专题05 填空压轴圆相关求解（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(重庆专用)

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05填空压轴圆相关求解 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01垂径定理相关求解 题型02切线相关求解 题型03内接四边形相关求解 题型04相似三角形相关求解 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、垂径定理相关求解的解题方法： 1标注已知信息，在图上标出所有已知长度，圈出未知量。 2连接半径构造直角三角形，从圆心连接弦的一个端点，得到半径，垂足就是弦的中点。 3.用字母表示未知线段，设半径为R,或设弦心距为d,用含未知数的式子表示其他线段。 4根据勾股定理列方程求解. 二、切线相关求解的解题方法： 1.见切点，连半径。 2.切线长定理找等线段。 3弦切角转化，将切线条件转化为圆周角，从而进行角度的等量代换。 4利用Rt△列勾股方程，切线问题中几乎都有直角三角形，用勾股列方程。 5.遇多切线找圆心角 三、内接四边形相关求解的解题方法： 1.识别四边形四个顶点是否都在圆上 2.标出已知角度，用字母表示未知角度 3.根据对角互补列方程：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 4.解方程求未知角度 四、相似三角形相关求解的解题方法： 1.在两个三角形中各找出一个已知相等角（或直角） 2.这两个角的对边就是对应边 1/46 扇学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 3.再用另一个已知相等角确定第二组对应关系 压轴题型专练 模块二 题型01垂径定理相关求解 1.如图，O0是ABC的外接圆，AB=AC,若⊙0的半径为5，BC=6,则AB= ,以AB、 BC为边作平行四边形ABCD,CD与OO相交于点E,连接AE,过点B作AC的垂线交AC于点F,交 CD于点G,则EG= 0 【答案】 310 21v10 20 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC,延长OA交BC于点M,则0A=OB=OC=5, D AB=AC,OB=OC, B AM垂直平分BC, :.BM=CM=-BC=3, :在Rta0MB中，0M=VOB2-BM2=4, AM=9, :在RtAAMB中，AB=√AM2+BM2=3V10; :四边形ABCE是OO的内接四边形， ∠ABC+∠AEC=180°， :∠AEC+∠AED=180°， .∠ABC=LAED, :四边形ABCD是平行四边形， LABC=∠D,BC=AD=6,AB=CD=3V10,AB∥CD, .∠D=∠AED, 2/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :AD AE =BC=6, AB=AC=310, :∠ABC=∠ACB=∠AED=∠D, △ABC∽△AED, AB BC AE DE .3106 6 DE DE=6110 5 CE=CD-DE=30-6110910 5 5 BG⊥AC, ∠BFC=90°=LAMC, 又：∠BCF=LACM, △BCF∽△ACM, BC CF ACCM' 6 CF 3103, ..Cr=3/10 5 AF=AC-CF=3Vi0-30_120 5 :AB∥CD, △ABF∽△CGF, AB AF CG CF' 12v10 3V10 5 CG 3W10 5 .CG=310 4 EG=CE-CG=-90_3N021v0 4 20 2.如图，⊙O是ABC的外接圆，AE为直径，CO⊥AE于O,记BC与AE的交点为F,BA的延长线与 3/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 过点C的切线交于点D,若tan∠OAB= 0E=2,则CD=,BF= 1 【答案】 6 8V10 15 【详解】解：如图，过点A作AH⊥CD于点H,连接BE,CE, ·CD是⊙O的切线，点C为切点， D .0C⊥CD,即∠0CD=90°， .CO⊥AE,AH⊥CD, .LC0A=∠AHC=90°， 四边形AOCH是矩形， .0A=0C, :四边形AOCH是正方形， .CD//AE,AH=0A=OE=CH =2, ∠D=∠0AB, :tan∠D=tan∠0AB=2 1 解-3站号 DH2' .DH=4, .CD=CH+DH=6; :AE是O0的直径， ∠ABE=90°，AE=20E=4 tan 204B=BE1 AB2' .AB =2BE, :(2BE)+BE2=42, 解得：BE=45,则AB=2BE-85 5 5 :CO⊥AE,四边形AOCH是正方形， 4/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 AC=V20A=22, LCEA=45°，即CE=AC=2√2， .∠DAC+∠CAB=∠CAB+∠CEB=180°， .LDAC=∠CEB, :∠CBE=∠CAE=∠ACD=45°， △DAC∽aCEB, 62W2 CD AC BC8E,即Bc45 ·BC= 6W10 ∠BCE=∠BAE,∠CBA=∠CEA=45° ∴.△AFB∽△CEB, 85 6BC, BF AB =5 45610 5 BF=80 15 3.如图，AB为⊙O的直径，点E是AB上一点，点C是OO上的点，四边形ACDE为菱形，CD交⊙O于 点F,连接EF,若EF⊥AB,AB=4,则OE= 【答案】25-4/-4+2√5 【详解】解：如图，连接OF,过点O作OH⊥CF于H,设OE=x, D :CH=FH, :四边形ACDE为菱形， CD∥AB,CD=DE=AE, 5/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :EF⊥AB, .EF L CD, :.四边形HOEF是矩形， ..OE=HF =CH =x, :AB=4, ..0A=0B=OF=2,AE=DE=AD=2+x, .DF=CD-CF=2+x-2x=2-x, 在Rt△OFE中，EF2=OF2-OE2, 在Rt△DEF中，EF2=DE2-DF2, .0F2-0E2=DE2-DF2,即22-x2=(2+x)2-(2-x)2, 解得：x=25-4(负值舍去)· ∴0E=2V5-4. 4.如图，四边形ABCD内接于圆O,AC为圆O直径，BD、AC交于点E,点B是AC的中点，DG切圆 0于D,交CA延长线于G,若4B=3反，点0到DC的距离为5，则4C=一，AG= 0, E D 【答案】 6 2 【详解】解：点B是AC的中点， .AB=BC, ·AB=BC=3V2,∠ADB=∠CDB, :AC为圆O直径， .∠ABC=90°， ∠BAC=∠ACB=45°， AC=√AB2+BC2=√2AB=6; ..OC=AC=3, 如图，过点O作OH⊥CD于H,连接OD, 6/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B D 则CH=HD=CD,OH=3 在Ri0CH中，CH=VOC-OH-65 ∴CD=2CH= 12v5 :AC是⊙0的直径， ∠ADC=90°， 又O是AC的中点，H是CD的中点， ·OH是△ADC的中位线， V5 .AD =20H= 5 :DG切O0于D, ∠0DG=∠0DA+∠ADG=90°， :∠ADC=∠0DA+∠ODC=90°， .∠ADG=∠ODC, .OD=OC, ∴∠ODC=∠OCD, .∠ADG=∠OCD, :∠G=∠G, AGAD∽aGDC, 65 GA AD 5 1 DCD12527 设AG=x,则GD=2x, 在Rt△0DG中，OD2+DG2=OG2, 32+(2x)2=(3+x2, 解得x=2或x=0(舍去)； 故AG=2. 