陕西西安市第八中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有 6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不 相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有 投 A.3种 B.14种 C.30种 D.90种 2.若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)= 3,则P(X=0)= 封 A语 BR百 D 3.用1,2,3,5,6,8可以组成n个无重复数字的三位数，则n= 龄 A.20 B.60 C.120 D.210 4.小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙 店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9,0.95，则小张在这个平台点 的外卖准时送达的概率为 A.0.93 B.0.91 C.0.94 D.0.92 线 5.若随机变量X~N(3,o2),且P(3≤X≤4)=0.41，则P(|X一3|>1)= A.0.18 B.0.22 C.0.09 D.0.27 6.(-2x+2)° 展开式的常数项为 A.-504 B.-252 C.252 D.504 7.以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数是 A.210 B.190 C.195 D.180 8.若函数f(x)=lnx十x一e-m的最大值为一1，则m= A.In 2-1 B.2-In 2 C.1+n2 D.1-In 2 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知3名女同学与5名男同学站成一排，则 A.不同排法数为AA B.3名女同学站在一起的排法数为AA C.3名女同学两两不相邻的排法数为AA D.3名女同学都不站两端的排法数为AA 10.已知函数f(x)=(x一1)e2一m十2有唯一的零点，则m的值可能为 A.1 B.√2 C.√3 D.2 11.小李每次射击的命中率为)，他射击6次，且每次射击是否命中相互独立，设他最多连续命中 的次数为X(若他6次均未命中，则X=0;若他至少命中1次且未连续命中，则X=1),则 APX=5)=品 BP(X=2) 64 C.EX)- D.P(X=3)=32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2x+1)1展开式的各项系数之和为▲ 13.从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取2张，记事件A为“抽到的2张卡片编号之和 为偶数”，事件B为“抽到的2张卡片编号均为偶数”，则P(B|A)=▲ 14.在数列e}中，a1=1,22=2,a.*2=20+,则(a,的前100项和为 ▲ a 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 锅中有12个汤圆，其中有5个黑芝麻馅、7个花生馅，从中随机一次性地捞出3个汤圆放人 碗中. (1)求碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率； (2)求碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率， 【高二数学X第2页（共4页）】 16.(15分) 已知等差数列(an)的前n项和为Sn,且a3=14,a,=19. (1)求(an)的通项公式； (2)若a1,Ss一m,a2成等比数列，求m的值； 3)证明数列。}的前n项和恒小于名 17.(15分) 某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏 结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是 局，号，星，假设他每关通过与否相互独立。 543 (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关 获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【高二数学X第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=3x2+4sinx. (1)求曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程， (2)证明：f(x)存在唯一的极值点. (3)若3x,m∈(0，+o∞)，f(x)≤-mm+mlnm2+t,求t的取值范围. 19.(17分) 某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1.诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S),等级范围为 0至6. 2.初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级S=3. 3.每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1， 不达标（修复效率下降）则S减少1. 4.终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功"）；当S=0时，种子基因 损伤不可逆（记为“实验失败”） 5,概率设定：每轮筛选达标概率为子，不达标概率为子 记实验终止时的筛选轮次为X,对任意正整数n,定义：第n轮筛选后，S=4的概率为pn; 第n轮筛选后，S=2的概率为qn (1)证明：X为奇数， (2)求P(X=5), (3)试问当n为奇数时，卫是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由， 【高二数学第4页（共4页）】 高二数学参考答案 1.B根据分类加法计数原理可得他的选择共有5+6+3=14种. 2.C因为随机变量X服从两点分布，所以P(X=0)=1-P(X=1)=3,了 3.C依题意可得n=A=120. 4.D由全概率公式，得小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为0.6×0.9+0.4×0.95= 0.54+0.38=0.92 5.A因为X~N(3,o2),且P(3≤X≤4)=0.41，所以P(X>4)=0.5-0.41=0.09,则P(X <2)=P(X>4)=0.09,故P(|X-3|>1)=P(X<2或X>4)=0.09×2=0.18, 6.A（-2x+）”展开式的常数项为C。(-2.x)()°=252×(-2)=-504. 7.D正五棱柱共10个顶点，2个底面为正五边形，5条侧棱互相平行，四点共面中，出现底面 对角线（不含侧棱与侧棱平行）的共有10种情况，则以正五棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个 数为C1。