法二：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4＝1， 再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4＝（﹣3）4＝81， ∴两式相加除以2可得，a0+a2+a441， 故选：B． （6）若，则a3+a1＝（　　） A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解． 【分析】利用赋值法计算a1+a3的值． 【解答】解：若， 令x＝1，则a4+a3+a2+a1+a0＝1①， 令x＝﹣1，则②， ，得：． 故选：C． （7）已知（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4，则a0＝ 　1　 ；a1+a2+a3+a4＝ 　15　 ． 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据赋值法，即可求解． 【解答】解：因为（1﹣2x）4＝a0﹣2a1x+4a2x2﹣8a3x3+16a4x4， 所以令x＝0，可得a0＝1， 再令x，可得a0+a1+a2+a3+a4＝24＝16， 所以a1+a2+a3+a4＝16﹣a0＝16﹣1＝15． 故答案为：1；15． （8）已知，则a0＝　1　 ；a3+a1＝　　 ． 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式定理，分别求出展开式的常数项、一次项与三次项系数，进而求得本题答案． 【解答】解：在的展开式中， 第r+1项为， 其中r＝0、1、2、3、4， 取r＝4，可得常数项a01； 取r＝1，可得x3项的系数a3， 取r＝3，可得x项的系数a12，可得a3+a1． 故答案为：1；． （9）已知（x﹣2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4+a3＝ 　﹣7　 ． 【考点】二项展开式的通项与项的系数．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式定理求解即可． 【解答】解：因为（x﹣2）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0， 所以a4+a3（﹣2）＝1﹣8＝﹣7． 故答案为：﹣7． （10）若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0＝ 　1　 ；a1+a3+a5＝ 　﹣122　 ． 【考点】二项式系数的性质．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】利用赋值法求解即可． 【解答】解：若（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5， 令x＝0得，a0＝1， 令x＝1得，a0+a1+a2+a3+a4+a5＝（1﹣2）5＝﹣1①， 令x＝﹣1得，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝（1+2）5＝35②， ①﹣②得，2（a1+a3+a5）＝﹣1﹣35＝﹣244， 所以a1+a3+a5＝﹣122． 故答案为：1；﹣122． 55． （11）设，则a0＝　1　 ；当a8＝﹣a9时，n＝　17　 ． 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】根据二项式系数的性质即可求解结论． 【解答】解：因为， 令x＝0，可得a0＝1， 又由题可得a8＝（﹣1）8•，a9＝（﹣1）9•， 可得（﹣1）8•（﹣1）9•， 即，可得n＝17． 故答案为：1；17． 例4. （2）已知（x+m）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，若a0+a1+a2+a3+a4＝81，则m的取值可以为（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解． 【分析】直接利用赋值法求出结果． 【解答】解：已知（x+m）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x＝1时，（1+m）4＝a0+a1+a2+a3+a4＝81＝34； 故m+1＝±3，解得m＝2或﹣4，根据选项只有A符合． 故选：A． 例5. ，则a1+a2+a3+a4＝（　　） A．16 B．65 C．80 D．81 【考点】二项式定理．版权所有 【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】将已知等式约分化简，可得，然后根据二项式定理与赋值法求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：由x（2+x）4， 两边约去x，可得（2+x）4， 展开式中含x4项为x4，可得a5＝1， 在（2+x）4中， 令x＝1，可得， 所以a1+a2+a3+a4＝（a1+a2+a3+a4+a5）﹣a5＝80． 故选：C． 21． 例6. 已知（x﹣1）2（2x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a1＝ 　﹣10　 ；a1+a3+a5＝ 　﹣162　 ．（用数字作答） 【考点】二项式系数与二项式系数的和．版权所有 【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解． 【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式及赋值法求解即可． 【解答】解：已知（x﹣1）2（2x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6， 则a1•（﹣1）2••2•（﹣1）3•（﹣1）1•（﹣1）4 ＝﹣10； 令f（x）＝（x﹣1）2（2x﹣1）4， 则a1+a3+a5 ＝﹣162． 故答案为：﹣10；﹣162． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题二：二项式定理 考点卡片 1.二项式定理 一般地，对于任意正整数，都有 (a+b)=C0a”+Cla-b+…+Ca-rb'+…+Cb(n∈N) 这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做(+b)”的二项展开式.