5,如图，ABC内接于⊙O,D是AC上一点，AD∥BC,连接OA交BC于E,OA平分∠BAD, 7/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 OF=13 ,BE=V29,则4C= A B E 【答案】10 【分析】延长AO交OO于点F,连接FC,OB,得∠OAB=∠OBA,证明∠BAE=∠BEA,可证明 △AOB∽△ABE,求出OA= 再求出FC=PE-,再由勾股定可求出4C:10. 29 【详解】解：延长A0交⊙O于点F,连接FC,OB,如图， A D F :OA平分∠BAD, ∠DA0=∠BA0, :AD∥BC, .∠DAE=∠BEA, ∴∠BAE=LBEA, AB=BE =29, 0A=0B, .Z0AB ZOBA, .∠ABO=∠BEA, △AOB∽△ABE, AO AB AB AE AB=29,AE=40-OE=40-13 1 AO V29 29 4013, 4 8/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 解得：40=29 .FE=OF+OE= 9号头r-20 2 又∠FCB=∠BAF,∠FEC=∠BEA, ∠FCE=LFEC, .FC-FE-21 :AF是O0的直径， .∠ACF=90°， AC=AF2-FC2 =10 ●)类题点拨 1.忽视分类讨论：当弦的位置不确定时（如在圆心的两侧），需要考虑两种情况·例：两平行弦可能在圆 心同侧或异侧 2.混淆弦心距与半径：弦心距是圆心到弦的距离，不是半径 3.平分弦时注意条件：“平分弦”作为条件时，被平分的弦不能是直径 4. 辅助线漏连：不要忘记连接圆心和弦的端点一这是构造直角三角形的关键一步 题型02切线相关求解 6.如图，AB为OO的直径，C、E为OO上的点，连接AC、BC、CE、BE,D为AB延长线上一点， 连接CD,且∠BCD=∠E,AB=CD,若OO的半径为2√5，则点A到CD的距离为 9/46 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】25+2/2+2V5 【详解】解：连接OC, 、、F E “AB是圆的直径， ∴∠ACB=90° .∠AC0+∠BC0=90° :∠BCD=∠E,∠A=∠E ∠BCD=∠A :0A=0C ∴.∠0AC=L0AC ∠0AC+∠0CB=90° LBCD+LBC0=90°，即OC⊥CD :00的半径为2√5 :AB=45 CD=AB=45 在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2 :0D=V25)2+(4V5)2=10 .AD=A0+OD=2V5+10 过点A作AF⊥DC,交DC延长线于点F,过点C作CGLAD于点G, op.cG-oc.cD x10xCG=x2W5x45,解得，cG=4 10/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 同理： LAD-CG=-AF.CD “2×10+25x4=×4V5xAF 1 1 :AF=25+2 故答案为：2√5+2 【点晴】本题考查了切线的判定、三角形面积、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角 形 7.如图所示，OO是ABC的外接圆，AE是OO的直径，点M为劣弧AB上一点，作M点关于弦AB的对 称点D,此时点D恰好为直径AE与边BC的交点，BF与OO相切，且与AE延长线交于点F.若 BD:CD=2:3,AB=4V万，AC=6√2，则BC的长为，EF的长为 0 M 【答案】 10 4245 33 【分析】连接BM,BE,DM,OM,CE,根据题意BM=BE=BD=2x,证明△ADC∽△BDE,得到 4D=4C=6,再证明：0，c0,D5=子，根据最定理得到4万+2对-65+ 2 2 得到x=2,从而得到BC=I0,BM=BE=BD=4,AE=8√5，证明△BEF∽△ABF,得到 BE BF EF AB AF-BF,即可求解 【详解】解：如图，连接BM,BE,DM,OM,CE, BD:CD=2:3, M 设BD=2x,CD=3x,则BC=5x, M,D关于AB对称， AB垂直平分MD, .∠BAM=∠BAD,BM=BD, 11/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ∠BOM=∠BOE, :BM =BE BD=2x, ∴△BDE是等腰三角形， '∠ACB=∠AEB,∠ADC=∠BDE, △ADC∽△BDE, AD AC BD BE :AD=AC=62, :∠BAE=∠ECB,∠ADB=∠EDC, △ABD∽△CED, AD CD BD DE ..DE= BD·CD 2x.3x_V2x2 AD 6v5 2 AE为直径， ∠ABE=90°， :AB2+BE2=AE2, st- x4+16x2-80=0 (x2+20)(x2-4=0 x2=4, x=2, :BC=10,BM BE BD=4,AE=82, :BF与⊙0相切， ∠0BF=90°， :∠AB0+∠OBE=∠EBF+∠OBE=90°， LABO=∠EBF, 0A=0B, :LBAE=∠ABO, .∠BAE=∠EBF, 又：∠AFB=LBFE, △BEF∽△ABF, BE BF EF AB AF BF 12/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4 BF EF 4V万8V2+EF=BF, ∴BF=8V2+EF √7 EF 47 8√2+EF, √7 EF=42 【点晴】解题核心是利用对称性得BM=BD=BE,通过两次三角形相似建立边的比例，结合勾股定理求 BC；再利用切线性质证相似，用比例关系求EF, 8.如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A,以AC为边作菱形ACDE,点D,E均在⊙O上，DE与 AB交于点F,连接BC,与O0交于点G,连接DG.若AC=2V3,则AB的长为，DG的长为 G 【答案】 4 2V21 7 【分析】根据菱形的性质可得AB⊥DE,结合垂径定理可得EF=√3，再结合特殊角的余弦值即可求解AB 的长，先利用相似三角形可求解FH= ,再结合勾股定理以及边长可求解GH=9万，再结合∠GHK的 14 正弦值以及余弦值可求解GK与HK的值，再结合勾股定理即可求解. 【详解】解：连接OE,记AB与DE的交点为点F,如图， O D :四边形ACDE为菱形， AC DE且AC=DE=AE=2V3, 13/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :以AB为直径的O0与AC相切于点A,即∠CAB=90°， 则∠AFD=90°，即AB⊥DE, EF=IDE=3, 在RtAAEF中，EF=√3，AE=2V3, sin∠EAF= 3 ∠EAF=30°，则∠AEF=60°， :0A=0E, .∠AE0=LEAF=30°， .∠0EF=30°， 在RtAOEF中，∠OEF=30°，EF=√5， cos∠OEF=cos30°= EF3 0E2 :0E=2,即⊙0的半径为2， 则AB的长为4； 连接AG,记BC与ED的交点为点H, 过点G作GK⊥ED的延长线于点K,如图， O H D :0B=2, :由勾股定理得，OF=1, BF=0B-0F=2-1=1, FHII AC, △BFH∽△BAC, BF FH ABAC,即 25,可得FH=5 1 FH HD=5-5,V5 22 14/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtABFH中，BH=VBF2+FH :在R1aABC中，BC=VAB2+AC2=V42+(25°=2V7, :AB为OO的直径， .