第十章《二元一次方程组》单元测试卷 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 苏科版七年级下册《二元一次方程组》单元卷，覆盖方程（组）概念、解法及应用，融入《孙子算经》文化与生活情境，梯度分明，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程（组）概念、解的应用（第3题）|基础巩固，考查抽象能力| |填空题|6/18|方程变形（第11题）、几何应用（第15题）|结合几何直观，体现空间观念| |解答题|9/72|实际应用（租车方案第21题）、新定义（变更方程第22题）、“共生数”探究（第25题）|梯度提升，发展模型意识与推理能力|

苏科版七年级下册数学第10章《二元一次方程组》单元测试卷 （满分：120分　时间：90分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1． 下列方程中，属于二元一次方程的是（　　） A．xy＝1　　　　B．y＝3x－1　　　　C．x＋y²＝4　　　　D．x＋y＋z＝2 2． 下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　D． 3． 已知是方程3x+ay=7的一个解，则a的值为（　　） A．－1　　　　B．1　　　　C．－2　　　　D．2 4． 已知是方程组的解，则a＋b的值为（　　） A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 5． 用加减消元法解方程组时，消去y，下列变形正确的是（　　） A．①×2＋②　　　　B．①×2－②　　　　C．①×4－②×3　　　　D．①＋②×2 6． 学校计划购买篮球和排球共20个，其中篮球的数量比排球的2倍少4个．设购买篮球x个，排球y个，则下列方程组中正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　　D． 7． 对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊗y＝ax＋by（a，b为常数）．已知1⊗2＝7，(－1)⊗1＝－1，则a⊗b的值为（　　） A．7　　　　B．8　　　　C．9　　　　D．10 8． 已知关于x，y的方程组与有相同的解，则m－n的值为（　　） A．－1　　　　B．1　　　　C．3　　　　D．－3 9． 若关于x，y的方程组的解满足x＋y＝m，则m的值为（　　） A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 10． 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，则下列方程组正确的是（　　） A．　　　B．　　C．　　　D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11． 把方程2x+3y=12改写成用含x的式子表示y的形式，得y＝__________． 12.若关于x，y的方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为 ． 13.已知是二元一次方程组的解，则的值为__________． 14． 已知和都是方程y=kx+b的解，则k＝______，b＝______． 15． 如图，在长为15、宽为12的长方形中，放置了形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为__________． 16． 已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为__________． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分） 解下列方程组： （1） （2） 18．（8分） 已知是二元一次方程ax+by=8的解，也是它的解，求a、b的值． 19．（8分） 已知方程组与有相同的解，求a、b的值． 20．（8分） 一家商店进行装修升级，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元．问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？ （2）单独请哪组施工，商店所付费用较少？ 21．（8分） 某校组织七年级400名学生参加研学活动，租用的每辆车都坐满时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次性将全部学生送达，且恰好每辆车都坐满．请你设计出所有的租车方案． 22．（8分） 阅读下列材料，按要求解答问题： 定义：关于x，y的二元一次方程ax+by=c（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程称为“变更方程”． 例如：方程3x+2y=4的“变更方程”为4x+2y=3． （1）方程2x+3y=5的“变更方程”为__________； （2）方程2x+3y=5与它的“变更方程”组成的方程组的解为__________． 23．（8分） 某商场新购进一种服装，每套售价1000元．若将裤子降价10%，上衣涨价5%，调价后这套服装的单价比原来提高了2%，求这套服装中上衣原来的售价． 24．（8分） 已知关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x-3y=11的解，求a的值． 25．（8分） 对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝2136，因为2＋6＝2×(1＋3)，所以2136是“共生数”；再如m＝5479，因为5＋9≠2×(4＋7)，所以5479不是“共生数”．若一个“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，求满足条件的“共生数”． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与解析 一、选择题 1.B A选项含有y项，属于二次项；B选项y=3x-1可化为3x-y=1, 符合二元一次方程的定义；C选项含有y,属于二次项；D选项含 有三个未知数。故选B。 