一C号一2C-10=180. &.Df(x)=lnx+x-e“的定义域为(0，+o),f(x)=是+1-e,易得f(x)在(0， 十∞)上单调递减，当x→0时，'(x)→十∞，当x→十∞时，f'(x)→一∞，所以存在x。∈ (0,十∞)，使得'(x)=0,即1+1=e",则当x∈(0，x)时，了'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(.xo,十∞)时，f'()<0,f(x)单调递减，所以f(x)x=f(.xo)=lnx十xo-e-"= -1,即nx,十。=0，易得函数g)=lnx十x-在(0，十o∞)止单调递增，且g1)= 0,所以xo=1,所以e-m=2,解得m=1-ln2. 9.BCD若3名女同学与5名男同学站成一排，则不同排法数为A,A错误.由捆绑法可得， 3名女同学站在一起的排法数为AA,B正确.由插空法可得，3名女同学两两不相邻的排法 数为AA:,C正确.若3名女同学都不站两端，则从5名男同学中选2名进行排列，剩余3名 男同学与3女同学进行全排列，则3名女同学都不站两端的排法数为A:A,D正确， 10.AD令f(x)=0,得(x-1)e=m-2.设g(x)=(x-1)e,则g'(x)=xe,令g'(x)>0, 得x>0,g(.x)单调递增，令g’(x)<0,得x<0,g(x)单调递减，所以g(.x)mm=g(0)=一1. 当x→一∞时，g(x)→0，当x→十∞时，g(x)→十∞，当x<1时，g(x)<0,当x>1时， g(x)>0,则m一2=一1或m一2≥0，即m=1或m≥2，故m的值可能为1或2. 11.AC用1表示命中，0表示未命中，则n(2)=2=64.X=5的样本点为111110、011111，则 P(X=5)=品2A正确.X=4的样本点为1100.11101.01110.10111和0o111, 21 则P(X=4)三X=3的样本点分为4类：10ab有4个，01110a有2个，a01110有 【高二数学·参考答案X第1页（共4页）】 2个，6011有4个共12个，则P(X=3)-号-高D错误X-1的样本点分为3类：1 个1、5个0共有6个，2个1、4个0且2个1不相邻的有C号=10个，3个1、3个0且3个1 互不相邻的有C=4个，共20个，则P(X=1D-沿5P(X=0)=P(X=6)=高所以 P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)一P(X=6)= 器.B错误E(X)-:,P(X=i)2,C正确， 12.81令x=1,得(2x十1)展开式的各项系数之和为(2+1)=81. 1a专月为PA)-吉-号PAB)是=日所以PBA- 51 C 2 5 4am+1 14.235因为a.4=2,所以a,-2=一=4所以a,6=24=0所以a.是 an+1 an+l an 4n+3 周期为6的数列.因为4，-2=4，a, 2a3=4,a5 a2 2u4=2,a6 a3 2a5=1,所以{an)的前 100项和为16×(1+2+4+4+2+1)+1+2+4+4=235. 15.解：(1)碗中的汤圆恰有2个黑芝麻馅的概率为 CC707 C2220221 …6分 C (2)由间接法可得碗中的汤圆至少有1个花生馅的概率为1一 =1-10_21 22022 …13分 16.(1)解：设公差为d,则l=a!一a3=5,…2分 则以1=a3-2d=4,…3分 则以n=a1十（一1）d=5n一1.…5分 (2)解：S5=503=70,…7分 若a1,S5一n,a2成等比数列，则a1a2=(S一m)2, …8分 则4X9=(70一m)2,解得m=64或76.… ………10分 (3)证明：因为， 70 a,,-(5m-1)(5m+4=14(5m5m+4) …12分 所以数列{ a,a )4- …15分 17.解：(1)设事件A=“甲通过三关”，则P(A)= 则甲通过三关的概率为2： …4分 【高二数学·参考答案第2页（共4页）】 (2)X的可能取值为1,2,3， 5分 p(X=1)=1-6=6' 51 6分 P(X=2)=8×(1-)=日， 7分 px=-名×号-号 8分 则X的分布列为 X 1 3 P 6 6 3 …9分 (3)若甲选择方案A,则他所获奖金的期望为200×2=100元. …10分 若甲选择方案B,设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0,1,2,3. PY=0)=1-8-g,PY=1D=号×(1-)=言 pY=2)=×号×(1-)=6PY=3)=, …12分 则E(60Y)=60E(Y)=60X(0×6+1×日+2×6+3×2)=120. 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 14分 因为100<120，所以甲应该选择方案B.…15分 18.(1)解：因为f'(x)=6.x十4c0sx,…1分 所以∫'(0）=4，…2分 所以曲线y=∫(x)在点(0,0)处的切线方程为y=4x.… 3分 (2)证明：设g(.x)=f'(x)=6x十4cosx,则g'(x)=6-4sinx>0,…5分 则g(.x)为增函数.…6分 因为g(0)>0,g(-受）=一3x<0,所以g(x)在(-，0）上存在唯一的零点x,…7分 当x∈（一∞，xo)时，g(.x)<0,即f'(.x)<0,f(x)单调递减，当x∈(xo,十∞）时，g(x)> 0,即f'(x)>0,f(x)单调递增.… …8分 所以f(x）存在唯一的极值点.…9分 (3)解：由(2)知，f(x)在(0，十o∞)上单调递增，…10分 则当x∈(0，十∞)时，f(x)>∫(0)=0.…11分 当m∈(0，十o∞)时，一mm+mlnm2+t=-(e")"+2mlnm十t=2mlnm-emin"十t.… …13分 【高二数学·参考答案〔第3页（共4页）】 设h(x)=xn,则'(x)=1+lnx,当0<r<。时，h'(x)<0,当x>。时，h'(x)>0. 所以h(x)≥h()=- …14分 设p(x)=2x-e+t,x≥-1 则px)=2-e,当-名长<n2时px)0,当>n2时px)<0. 所以p(.x）mx=p(ln2)=2ln2-2十t.…15分 若3x,m∈(0，+∞)，f(.x)≤-m"十mlnm2+1,则2ln2-2十t>0,…16分 解得t>2一2ln2,故t的取值范围是(2-2ln2,十o∞).…17分 19.(1)证明：设实验终止时种子经历了k次达标，n次不达标，X=k十m,…1分 则3十k一m=0或3十k一m=6,… …3分 则k=m一3或k=m+3,所以X=2m一3或X=2m+3, …4分 因为m为整数，所以X为奇数。…5分 k十m=5, (2)解：由 得 …7分 3十k-m=0或3+k-m=6, 所以Px=5=C×(》××(》+Cx是×(》x(广-器 …10分 (3)解：当n为奇数时， 是定值，定值为3. …11分 理由如下： 3 3 9 p+=8p.+169e, 依题意可得 即 …13分 1 3 9+=i6p.+89a 3 所以p+2一3g+2=6p。一3q）,… 15分 3 因为p1=91=4,所以p1一3q1=0,… 16分 所以p.一3g.=0,即2=3，所以当n为奇数时，2是定值，定值为3.…17分 q, 【高二数学·参考答案X第4页（共4页）】