∠AGB=90°， :}xAB×AC=)×AGxBC,即4x2N5=AGx2N万， 1 2 则有AG=4V2 1 2 8万 GH=BG-BH=8万V万9VW7 7214 在RtaBFH中， sin∠BHF=BF=12 5 BMV万V万，cos∠BH那= 2 5 BH 万√万1 2 :∠BHF=∠GHK, 在RIHGK中， sin∠GHK=Gk-GK_2 GH9万V7,cos∠GHK= HKHK GH97√7， 14 14 解得GK=9 H=93 14 DK-HK-HD= 142 7 在R1aDGK中，DG=VDK2+GK2 -22 7 综上，AB的长为4，DG的长为22团 7 9.如图，AB、AD分别是⊙O的两条切线，切点分别为点E、点F,以AB、AD为邻边构造平行四边形 ABCD,CD交⊙O于点G,当AG⊥DC时，连接BG交OO于点M,连接EG、EM,若 4F=3BM=25,an∠4GE-}则00的半径是，&BCG的面积是 15/46 扇学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 E B M 189 【答案】 10 【分析】根据AB,AD是OO的切线，得出AE=AF=3,根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD, 结合AG⊥DC,得出AG⊥AB,在△AEG中，求出AG=9,连接OE,过O作OH⊥AG于H,在 RtAOHG中，由勾股定理求出OO的半径为5.过O作OK⊥EM于K,垂径定理得出EK=√5，则 OK=2N5,过M作MQ1EB于Q,证明∠0EM=∠EOK,得出cos∠QEM=cos∠EOK= 2W5 从而求出 5 EO,MQ,证明△BMQ∽aBGA,求出BQ,即可求出AB,CD,连接OF交AG于点N,根据切线的性质 得出OF⊥AD,设FN=x,则ON=5-x,证明△AFV≌△OHN,在△AFN中，勾股定理求出FN,证明 △FANGAD,根据相似三角形的性质求出DG,即可求出CG,再根据S,c=CGAG求解即可。 2 【详解】解：：AB,AD是OO的切线，切点为E,F, :AE=AF=3, :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, 又AG⊥DC, AG⊥AB,即LEAG=90°，△AEG是直角三角形 :tan∠AGE=AE_1 AG-3'AE=3, 解得：AG=9. 连接OE, :AB是切线，E是切点， .OE⊥AB, 又AG⊥AB, .0E∥AG, 设⊙0的半径为r,则0E=0G=r, 过O作OH⊥AG于H,连接OG, 16/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B M H D 则四边形OEAH是矩形， .OH=AE =3,AH =OE=r, .GH=AG-AH=9-r, 在Rta0HG中，由勾股定理：OH+GH=OG2, 即32+(9-r)2=r2, 解得：r=5,即00的半径为5. 过O作OK⊥EM于K, EK-KA-EM-5. 0K=V0E2-EK2=25, cos∠EOK= OK 25 OE 5 过M作MQ⊥EB于Q, A E B H G ∠QEM=∠EOK=90°-∠MEO, os∠QEM=cos∠EOK=25 E0=EM-cos∠QEM=2V5x25 =4 M0=VEM2-E02=25j-42=2, :MQ⊥AB,AG⊥AB, :.MQ∥AG, .△BMQn△BGA, 17/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 MO BO AG AB 2 BO 即号B0+3+4' 解得：BQ=2, :AB=AE+EQ+BQ=3+4+2=9, :四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=9, 连接OF交AG于点N, :AD是O0的切线，切点为F, .OF⊥AD, 设FN=x,则ON=5-x, :∠ANF=∠ONH,∠AFN=∠OHN=90°，AF=OH=3, .△AFN≌AOHN(AAS), AN=0N=5-x, 在△AFN中，AF2+FN2=AN2，,即32+x2=(5-x), 解得：x=8 :∠AFN=∠AGD=90°，∠FAN=∠DAG, △FAN∽aGAD, FN AF DG AG 8 5=3 DG 9 DG=24 “CG=CD-DG=9-24=21 55 10 IO.如图，在OO中，AB和CD为直径，弧BC等于弧BE,连接DE,过点D的切线DM交BA的延长线于 点M,若00的半径为60F沿，则DE的能为 ,EG的值为 18/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B 【答案】 36 36V13 5 13 【分析】利用BE=BC得等圆心角LEOB=∠BOC,，连接EO得∠EOC=2∠BOC,再由圆周角定理得 ∠EDC= ∠EOC=∠BOC,从而证得DEAB,由相似三角形aDEF∽：OAF求出DE=号，再利用垂径 30 2 定理和勾股定理求出OH和DM进一步求出OM,过E作EN⊥AB,由矩形的性质求出EN、MN,用勾股 定理求出ME=4√13，最后连接CG、DG,利用同角的余角相等证得∠MDG=∠MED,由△MDG∽△MED 得MD2=MG·ME,求出MG和EG. 【详解】解：连接EO BE BC, ∠EOB=∠BOC, :∠E0C=∠E0B+∠B0C=2∠B0C, 又：∠EDC= ∠EOC, ∴.∠EDC==×2∠BOC=∠BOC, :∠BOC=∠AOD, ∠EDC=∠AOD, .DE ll AB, DE I AB,AE交DO于F, ∴△DEFn△OAF, DE DF OA OF' :0A=6,0D=6,0F=30 1 ∴DF=0D-0F=6-30=66-30=36 11 11 11 19/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 36 -8 11 DE=6x6=36 55 B 过点O作071DE于点H,山垂径定鬼，DH=HE=DE 5 在RtaD0H中，OD=6,DH= 5 .0H=V0D2-DH2=,36- 32457624 25=V25=5 DE‖AB, ∠DOM=∠HD0, :DM是切线， 0D⊥DM,即∠0DM=90°， 在RtODM中，tan∠DOM=DM 0D 24 m<008册是 U 4 48 .DM-OD.3-6 .0M=V0D2+DM2=√36+64=√100=10， :0A=6,0M=10, MA=0M-0A=10-6=4, :MB=MA+AB=4+12=16, OH⊥DE,EN⊥AB,DEI‖AB, 四边形OHEN是矩形， 20/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 .EN =OH= 2 ,ON-HE =18 .MN=MO+ON =10+ 1868 55 在RtAEMN中，ME=VEN2+MWN2 =413, 连接DG,CG, :DM是切线，CD是直径， .∠MDC=90°即∠MDG+∠GDC=90°， 在Rt△CGD中，∠GDC+∠DCG=90°， ∠MDG=∠DCG, 又：∠DEM=∠DCG, :∠MDG=∠DEM, :∠DMG=∠EMD, ∴△MDG∽△MED, MG MD MD ME' ∴.MD2=MG·ME, .MG.ME=82=64, MG=64=64-16V3 ME41=13 EG=ME-MG=43-163_36i3 13 13 故答案为： 3636V13 513 B 21/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ●)类题点拨 1.定关系：观察直线和圆，判断是已知交点还是未知交点，从而确定用“连半径”还是”作垂直”。