2.C 二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且每个方程 都是一次方程。A选项x是二次；B选项xy是二次；D选项有分式 方程。只有C符合，故选C。 3.D 将x=1,y=2代入3x+ay=7,得3×1+a×2=7,即3+2a=7, 解得a=2。故选D。 4.B 将{ 2a+b=5 代入方程组得 2b+a=4’ 两式相加得3a+3b= 9,即a+b=3。故选B。 5.D 方程②中y的系数为一1，方程①中y的系数为2，要将y消去，可用 ①+②×2，得3x+2x=5+2,即5x=7。故选D。 6.A 根据题意：篮球和排球共20个，得x+y=20;篮球数量比排球的 2倍少4个，得x=2y一4。故选A。 7.A 由定义可得 -a+b=-1’解得{0=3】 a+2b=7 {6=2,则a8b=3x3+ 2×2=9+4=13。 8.B 先解两个方程中的公共部分：由5y一x=3得x=5y一3，代入 3x-2y=4得3(5y-3)-2y=4,即15y-9-2y=4,13y= 13,y=1,则x=2。将x=2,y=1代入含m,n的方程组得 2m+n=7 {4m-3n=19,解得m=4,n=-1,则m-n=5。 9.B 将两个方程相加得3x+3y=9,即x+y=3。由x+y=m得m=3。 故选B。 10.A 绳长y比木条长×多4.5尺，即y=x+4.5;绳子对折后长号，比木 条短1尺，即=E-1。故选A。 二、填空题 1.y=4- 或2 3 将方程移项，3=12-2，两边除以3，得=122严=4- 3 2 3 12.-2 由二元一次方程的定义：未知项次数均为1，且系数不为0。则 al-1=1 lal=2 -2≠0，即 a≠2，解得a=-2。 13.4 将解代入得 3m+n=9 3n+m=7, 两式相减得2m-2n=2,即m-n三 1;两式相加得4m+4n=16,即m+n=4。则m2-n2=(m+ n)(m-n)=4×1=4o 15 14.-3’3 将两组解代入方程y=kx+b得 了1=2k+b 2=-k+6, 两式相减得3k= 5 -1,k=-3；代入得b=1-2x(-3)=3。 15.答案：45 设小长方形的长为x,宽为y.依题意， x+2y=15, (x=9, 得 解得 故题图中阴影部 (x=3y, y=3. 分的面积为15×12-5×9×3=45. 3 T=- 2 16 y= 2 令u=x十y,v=x一y,则原方程组转化为 3u-2u=i,解得 」4u-3u=2 t=- 即 +y=-1 x-=-2,解得 y=一 2 17.解：(1) 3x+2y=5① 2x-y=1② 方法一（代入消元）：由②得y=2x-1,代入①得3x+2(2x-1) =5,即3x+4x-2=5,7x=7,x=1。则y=2×1-1=1。∴. ∫x=1 y=10 方法二（加减消元）：②×2得4x-2y=2,加上①得7x=7,x= 1,代入得y=1。 (2) 2x+3y=12① 3x-2y=5② ①×2+②×3得4x+9x=24+15,即13x=39,x=3。代入①得 2x3+3y=12,6+3y=12,3y=6,y=2。{y=20 x=3 18.解：将{二和{7分别代入方程ax+y=8,得 a+26=8 ，一1+6二8，两式相加得3b=16,解得b二。代入得0=3 16 30 19.解：先解不含a,b的方程组 2x+y=3 工+2=4，解得 2 2 3 将此解代入 十二得 3a 36=7 5 2 5 ,即 y= 3 3 b+ 3a=8 2a+5b=21 解得 a=3 2b+5a=24 b=30 20.解：(1)设甲组每天费用x元，乙组每天费用y元。由题意得 8(x+）=3520 ∫x+y=440 16x+12y=3480’ 即 x+2y=580, 两式相减得y=140, 代入得x=300。答：甲组每天300元，乙组每天140元。 (2)由(1)知，甲组单独完成需多少天？设工作总量为单位 1,由{8，，且由8天完成可知甲乙合效率为， 可解得甲需12天，乙需24天。甲组费用：12×300=3600元；乙 组费用：24×140=3360元。.3360<3600，∴.单独请乙组费用 较少。答：单独请乙组施工所付费用较少。 21.解：(1)设小客车每辆可坐x人，大客车每辆可坐y人。则 {2=10解器{=8。x+y=65W。答：1 小客车和1辆大客车一次可送65名学生。 (2）由题意，20a+45b=400(a,b为非负整数)。化简得4a+ 9b=80。解得非负整数解 a=20a=11Ja=2 b=0’1b=4’1b=8° 答：共有三种租车方案：①20辆小客车；②11辆小客车和4辆大 客车；③2辆小客车和8辆大客车。 22.解：(1)根据定义，将常数项5与x的系数2互换，得5x+3 y=2。 (2)解方程组 2x+3y=5 5z+3y=2,两式相减得3x=-3,X=一1， x=-1 7 代入得3y=7,y= 7。 y3 23.解：设上衣原售价x元/件，裤子原售价y元/件。由 了P+y=1000 题意 (1+5%)z+(1-10%)g=1000×(1+2%0),即 ∫x+y=1000 x=800 11.05x+0.9y=1020° 解得 y=200。 答：上衣原来售价 800元0 24.解：将方程组中的两式相加得2x+y=6a+12。解原方 程组：①式x-y=4a+3,②式x+2y=2a+9。②-①得3y 三2a+6,y=23。代入①得x=4a+3+20+6 2 12a+9-2a+6_10a+15。代入2x-3y=11得2× 10a+15 3 3 3 -3×-2a+6 =11,即20a+30+6a-18 =11, 26a+12 3 3 3 3 21 =11,26a+12=33,26a=21,a= 260 25.解：设千位数字为x,十位数字为3x,百位数字为y,个位 数字为z。由共生数定义：千位+个位=2×（百位十十位），即x十 z=2y+3x)=2y+6x,∴.z=2y+5x。,x、y均为0-9的整数， x≠0，且z为个位数字(0-9的整数)，，∴.2y+5x≤9。又“百位+个 位之和能被8整除”，即y+z=y+(2y+5x)=3y+5x能被8整除。 x从1开始枚举：当x=1时，2y+5s9,得2ys4,ys2且y为整数。 可能取值：(x,y)=(1,0)时z=5,y+z=0+5=5不能被8整 除；(1,1)时z=7,y+z=1+7=8能被8整除；(1,2)时z=9, y十z=2+9=11不能被8整除。.(x,y,z)=(1,1,7),四位数 为：千位1，百位1，十位3，个位7，即1137。 当x=2时，2y+10s9,得2ys一1，无解。.∴.唯一解为1137。 答：所求共生数为1137。