其中各项的系数 C(=0,12)叫做二项式系数，二项式系数和的性质%=。C%=2m, 注意： (1)二项展开式有什1项： (2)二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念： (3)每一项的次数是一样的，即为次，展开式依α的降幂排列，b的升幂排列展开： (4)二项式定理通常有如下变形： @(a-b)=C8a-Ca-b+…+(-1)'Ca-rb'+…+(-1)Cb @1+x)”=1+Cx+Cx2+…+Cax+…+x": 2.二项展开式的通项公式 二项展开式的第1项I,1=Cab'(=0,12,n)叫做二项展开式的通项公式 注意： (1)通项公式表示二项展开式的第什1项，该项的二项式系数是C: (2)字母b的次数和组合数的上标相同： (3)a与b的次数之和为n. 3.二项式系数的性质， (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C=C-k C8-C1,C1=C7-1,C7=C7-2,…,C8=C7; (2)增减性与最大值：当k<时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知，它的后半 部分是逐渐减小的，且在中间取最大值.当为偶数时，则中间一项c的二项式系数最大： n-1n+1 当n为奇数时，则中间的两项Cn乙，Cm2相等，且同时取得最大值. 第1页共5页 题型一：二项展开式 例1.(1+x)6的二项展开式中的一项是() A.x2 B.15x3 C.6x2 D.20x3 例2.已知(1+x)5=1-2Cg+4C号-8C+16C-32C,则实数x=一· 题型二：通项、特定项系数 例1.在(：2+)4的展开式中，x的系数等于() A.6 B.12 C.18 D.24 例2.(1)在(c-)5的展开式中，x的系数为() A.40 B.10 C.-40 D.-10 (2)在(2x2-是5的二项展开式中，x的系数为() A.-10 B.10 C.-40 D.40 (3)在(2x-是)5的展开式中，3的系数为() A.40 B.-40 C.80 D.-80 (4)在（√x-2)5的展开式中，x2的系数为(） A.-5 B.5 C.-10 D.10 (5)在(x-√风4的展开式中，x3的系数为（) A.6 B.-6 C.12 D.-12 (6)在(2x- )的展开式中，x的系数为《) A.-24 B.-16 C.16 D.24 第2页共5页 (7)(2x-是5的展开式中，x的系数是() A.-40 B.40 C.-80 D.80 (8)(√x-2)5的展开式中x的系数为 ·（用数字作答) (9)x-是)5展开式中x项的系数是 例3.1)（反-孕6展开式中的常数项为(） A.160 B.60 C.-160 D.-60 (2)(W反-)展开式中的常数项为() A.-20 B.20 C.-15 D.15 (3)在(c-多)的展开式中，常数项为—· (4)在(-孕)的展开式中，常数项是一·。 用数字作答) (5)在（足-2）的展开式中，常数项为 例4.(1)在(c+是)5的展开式中，x2的系数为-10，则a=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)在(ax-85的展开式中，x3的系数为10，则a的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 (3)(x+)5(x∈R)的展开式中x3的系数为10，则实数a=一· 第3页共5页 (4)若二项式(ax2+层)5展开式中的常数项为160，则a= 题型三：二项式系数以及项的系数 例1.(1)若（反-是》”的展开式的二项式系数和为32，则m=一x2的系数为 (3)在(1-3x)m的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则n=一，此时x2的系 数是·（用数字作答） 例2.已知x2+)”的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则n=（) A.7 B.8 C.9 D.10 例3.(1)若(2x-1)5=sx5+a4x4+a3x3+2x2+a1x+a0,则am+a++4+5=() A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)设(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao,则a1+a2+as+a4=（) A.-1 B.0 C.1 D.2 (3)若(x2+1)4=a+a1x2+x4+a3x6+a4x8,则a0-a1+a2-a3+a4=（） A.0 B.1 C.4 D.8 (4)己知(2-x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则am1+B=() A.8 B.-8 C.40 D.-40 （5)若（2x-1)4=a4x4+Bx3+ax2+a1x+a0,则0+2+4=（) A.40 B.41 C.-40 D.-41 (6)若(x-2)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a+a1=（） A.40 B.41 C.-40 D.-41 第4页共5页 (7)已知(1-2x)4=am-2a1x+4ax2-8a3x3+16a4r4,则a0=;a1+a2+a3+a4=_· (8)已知(2x-1)4-a4t+a3x3+a2x2+a1x+a0,则aw=_;as+a=一· (9）已知(x-2)4=a4x4+a3x3+ax2+aix+a0,则a4+a=一· (10)若(1-2x)5=atax+ar2+sr3+a4r+a5r3,则a=一：a1t3+a5=一· (11)设(1-x)”=a0+a1x+a2x2+…+anx,则a0=一；当a8=-a9时，n=一. 例4.己知(x+m)4=a4r4+Bx3+x2+a1x+a0,若ao+a++a3计a4=81,则m的取值可以为 () A.2 B.1 C.-1 D.-2 例5.x(2+x)4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1++aB+a4=（) A.16 B.65 C.80 D.81 例6.已知(x-1)2（2x-1)4=a0+a1x+x2+x3+…+a6x6,则a1=一；a+3+a5 ·(用数字作答) 第5页共5页