2.找 等角：在图中寻找等角来源，比如半径相等带来的等腰三角形、已知的平行线，或者同弧所对的圆周角。 3.算直角：结合已知角度，算出目标角为90°。一个常用模型是：直径→90°圆周角→与切线产生的角 互余。4.下结论：在答题卡上明确写出”.XX是⊙O的切线”。 题型03内接四边形相关求解 11.如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，AC、BD相交于点E,BC是OO的直径，BC的延长线交 ⊙0的切线4F于点R连接0D与4C交于点G.若0D/4B,AD=4,m∠4BD=写则4B= CF AE 【答案】 135 28 【详解】解：如图，连接OA, :BC为直径， ∠BAC=90°， OD∥AB, ∠OGC=90°，即0D⊥AC, .CG=AG,AD CD=4,AD=CD, ∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD, 22/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :tan∠ABD= 1 3 tan∠ACD=tan∠CAD= 3 ERIA CDG中，an∠ACD=CG3,即CG=3DG, CD2=CG2+DG2=9DG2+DG2=10DG2, DG-CD-20.CG-3DG-/0 10 5 5 AC=2CG=1210 5 ,∠ABD=∠CBD, tan∠ABD=tan∠CBD 3 ∠CDB=90°， tan∠CBD=CD-1 BD3,即41 BD3' BD=12, 在Rt△CDB中，BC=VCD2+BD2=410, 在R△ABC中，8=Bc-4C-号而 设∠ABD=∠CBD=a,则∠CBA=2∠ABD=2a, 0A=0B, ∠0AB=2a, :OA⊥AF, .∠FAC+∠CA0=LCA0+∠0AB=90°， LFAC=∠0AB=2a, ∴∠FAC=LCBA=2a, .∠CFA=∠AFB, △CFA∽△AFB, 1210 FAB60,即4F-4cF, CF_AC5 3 5 在Rta0FA中，OF2=OA2+AF2, (}ac+rj-gacj(售orj小.p而+crf-a而+crj 23/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 解得cF=30, 在Rt△ABE中，tan∠ABD=AE-L AB3' AE 1 1603, 5 解符45-而， 360 CF_ 135 短丽 28 12.如图，四边形ABCD为OO的内接四边形，AB为OO的直径，对角线AC、BD相交于点E, BF∥DC交⊙O于点F,BF、CA的延长线相交于点G,己知∠AED=45°，点E为AC中点，AB=V10, 则BG的长为 D 【答案】25 【分析】过点C作CH⊥BD与点H,根据圆周角定理得出ADE和△BCE是等腰直角三角形，利用勾股定 理，得出AE=CE=BC=√2，CD=V5,再证明△CDE∽aGBE,利用对应边成比例求解即可. 【详解】解：如图，过点C作CH⊥BD与点H, B :四边形ABCD为OO的内接四边形，AB为OO的直径， G ∠ADB=LACB=90°， .∠AED=∠BEC=45°， ADE和△BCE是等腰直角三角形， 4D-DE- LAE:BC=CE-BE CH-EH--BE. 2 、) :点E为AC中点， AE=CE=BC,AC=2CE=2BC, 在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2, 24/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :.BC2+(28c)2=(o). BC=√2， AE=√2， ·AD=DE=1,BE=√2BC=2, :CH =EH =1,DH=DE+EH=2, 在Rt△CDH中，CD=VDH2+CH2=V5, :BF∥DC △CDE∽△GBE, CD DE BG BE 51 BG 2 .BG=25. 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作O0的切线AG,交CD的延长线于点G,连接 A0并延长交CD于点E.若∠G=15°，半径OA为2，AE=AD时，则∠B=,CE= E 【答案】 105 3√2-√6或√6-√2 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，由切线的性质可得 ∠EAG=90°，即得∠ADC=∠AEG=75°，再根据圆内接四边形的性质可求出∠B,连接OC、OD、AC, 延长AE交O0于点M,过点0作0H⊥AD于H,可证LC0D=2LCAD=90°，即得CD=VOC2+OD2=2√2 ,再利用垂径定理及直角三角形的性质、勾股定理可得AE=AD=2√5，即得到ME=AM-AE=4-2√5， 再根据aCEM∽aAED解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：：AG是⊙0的切线， .EA⊥AG,即∠EAG=90°， :∠G=15°， ∠AEG=90°-∠G=90°-15°=75°， AE AD, .∠ADC=∠AEG=75°， :四边形ABCD是OO的内接四边形， .∠B+∠ADC=180°， 25/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 LB=180°-∠ADC=180°-75°=105°， 连接OC、OD、AC,延长AE交⊙0于点M,过点O作OH⊥AD于H,如图， M D H G ∠ADC=∠AEG=75°， ∠DAE=180°-75°-75°=30°， :0A=0D, ∠0DA=∠DAE=30°， ∠A0D=180°-30°-30°=120°， aZD0E=180-L40D=60,∠ACD=)∠A0D=60 .∠CAD=180°-75°-60°=45°， .LC0D=2LCAD=90°， :0C=0D=0A=2, ∴CD=V0C2+0D2=V22+22=2V5, :OH⊥AD, AD=2AH,∠AH0=90°， ∠DAE=30,0H=01=1 :AH=V0A2-0H2=V22-12=5, .AD=2AH=25, 六AE=AD=2V3, :AM=20A=4, ME=AM-AE=4-2√， :∠MCD=∠MAD,∠CEM=∠AED, .ACEM∽△AED, CEME AE DE 即CE。4-2V5 2√522-CE 解得CE=3√2-√6或CE=√6-2， 故答案为：105°，3v2-√6或√6-√2. 26/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 14.如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=BC,AC=AD,点E为四边形ABCD对角线交点，过点 C的切线与B的延长线交于点F,若an∠BCF=),AC=4,则图O半径为一，AB= D F 【答案】 5 20 2 11 【详解】解：如图，连接A0并延长交CD于点N,连接BO,CO,设BO交AC于点Q,过点O作 OP⊥BC于点P,过点C作CM I AD,交DB延长线于点M, D e3T2-- :0B=0C,0P1BC, :BP=CP,∠COP=∠BOP=∠COB. 2 :∠BDC=∠COB, 2 ·∠BDC=∠COP=∠BOP=1 ∠COB, .FCLOC, LBCF+LBC0=90°， :OP⊥BC, .