第24章 平面直角坐标系（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第24章 平面直角坐标系（压轴题专项训练） 一、单选题 1．如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．5 2．如图所示的平面直角坐标系中，有一边长为的等边三角形，点，分别在轴、轴上，且．将进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到；将沿直线翻折，得到，再将沿直线向右平移个单位长度，得到…如此循环操作（点分别是点，，的对应点，是正整数），则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知．若第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，则M的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是，点E是对角线的中点，且，则点E横坐标为（   ） A．1 B． C． D．2 6．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为和，连接，，将绕点A逆时针旋转得到，点O与点C对应，点B与点D对应，当点C落在x轴上时，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若，，则P，Q的“实际距离”为5．点A，B，C的坐标分别为，，．若点M满足到点A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标为________________． 8．已知点和点关于原点对称，则的值为_____． 9．如图，边长为1的正方形的顶点在第一象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第二象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第三象限，以长为边长所作的正方形的顶点在第四象限．按此方式依次作下去，则点的坐标是___________． 10．如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为轴上一点，将沿所在的直线翻折后，使得点的对应点恰好落在轴上，则点坐标为___________． 11．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，且．若，则点的坐标是______． 12．如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，以，为顶点作等腰直角三角形（其中，且点C落在第一象限），则点C的坐标为______． 14．如图，在中，，点的坐标，点的坐标，则点的坐标是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，连结，，作的角平分线，过点作于点，则点的坐标为______________． 16．如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点、在轴上，且关于轴对称，，，，，分别为垂足，则与的长度之比为______． 17．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点M是y轴上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标为_____． 18．如图，等腰中，顶点的坐标，将绕点按顺时针方向旋转一定角度后得到，点的对应点在轴上，则点的坐标为______． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2) 若，两点为“等距点”，求的值． 20．在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线．若先将图形关于直线对称，再向下平移个单位长度，得到图形，则称图形是图形“关于的对称平移图形” (1)当时，若三个顶点的坐标分别是，，，记关于的对称平移图形为，在图中画出，并直接写出它的三个顶点的坐标； (2)记点关于的对称平移点为，若点始终在的垂直平分线上，试探究满足的数量关系． 21．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 22．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒． (1)求线段，的长； (2)点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值； (3)在（2）中所确定的点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知，，M为第三象限内一点． (1)若点到两坐标轴的距离相等． ①求点M的坐标； ②若且，求点N的坐标． (2)若点M为，连接，，将沿x轴方向向右平移得到（点A，M的对应点分别为点D，E），若的周长为m，四边形的周长为，求点E的坐标（用含n的式子表示）． 24．