∠C0P+∠BC0=90°， :∠BCF=∠BDC=∠COP=∠BOP=∠COB, 2 AB=BC, AB=BC,OB⊥AC, :A0=CQ=4C=2,∠BDA=∠BDC, 21 27/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :∠BCF=∠BDC=∠BDA=∠COP=∠BOP=I∠COB, 设∠BCF=∠BDC=∠BDA=∠COP=∠BOP= ∠COB=a, 1 tan∠BCF=tana= 2 stan∠PoC=CC=l OP2' 设PB=PC=x,则0P=2x,0B=0C=√PC2+0P2=V5x, =1 BCxOP=-号OBxC2, :S.08c ÷CQ=8Cx0P4V5 x=2, OB 5 x=5 2 ..OB=OC=5x= 2 0g=oc2-cg书3} :CM∥AD, ∴△ADE∽△CME，∠ADB=∠M, :∠ADB=∠CDB, .∠M=∠CDB, .CM =CD, AD=AC, .AN⊥CD,DN=CN, :∠ADC=∠ADB+∠CDB=2a=∠COB, cos∠ADC=cos∠COB=Og_3 C05 D写，得DN=2 DN 3 , CD=2DN=24 ,△ADE∽△CME, ccE,即4 :D=4E -AE 4 AE CD4C-AE,即244-AE, 5 28/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 解得：4B=20 1 故答案为： 520 2' 15.如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，AB是OO的直径，AD=CD,对角线AC、BD相交于点 E,F为AB延长线上-点，连接FC,若LBCF=LCAB,tan∠CBD=?,AD=4V3 15 ,则BC的长度为 ,CF的长度为 【答案】 2 104 3 119 【详解】解：连接OD交AC于M, :AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠ACB=90°， AD=CD, .OD垂直平分AC,∠CBD=∠ABD, :.OM是ABC的中位线，AC=2AM, .BC=20M, :tan∠CBD 3'AD=43 15 tan∠CBD=tan∠ABD=AD=2 BD=3AD= 13 5 :AB=AD2+BD2 43） 213 26 15 5 15 29/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :半径0A=0D= 15 AM2=AD2-DM2=OA-OM2, 解得OM=} BC=20M=2 AM= 3 1 0M2= AC=2AM=5' :∠BCF=LCAB,∠F=∠F, △FCBn△FAC, CF_BC_BF AF AC CF' 2 CF BE 2 =3= 5* 8 CF, 解得CF=104 119 故答案为： 2104 119 ●)类题点拨 对角互补直接加，外角转移找对角。 对角线分圆周角，直径触发九十度。 四点顺序定对角，莫把邻角当互补 题型04相似三角形相关求解 16.如图，BC为O0的直径，点A在⊙0上，∠BAC的平分线AD交O0于点D,连接CD.已知AC=8, AD=T√2，则AB的长为，过点D作DE∥BC,交AB的延长线于点E,则DE的长为 30/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】 6 35 4 【分析】连接BD,过点C作CF⊥AD于点F,根据圆周角定理得到LBAC=LBDC=90°，由角平分线的 性质得到∠BAD=∠CAD=45°，在Rt△ACF中，CF=AC.sin45°，利用勾股定理求出CD、BC,进而求 出AB的长，根据平行线的性质得到∠CBD=∠BDE,根据角平分线性质和圆周角定理得到∠BDE=∠DAB, 证明aBED∽△DEA,则 D-D-BE,进而得到AB=?DE、BE=DE,利用4B=AB+BE列出等式 DA EA DE 7 求解即可 【详解】解：如图，连接BD,过点C作CF⊥AD于点F, C:.∠CFA=∠CFD=90°， D :BC为O0的直径， ∠BAC=∠BDC=90°， :∠BAC的平分线AD交⊙O于点D, ZBAD=ZCAD=ZB4C=7X90=45 :BD CD, 在Rt△ACF中，∠CAF=45°， ∴CF=AC.sin45°=8x √2 =45, 2 :DF=AD-CF=2-42=32 在RtDCF中，由勾股定理得：CD=VCF2+DF2=V42+32=52, .BD =52, 在R△BCD中，由勾股定理得：BC=VBD2+CD=52+5=10, 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=VBC2-AC2=V102-82=6: 31/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 DE∥BC, ∠CBD=LBDE, :LCBD=∠CAD, ∠BDE=∠CAD, :∠BAD=∠CAD, ∠BDE=∠DAB, .·∠BED=∠DEA, ∴△BED∽△DEA, BD ED BE DA EA DE 即5V2_EDBE 7√2EADE AE=2DE、BE=DE, 5 ∴.AE=AB+BE, :2DE=6+DE, > 解得：DE=4 5 【点晴】本题考查圆周角定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形， 熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键， 17.如图，在ABC中，AB=AC,E为BC的中点，以线段AC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作 DG∥BC,交AC于点G,连接EG并延长，交⊙O于点F,连接OF,CF.若OF∥BC,CG=1,则 CF2= B E 【答案】25+5 【分析】连接DE,AF,设LBAC=2Q,BE=x,AC=2r,证明△BDE∽△BCA得出BE=EC=√F,进而 证明AF=AG=AD=2-1,证明BDEBC4,得出r=5+3,在R△AFC中，勾股定理即可求解. 2 【详解】解：如图，连接DE,AF, 32/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B E C 设∠BAC=2a,BE=x,AC=2r AB=AC, ·∠B=LACB DG∥BC, ∠ADG=∠ABC,LAGD=LACB .LADG=∠AGD .AD=AG .BD =CG=1,0G=0C-GC=r-1, :在ABC中，AB=AC,AC为OO的直径 .AE⊥BC,BE=EC, .∠B=∠ACB=90°-a, 又：∠ADE+∠BDE=180°，∠ADE+∠ACB=180° ∠BDE=∠ACB=90°-C ∠BED=180°-∠B-∠BDE=2a :∠DBE=∠CBA,∠BED=∠BAC=2a △BDE∽△BCA BD BE BC AB 即= 2x 2r “x=F,即BE=EC=VF :OF∥BC, .aOGF∽△CGE OG OF CG EC r-1 r 1=万 解得：r=5+3 2 .AC=2r=V5+3 ∠BAC=2a,AB=AC,AE⊥BC, .∠DAE=∠CAE 33/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 又：AD=AG,AE=AE △ADE≌AAGE(SAS .ZAEG ZAED .ZCEG=ZBED 2a .∠EGC=90°-a=∠ECG ..EG=EC 又：∠AGF=∠EGC=90°-a,∠AFE=∠ACE=90°- ∴.LAGF=LAFG .AF =AG=AD =2r-1 :AC是⊙0的直径， ∠AFC=90 .CF2=AC2-AF2=(2r)2-(2r-1)2=4r-1=4× 5+3-1=25+5 2 18.如图，以AB为直径作OO,点C为OO上的点，连接BC,将BC沿射线BA方向平移至AD,连接BD 交OO于点E,连接CE并延长交AD于点F,且BC=CE.若CF=24,连接AE,则△AED的周长为 【答案】161+5+6 +3+3 【分析】连接AC,由圆周角定理可得LACB=LAEB=90°，由等边对等角得出∠CBE=∠CEB,设 ∠CBE=∠CEB=a,则∠DEF=LCEB=a,由平移的性质可得AD=BC,AD∥BC,则 ∠ADE=∠BCE=a,LDAC=∠ACB=9O°，证明出DF=EF,AF=EF,设AF=EF=DF=x,则 BC=CE=24-x,求出BC=AD=CE=16,AF=DF=EF=8,由勾股定理可得AC=162,AB=16V3 ,则ABC的周长=AC+BC+AB=16√2+16+16V3,再证明ABC∽DAE,即可得出结果 【详解】解：如图，连接AC, 34/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :AB为OO的直径， .∠ACB=∠AEB=90°， :BC=CE, .LCBE=∠CEB, 设∠CBE=∠CEB=a,则∠DEF=∠CEB=a, :将BC沿射线BA方向平移至AD, AD=BC,AD∥BC, .∠ADE=∠BCE=a,LDAC=∠ACB=90°， .∠DEF=∠ADE=a, :DF =EF, :∠AED=180°-∠AEB=90°， .∠DAE=90°-∠ADE=90°-a, :∠AEF=90°-∠DEF=90°-a, ∠AEF=∠DAE, :AF EF, 设AF=EF=DF=x,则BC=CE=24-x, .AD BC=24-x, :AF=AD-DF =24-2x, .24-2x=x, x=8, :BC=AD=CE=16,AF=DF=EF=8, :CF=24, AC=CF2-AF2=162, AB=VBC2+AC2=16√5， ABC的周长=AC+BC+AB=16√2+16+16√5， 由圆周角定理可得∠BAC=∠BEC=a, .∠BAC=∠ADE=a, .∠ACB=∠DEA=90°， 35/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ·ABC∽DAE, AD165 AB 16V3 =3 a4D的长为965-1616同=161：9 19.如图，AB为O0的直径，点C在O0上，∠ACB的平分线CD交O0于点D,连接AD,已知 AC=8,CD=7N2,则BC的长为 过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E,则DE的长 B E 【答案】 70 8 【分析】连接BD,过点A作AF⊥CD,先求出CF,AF,DF的长，利用勾股定理求出AD的长，最后再利 用勾股定理求出BC的长；证aCED∽aCDA,根据相似三角形的性质可求出DE的长. 【详解】解：如下图，连接BD,过点A作AF⊥CD,得LAFC=90°， ，:AB为O0的直径， LACB=∠ADB=90°， :CD平分∠ACB, ∠ACD=∠BCD=45°， :AD BD, :△ADB是等腰直角三角形， ∠AFC=90°，∠ACD=45°，AC=8, :CF AF,CF2+AF2 =82, .CF=AF=42, :.DF=CD-CF=7V2-4v2=3V2, AD=VAF2+DF=4+32=52, 36/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 AB=VAD+BD2=52+52=10, BC=√AB2-AC2=V102-82=6; :DE∥AB, ∠ABC=∠DEC, :∠ABC=∠ADC, :ZDEC ZADC, :∠ACD=LBCD,LDEC=∠ADC, △CED∽aCDA, ED CD DA AC ED7√2 52=8 :.DE= 70 20.如图，⊙0是等腰ABC的外接圆，AB=AC=5,BC=6.连接A0并延长交⊙O于点D,∠ABC的 角平分线交AD于点E,交OO于点F,连接AF,则AF的长度为· 0 【答案】55 【分析】连接OB,OC,设AD,BC交于点G,过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M,过点F作 FH14D于点H,勾股定理求得4G=4,证明FA=FE,进而根据扫似三角形的性质求得A证=多， P二氵，再根据勾股定理，即可求解 【详解】解：如图，连接OB,OC,设AD,BC交于点G,过点A作AM∥BC交BF的延长线于点M,过点 F作FH⊥AD于点H, 37/46 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B2--M D :O0是等腰ABC的外接圆， 0B=0C, AB=AC, AD垂直平分BC, BG=CG=BC=3, AG=√AB2-BG2=V52-32=4, :AM∥BC, .∠M=∠FBC, :BF平分∠ABC, LABF=∠FBC, .∠M=∠ABF, .AM AB=5, :AM∥BC, ∴△EBG∽△EMA, AE AM 5 ∴EGBG3' 5 4E-4G-7 设∠ABC=2a,则∠EBG=a, ∠AEF=∠BEG=90°-a, AB=AC,AB=AB, .∠ACB=∠ABC=2a,∠AFB=∠ACB=2a, .∠FAE=180°-∠AFE-∠AEF=180°-2a-(90°-a=90°-a, .∠FAE=∠FEA, :FA=FE, :HF⊥AD, :4H=HE=4E=x2_ 155 2 224 38/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BC⊥AD,AM∥BC, .AM⊥AD, 又：HF⊥AD, .AM∥HF, ∴.△EHF∽△EAM, HF HE 1 AM AE2 :HF=1AM=5 2 在Rt△AHF中，AF=√AH2+HF2 9 【】 类题点拨 判定口诀： 两角对应就相似，两边夹角也成立。 三边比例一样行，直角只需看两腿。 比例口诀： 相等角对应相等边，大小顺序保持一致。 分子分母同属一三角形，交叉相乘方程立。 综合实战演练 模块三 6.如图，以AB为直径的OO与BC相切于点B.连接AC,以AC为边作菱形ACDE,且点B在边CD上， 连接BE,AD,BE与AD交于点F,与O0交于点G.若AO=2√5，AC=I2,则BD的长度为 ,FG的长度为 B D 39/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 【答案】 4 证 【详解】解：如图，连接AG, F G B D :四边形ACDE为菱形， AE∥CD,AE=CD=AC=12, :以AB为直径的OO与BC相切于点B, AB⊥CD, .AB⊥AE, :A0=25, .AB=45 在R△ABC中，BC=VAC2-AB2=122-(45=8, BD=CD-BC=12-8=4, 在Rt△ABE中，BE=VAB2+AE=V4V5+122=44, :AE∥BD, ·△BDF∽△EAF, BF BD 4 1 EF AE12-3' BF 1 BE 4' BF=IBE=1x44=4, 1 4 :AB为O0直径， ∠AGB=90°， :∠ABG=∠EBA,∠AGB=∠EAB, △BAGn△BEA, BG BA BA BE' 即BC4V5 4W54141 40/46 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 解得BG=10W4 7 FG=BG-Br=104-4=3i4 故答案为：4， 3V14 7 7.如图，BC是OO的直径，点A,E均在OO上，AE=AC,过点A作AD⊥BC于点D,连接CE交AD于 点R,交B于点G延长CE与过点B的切线交于点，若4D=2,m∠ABC=分，则8C- HG= H E G D 【答案】 5 【详解】解：：AD⊥BC于点D,BC是⊙O的直径，AD=2, ∠ADC=∠BDA=∠BAC=90°， :∠DAC=LABC, CD AD =tan∠DAC=tan∠ABC=4D=L BD2' :CD=AD=1,BD =2AD=4,, BC=CD+BD=5,AC=VCD2+AD2=VT?