【经验总结】我们在解决“如图1，在中，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：”这个问题时，只要证明即可． （1）请写出证明过程； 【类比应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； 【拓展提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以为一边构造等腰直角三角形，直接写出在第一象限内满足条件的所有点C的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第24章平面直角坐标系 (压轴题专项训练) 一、单选题 1.如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、 E,点A的坐标为-2,4)，则线段DE的长为() D O (C) A.4 B.6 C.8 D.5 【答案】B 【详解】解：点A的坐标为-2,4)， OD=2,AD=4, ×△ABO为等腰直角三角形， 0A=B0,∠A0B=90°， ∠A0D+∠DA0=∠A0D+∠B0E=90°， ∠DAO=LBOE, 在△AD0和△OEB中， ∠DAO=∠EOB ∠ADO=∠OEB, 0A=BO △ADO≌△OEB(AAS, .AD =0E =4,OD=BE=2, ∴.DE=0D+0E=4+2=6. 故选：B. 2.如图所示的平面直角坐标系xOy中，有一边长为2的等边三角形ABC,点A,B分别在y轴、x轴上， 且LAB0=60°，将ABC进行“翻折、平移、翻折、平移”操作：将ABC沿直线AC翻折，得到 1/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △AB,C1,再将△AB,C沿直线AC向右平移2个单位长度，得到△4，B,C2;将△A,B,C沿直线AC翻折，得 到△A,B,C,再将△A,B,C沿直线AC向右平移2个单位长度，得到△A,B,C4.如此循环操作（点A,BCn分别 是点A,B,C的对应点，n是正整数)，则点Bo21的坐标为() B A.（2021,0 B. (2021,23 C.2022,0 D.2022,2V5 【答案】B 【详解】解：根据题意画出图形，如图， B B2 Bs B6 B9B10B13 OB B3 B4 B B8 B1B12 由题意可得：OB=1, 设k为非负整数， 由B,B,B,B。在x轴上方，B,B,B,B在x轴上， B41,B4+2在x轴上方，B4+3,B4+4在x轴上， :2021=4×505+1, .点B2021在x轴上方， :B1,25),B,5,25,B,(9,25),, .B02(2021,2V5, 故选：B 3.如图，在平面直角坐标系中有A(1,3),B(4,2)两点，P为x轴上一动点.连接AP,BP,则AP+BP的最 小值为() 2/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A1,3) 3 B(4,2) 2 12P345 A.V10 B.4 C.√26 D.34 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A,连接A'B交x轴于点P, 珠 4 A1,3) B(4,2) 2 P 2345 .AP=A'P .AP+BP=A'P+BP A'B :当点，P,B三点共线时，AP+BP有最小值，即AB的长度 :A1,3, 由对称得，A'1,-3), :B4,2 AB=V1-4)2+(-3-22=V34 AP+BP的最小值为34. 故选：D 4.在平面直角坐标系中，已知A(2,4),B1,1,C(3,3,若第一象限内的点M与A,B,C构成平行四边形， 则M的坐标为() 3/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.M(3,5 B.M4,6 C.M(4,7) D.M(5,7 【答案】B 【分析】 【详解】解：设点M的坐标为(x,y) :平行四边形的对角线互相平分，分三种情况分析： ①以AB、AC为邻边时，A与M的中点和B与C的中点重合， :2+x=1+3,4+y-1+3, 2 2’2=2 解得x=2,y=0, 该点不在第一象限，舍去： ②以AB、BC为邻边时，A与C的中点和B与M的中点重合， :2+31+x,4+31+y 2 =2’22 解得x=4,y=6, 该点在第一象限，符合条件： ③以AC、BC为邻边时，A与B的中点和C与M的中点重合， :2+13+,4+1-3+y 2 2’ 22 解得x=0,y=2, 该点不在第一象限，舍去： 综上，M的坐标为(4,6)， 故选：B。 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，点D的坐标是(-2,2)，点E是对 角线AC的中点，且BE=√0，则点E横坐标为() D B A. B.V5-1 c.V10-2 D.2 4/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .CD⊥BC,AD∥BC, :顶点B、C在x轴上，点D的坐标是(-2,2)， 点C的坐标为(-2,0)，点A的纵坐标为2， :点E是对角线AC的中点，且BE=V0, CB=8E=0,点E的级坐标为生2-1， 设点E的横坐标为a,则CE2=(-2-a2+(0-1)2=(1o), 解得a=1或a=-5, :点E在点C右侧，即a>-2 ∴a=1, 故选：A. 6.