+22=√5， AE =AC, .∠ACE=∠AEC=∠ABC=∠DAC, AC CG =coS∠ACE=cos∠DAC=AD AC CG=4C25 :BH与OO相切于点B, BH⊥BC, ∠CBH=90°， ∠HGB=∠AGC=90°-LACE=90°-∠ABC=LHBG, .HB=HG, 41/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :hB+BC=hHc,且iC=iG+, o4c+ 解特心-草 故答案为：5,15 4 8.如图，OO的直径CD=10,弦AB=8,且CD⊥AB于点E,连接AC,以AC,AB为边作平行四边形 ABFC,连接AF,BC交于点K,则AK= E 0 【答案)而 【详解】解：过点A作AM⊥AB于点A,交FC的延长线于点M,连接OB, M:- B D :CD⊥AB,CD是⊙O的直径，AB=8,CD=10, .BE=AE=4,0B=OC=OD=5, 0E=VOB2-BE2=V52-42=3, CE=0E+0C=8, :四边形ABFE是平行四边形， CF=AB=8,CF∥AB, :AM⊥AB,CD⊥AB AM∥CD, :.四边形MCEA是平行四边形， :AM⊥AB, :.四边形MCEA是矩形 42/46 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MC=AE=4,∠M=90°，MF=MC+CF=12, .AF=VAM2+MF2=V82+122=4V13, CF∥AB .△AEKn△FCK, AK AE 41 KF CF 8 2 :AK=1AF=x43=43 1 1+2 3 3 9.如图，AB是O0的直径，点C,E在O0上，过E作O0的切线交AB的延长线于点F,∠CAB=2∠EAB, 过C作CD上AB于点D,交E于点，若BF=1sn∠AFE=专则B=一，DH=一 A 【答案】 8 128 75 【详解】解：连接OE,过点E作EM⊥AB于点M,如图： H 13 D M/B C :EF是OO的切线， .∠0EF=90°， 0A=0E, ∠1=∠2， ∠3=∠1+∠2=2∠1， :∠4=2∠1， ∠3=∠4， 43/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 设OB=OE=x,则0F=OB+BF=x+1, sin∠AFE= 0Ex-4 OFx15 解得：x=4, OF=5,AB=2x=8, ∴.EF=V0F2-0E2=3, “sin∠3=EF-EM OF OE cos∠3=0E-OM OF OE 兴则 54 aw-号.oM 5 4M=A0+0M=4+16-36 55 ∠4=∠3， :c0sL4=cos∠3=5 :AB是直径， .∠ACB=90°， :CD⊥AB, AC=AD 4 ABAC-5' :4C=4D4 8AC5' 4C=32,4D=128 25 :CD⊥AB,EM⊥AB, .DH∥EM, .△ADH∽△AME, DH AD EM AM 128 DH= 25 1236 5 J DH=128 故答案为：8； 128 75 44/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 10.如图，点P是⊙0外一点，PA、PB分别切⊙0于点A、B,连接A0,过点B作BD⊥AO交A0的延长 线于点M,交OO于点D,连接AD,过点B作BC⊥AD于点C,交AM于点H,点N为AH上一点，连 该X、CN.DN,已知∠P+2∠4DN=90,m∠CBD-子若CH=10,则HM=:DY: 13 【答案】 462 【详解】解：连接AB,连接PO交AB于点E,连接BO, :PA、PB分别是OO的切线， PA=PB,OA⊥AP, 又：P0=P0,0B=0A, .△APO≌△BP0SSS, .LAPO=∠BP0, 又：PE=PE,PA=PB, △APE≌△BPE(SAS), :AE BE, OP⊥AB, LEPA+∠PAE=90°， :∠MAB+∠PAE=90°， 1 ∠MAB=∠EPA= 24APB. AM⊥BD, ∴.MB=MD, .BN DN,BA=DA, :△BNM≌△DNM(SSS,△BAM≌DAM(SSS, 45/46 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 :LNBM=∠NDM,∠ABM=∠ADM,LBNM=LDNM,∠BAM=∠DAM, .∠ABN=LADN, 又：∠P+2∠ADN=90,∠MAB=∠EPA=∠APB, ÷∠NB=∠BM+ABN=APB+∠ADN=45, .∠BND=90°， 又：BN=DN, “△BND是等腰直角三角形， :tam∠CBD-3 .在RteBMH中， HM 2 BM=3' BM 13,BM=3v3 313 BHV22+32 13 BH, CD 2 .在Rt△BCD中， BC3' BC BD√22+32 13，BD=13 3313 BC, BD-1 -(BH +HC), :CH=10w13 13 :BD=3 3 BH+103 3BH+ 13 3 又：BM=3 -BH,BD=2BM, 13 3BH+1 3V13 =2× BH, 3 3 13 BH=2V13, BM=6,HM=4,BD=2BM=12, 又：△BND是等腰直角三角形， .DN=6V2. 故答案是：4,62 46/46命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05填空压轴圆相关求解 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01垂径定理相关求解 题型02切线相关求解 题型03内接四边形相关求解 题型04相似三角形相关求解 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、垂径定理相关求解的解题方法： 1标注已知信息，在图上标出所有已知长度，圈出未知量。 2连接半径构造直角三角形，从圆心连接弦的一个端点，得到半径，垂足就是弦的中点。 3.用字母表示未知线段，设半径为R,或设弦心距为d,用含未知数的式子表示其他线段。 4根据勾股定理列方程求解。 二、切线相关求解的解题方法： 1.见切点，连半径。 2.切线长定理找等线段。 3弦切角转化，将切线条件转化为圆周角，从而进行角度的等量代换。 4利用Rt△列勾股方程，切线问题中几乎都有直角三角形，用勾股列方程。 5.遇多切线找圆心角 三、内接四边形相关求解的解题方法： 1.识别四边形四个顶点是否都在圆上 2.标出已知角度，用字母表示未知角度 3.根据对角互补列方程：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 4.解方程求未知角度 四、相似三角形相关求解的解题方法： 1.在两个三角形中各找出一个已知相等角（或直角） 2.这两个角的对边就是对应边 1/10 扇学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 3.再用另一个已知相等角确定第二组对应关系 压轴题型专练 模块二 题型01垂径定理相关求解 1.如图，O0是ABC的外接圆，AB=AC,若⊙0的半径为5，BC=6,则AB= ,以AB、 BC为边作平行四边形ABCD,CD与OO相交于点E,连接AE,过点B作AC的垂线交AC于点F,交 CD于点G,则EG=」 2.如图，⊙O是ABC的外接圆，AE为直径，CO⊥AE于O,记BC与AE的交点为F,BA的延长线与 的切线交于点D,若an∠0AB=),0E=2,则CD=BF E D B 3.如图，AB为OO的直径，点E是AB上一点，点C是OO上的点，四边形ACDE为菱形，CD交OO于 点F,连接EF,若EF⊥AB,AB=4,则OE=· B 4.如图，四边形ABCD内接于圆O,AC为圆O直径，BD、AC交于点E,点B是AC的中点，DG切圆 0于D,交CM延长线于G.