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为1，V3和(3,0)，连接OA,AB,将△0AB绕点A 逆时针旋转得到△CAD,点O与点C对应，点B与点D对应，当点C落在x轴上时，点D的坐标为() y C B A.（3,2W5 35。 D, 735 22 【答案】D 【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E,过点A作AH⊥x轴于点H, :B3,0),A,5), 5/32 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0B=3,0A=2+V3=2,0H=1, 由旋转的性质可知AO=AC=2,CD=OB=3,∠ACD=∠AOB, 又：AH⊥x轴， .0C=20H=2, ..OC=A0=AC, .△AOC是等边三角形， .∠AC0=∠A0B=60°， ∴.∠ACD=60°， ∠DCE=180°-60°-60°=60°， .∠CDE=30°， CE=CD= 2 DE=CD2-CE33 2 37 .OE=OC+CE=2+ 221 .D 735 2’2 故选：D 【点晴】本题考查平面直角坐标系、旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质、直角三角形的性 质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题， 二、填空题 7.定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q(至多拐一次弯)的路径长称为 P,Q的“实际距离”.如图，若P(-1,1,Q(2,3,则P,Q的“实际距离”为5.点A,B,C的坐标分别为 A(3,1),B(5,-3),C-1,-5).若点M满足到点A,B,C的“实际距离”相等，则点M的坐标为 6/32 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y T 4 3 2公 S 5-4-3-2-10 2345 2 3 【答案】(1，-2 【分析】 【详解】如图，设M(x,y). 由“实际距离”的定义和点M到点A,B,C的“实际距离”相等，得点M在矩形ECFG区域内， 4 2 E G 5-4-3-2-10 1 M 为 C F -1<x<5,-5<y<1,|3-x+1-y=5-x+|-3-y=x+1+y+5. 若要使M到4，B,C的“实际距离”相等， 由图可知点M只能在点A左侧、点B上方的位置， .3-x+1-y=5-x+y+3=x+1+y+5, 解得x=1,y=-2, 则M(L,-2). 故答案为：(1，-2) 已如点4(2和点42大丁原点对称，则的值为一 8. 【答案】3 7/32 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【详】解：设点A的精坐标为一点B的能坐标为，月 4x-22 131 由关于原点对称，得2x-4x-22” 1 化简得 3,1 2x-1=-4x-22 注意到4x-2=22x-1, 331 4x-22(2x-122x-1 代入方程得，1-3.1,1 2x-i-22x-+2 2-则1=-3+{ 设1、1 22 31 移项得1+)1=)·即=2 潮程一 11 2x-15' 得2x-1=5, 即2x=6, 解得x=3. 经检验，当x=3时，分母2x-1=5≠0且4x-2=10≠0， 故x=3成立. 故答案为：3 9.如图，边长为1的正方形OAPB的顶点P在第一象限，以OP长为边长所作的正方形OA,PB,的顶点P在 第二象限，以OR长为边长所作的正方形OA,P,B,的顶点P在第三象限，以OP长为边长所作的正方形 OA卫B,的顶点乃在第四象限.按此方式依次作下去，则点P25的坐标是 8/32 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B P A B Bs 4.B A A P A 【答案1(-(2， 【详解】解：：边长为1的正方形OAPB的顶点P在第一象限， 0P=12+1P=2, :以OP长为边长所作的正方形OAPB,的顶点卫在第二象限， -(2,(）: :以OR长为边长所作的正方形OA,PB2的顶点B在第三象限， -(2,-() :以OP长为边长所作的正方形OAPB的顶点B在第四象限， （2,2: 以此类推，可得： p（,2(-(2,(,4个-循环， 2025÷4=506..1, “点Po2s在第二象限， P（2（2） 10.如图，在平面亡角坐标系巾，点A为2,0小，点s为0点P为维上一点，将：P沿P所在 的直线翻折后，使得点B的对应点B恰好落在y轴上，则P点坐标为 9/32 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B O P衣 【答案160或（号0】 【详解】解：点4为201，点8为0小 点0A=2,0B= 3 48-J04+0B- :将△ABP沿AP所在的直线翻折后，使得点B的对应点B恰好落在y轴上， 4B=48-子8即=p 设P(a,0), 分以下两种情况： 当点P在x轴的正半轴上时，如图： Y B BO P主 则0B=OA+AB'=2+ 59 22BP=BP=BO+OP三号+aY 8p=0840p-} 解得a=6, .P点坐标为(6,0)； 当点P在x轴的负半轴上时，如图： 10/32