若4B=32,点0到DC的距离为N5,则4C=,AG○ 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.如图， ABC内接于O0,D是AC上一点，AD∥BC,连接OA交BC于E,OA平分∠BAD, OF=13 ’BE=V29,则AC= A D B E )类题点拨 1.忽视分类讨论：当弦的位置不确定时（如在圆心的两侧），需要考虑两种情况·例：两平行弦可能在圆 心同侧或异侧 2.混淆弦心距与半径：弦心距是圆心到弦的距离，不是半径 3.平分弦时注意条件：“平分弦”作为条件时，被平分的弦不能是直径 4. 辅助线漏连：不要忘记连接圆心和弦的端点一这是构造直角三角形的关键一步 题型02切线相关求解 6.如图，AB为OO的直径，C、E为OO上的点，连接AC、BC、CE、BE,D为AB延长线上一点， 连接CD,且∠BCD=∠E,AB=CD.若O0的半径为25，则点A到CD的距离为 D B 7.如图所示，OO是ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点M为劣弧AB上一点，作M点关于弦AB的对 3/10 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 称点D,此时点D恰好为直径AE与边BC的交点，BF与OO相切，且与AE延长线交于点F.若 BD:CD=2:3,AB=4V7,AC=6V2,则BC的长为， EF的长为 D M F 8.如图，以AB为直径的OO与AC相切于点A,以AC为边作菱形ACDE,点D,E均在⊙O上，DE与 AB交于点F,连接BC,与O0交于点G,连接DG.若AC=23,则AB的长为，DG的长为 B G D 9.如图，AB、AD分别是OO的两条切线，切点分别为点E、点F,以AB、AD为邻边构造平行四边形 ABCD,CD交OO于点G,当AG⊥DC时，连接BG交OO于点M,连接EG、EM,若 4F=3,BM=25,an∠AGE=了则O0的半径是一，ABCG的面积是 A E B M 1O.如图，在OO中，AB和CD为直径，弧BC等于弧BE,连接DE,过点D的切线DM交BA的延长线于 点M,若00的半径为6,0F=30 侧DE的值为 ,EG的值为 4/10 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●)类题点拨 1.定关系：观察直线和圆，判断是已知交点还是未知交点，从而确定用“连半径”还是"作垂直”。2.找 等角：在图中寻找等角来源，比如半径相等带来的等腰三角形、已知的平行线，或者同弧所对的圆周角。 3.算直角：结合已知角度，算出目标角为90°。一个常用模型是：直径→90°圆周角→与切线产生的角 互余。4.下结论：在答题卡上明确写出”.X是⊙O的切线”。 题型03内接四边形相关求解 11.如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，AC、BD相交于点E,BC是OO的直径，BC的延长线交 O0的切线AF于点F,连接OD与AC交于点G.若OD/AB,AD=4,an∠ABD= =3,则AB= CF AE B 12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB为OO的直径，对角线AC、BD相交于点E, BF∥DC交⊙0于点F,BF、CA的延长线相交于点G,已知∠AED=45°，点E为AC中点，AB=√10， 则BG的长为 5/10 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B G 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A作O0的切线AG,交CD的延长线于点G,连接 A0并延长交CD于点E,若LG=15°，半径0A为2，AE=AD时，则∠B=,CE= D G 14.如图，在圆O的内接四边形ABCD中，AB=BC,AC=AD,点E为四边形ABCD对角线交点，过点 C的切线与B的延长线交于点F,若an∠BCF),AC4,则圆0半径为，4伦三一 D F 15.如图，四边形ABCD是O0的内接四边形，AB是O0的直径，AD=CD,对角线AC、BD相交于点 E,F为B延长线上一点，连接rC,若∠8CP=∠C48,m∠C8D-号，4D4,则8C的长度为— 15 ,CF的长度为 ●)类题点拨 对角互补直接加，外角转移找对角。 对角线分圆周角，直径触发九十度。 四点顺序定对角，莫把邻角当互补 6/10 函学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 题型04相似三角形相关求解 16.如图，BC为⊙0的直径，点A在⊙0上，∠BAC的平分线AD交⊙0于点D,连接CD.已知AC=8, AD=7N2,则AB的长为 ,过点D作DE∥BC,交AB的延长线于点E,则DE的长为 E D 17.如图，在ABC中，AB=AC,E为BC的中点，以线段AC为直径的⊙O交AB于点D，,过点D作 DG∥BC,交AC于点G,连接EG并延长，交⊙O于点F,连接OF,CF.若OF∥BC,CG=1,则 CF2= A O E C 18.如图，以AB为直径作OO,点C为OO上的点，连接BC,将BC沿射线BA方向平移至AD,连接BD 交OO于点E,连接CE并延长交AD于点F,且BC=CE.若CF=24,连接AE,则△AED的周长为 D B 19.如图，AB为OO的直径，点C在OO上，∠ACB的平分线CD交OO于点D,连接AD.己知 AC=8,CD=7V2,则BC的长为 ,过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E,则DE的长 为 7/10 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B 20.如图，O0是等腰ABC的外接圆，AB=AC=5,BC=6,连接A0并延长交⊙0于点D,∠ABC的 角平分线交AD于点E,交⊙O于点F,连接AF,则AF的长度为一· B D 【】 ●)类题点拨 判定口诀： 两角对应就相似，两边夹角也成立。 三边比例一样行，直角只需看两腿。 比例口诀： 相等角对应相等边，大小顺序保持一致。 分子分母同属一三角形，交义相乘方程立。 综合实战演练 模块三 6.如图，以AB为直径的OO与BC相切于点B.连接AC,以AC为边作菱形ACDE,且点B在边CD上， 连接BE,AD,BE与AD交于点F,与O0交于点G.若AO=2√5，AC=12,则BD的长度为 ,FG的长度为 8/10 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 C B D 7.如图，BC是OO的直径，点A,E均在OO上，AE=AC,过点A作AD⊥BC于点D,连接CE交AD于 点五，交AB于点G,延长CE与过点B的切线交于点，若AD=2,an∠ABC=7则BC=一， HG= H G 8.如图，⊙O的直径CD=10,弦AB=8,且CD⊥AB于点E,连接AC,以AC,AB为边作平行四边形 ABFC,连接AF,BC交于点K,则AK= C B E D 9.如图，AB是OO的直径，点C,E在O0上，过E作OO的切线交AB的延长线于点F,∠CAB=2∠EAB, 过C作CD1B于点D,交E于点H,若F=Lsn∠AFE=专，则AB=,DH= 10.如图，点P是O0外一点，PA、PB分别切O0于点A、B,连接A0,过点B作BD⊥AO交A0的延长 线于点M,交⊙O于点D,连接AD,过点B作BC⊥AD于点C,交AM于点H,点N为AH上一点，连 接BN、CN、DN已知∠P+2∠ADN=90°，tan ZCBD=,若CH=10,3,则HM=:DNp 13 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 10/10