第八章 成对数据的统计分析小结课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦成对数据的统计分析，涵盖相关性判断、一元线性回归方程、独立性检验等核心知识点。通过“啤酒与尿布”案例导入，结合知识导图构建知识架构，以题型分类（如相关性判断、回归方程应用）为学习支架，帮助学生从概念理解逐步过渡到实际应用。 其亮点在于案例驱动与核心素养深度融合，通过疾病检查独立性检验、树木材积量估计等实例，培养学生数据分析、数学建模的思维与能力。采用问题链设计与公式推导结合的教学方法，知识导图与题型突破结合的总结方式，助力学生提升用数学语言表达现实世界的能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

1 题型1 相关性的判断 例1 [2024年天津卷] 下列图中，样本相关系数最大的是( ). A A. B. C. D. [解析] 观察4幅图可知，A图的散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归 模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关， 的值相比于其他3幅图的更接近1，故选A. 2 判断相关关系的方法：（1）定义法.（2）散点图法.如果样本点的分布从整体上 看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致 在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.（3）决定系数法.利用决定系数判定， 越接近1，拟合效果越好，相关性越强. 3 题型2 一元线性回归方程及其应用 例2 某项科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 参考公式：样本相关系数，， . 参考数据：，，.若 ，则 ， . 4 [解析] 由题意，得， ， ， ， （1） 根据表中的数据，运用样本相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型 拟合与的关系,并指出与 的关系是正相关还是负相关； 样本相关系数 . 由于，很接近1，故， 的线性相关性很强， 因而可以用线性回归模型拟合与 的关系. 由于，故与 的关系为负相关. （2） 求特征量关于的经验回归方程，并预测当特征量为12时，特征量 的值； [解析] 由（1）知， ， ， 所求的经验回归方程是 . 当特征量为12时，特征量的预测值 . 7 （3） 设特征量，其中 为样本平均数，为样本方差 ，求 . [解析] 由（1）知 ， 由 ， 得 ， . 8 分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来判断.若具有线性相 关关系，则可利用最小二乘法求出经验回归方程，从而进行估计和预测.本题涉及数据 分析、数学建模以及数学运算的核心素养. 9 题型3 成对数据的线性相关性 例3 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的 总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材 积量（单位： ），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得，， 附：样本相关系数， . 10 （1） 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量. [解析] 样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值 ， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值 ， 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，平均一棵的材积量为 . 11 （2） 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ）. [解析] . 12 （3） 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横 截面积总和为 .已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据 求出该林区这种树木的总材积量的估计值. [解析] 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ， 又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 所以，解得 . 故该林区这种树木的总材积量的估计值为 . 13 样本相关系数的绝对值 越接近1，两个变量的相关关系越强；样本相关系数 的绝对值 越接近0，两个变量的相关关系越弱.本题考查了数学运算、逻辑推理的核 心素养. 14 题型4 独立性检验 例4 [2025年全国一卷] 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的 人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表: 患病情况 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 （1） 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求 的估计值； [解析] 根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以 的估计值为 . 15 （2） 根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附:, . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 [解析] 零假设为 超声波检查结果与是否患该疾病无关. 根据表中数据，可得 ， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断 不成立，即认为超声波检查 结果与是否患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 16 利用独立性检验解决实际问题的主要环节：（1）根据抽样数据整理出 列 联表，计算的值，并与临界值 比较；（2）根据检验规则得出推断结论；（3）在 和不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析和 之间的影响规律. 17 样本相关系数 的应用 大家是否知道啤酒与尿布的故事？ 某百货公司在对消费者购物行为分析时发现，每周五的晚上，啤酒与尿布的销售 量呈现正相关关系，也就是每个周五的晚上，尿布和啤酒这两样东西卖得特别好，原 因竟然是年轻父亲会去超市帮婴儿买尿布，并且顺便买啤酒回家，以便周末在家看球 赛时喝，即男性顾客在购买婴儿尿布时，常常会顺便搭配几瓶啤酒来犒劳自己，于是 该百货公司就尝试推出了将啤酒和尿布摆在一起的促销手段.没想到这个举措居然使尿 布和啤酒的销量都大幅增加了.如今，“啤酒 尿布”的数据分析成果早已成了大数据技 术应用的经典案例，被人津津乐道. 18 要想找到啤酒与尿布之间的关联关系，就要对客户手中购物篮中的商品进行统计 分析，寻找直截了当的表示商品之间关联度的量.统计中常用的表示商品关联度的数值 可以统称为值的简称，这个 值作为商品之间相关性的数值统称，可以 是商品同时出现在购物篮的概率，也就是我们学过的样本相关系数. 1. 值的含义 值是衡量商品相关性的重要指标，按照购物篮分析的规律及 值与商品相关性的 对应关系定义可知，若值大于，则可以认为商品具有相当强的相关性，若 值在 之间，则商品具有较强的相关性，若值低于 ，则商品具有弱相关性. 19 2.商品之间的 值大于0.75 在分析购物篮商品相关性时，如果发现商品之间的相关性越强，那么代表商品之 间具有很强的关联关系.但是别高兴太早， 值越大越可能得出无意义的分析结果，因 为此时揭示的可能是卖场司空见惯的东西，比如三文鱼片与绿芥末、热狗面包与热狗、 卷笔刀与铅笔和方便面与火腿肠等经常出现在一起的商品，对于这样的分析结论要尽 早剔除，以免被业务人员所嘲笑.西方有一句名言“不要尝试再去发明车轮”，用在这里 作为某些大的 值的评价是很恰当的. 20 3.商品之间的值在 之间 在购物篮分析行业，将值在 之间的相关性称为“强关联”，很多“强关 联”是临时因素“干扰”造成的，有些“干扰因素”没有意义，有些“干扰因素”有意义，比 如摆放在同一个区域的商品很容易同时出现在购物篮中，这看上去具有很强的相关性， 可一旦促销结束、区域撤销，商品的相关性也会消失，但是这样的临时因素就非常有 意义，可以证明促销组织得非常成功，因此可以用来评估促销效果. 21 4.商品之间的 值在0.25以下 在购物篮分析行业，将 值低于0.25的相关性称为“弱关联”.在很多“弱关联”中，蕴 藏了很多不为人知的商业规律，比如啤酒与尿布这类商品的关联关系，相关关系特征 相当微弱，只有在特定的条件下（比如购买啤酒与尿布的父亲），这些特征才会强化 从而被人发现，所以零售专家认为，“弱关联”最吸引人.在“弱关联”中找出商品之间存 在的关联关系，对于很多数据分析人员来说是个极大的挑战，因此购物篮分析的主要 任务是在“弱关联”的关系中找出商品之间的相关性. 22 5.商品之间的 值为负值 出现负值代表商品从来不出现在同一购物篮中，商品之间的关系是排斥关系.很多 购物篮分析数据不提及值为负值的情况，这是因为 值为负值时，分析难度更大.一般 来说，只有在商品之间的功能相同时， 值为负值才有意义，因此我们称为“同行是冤 家”，这时往往代表商品之间是竞争替代关系. 值背后隐藏的事实是在卖场中存在大量 的商品关联关系，比如油条与豆浆、三文鱼与绿芥末、牛奶与面包等等，这些商品之 间具有较强的关联关系，也有一些商品之间是竞争关系（负关联，即排斥关联），比 如米饭与面食、猪肉与鸡肉，各类面包之间，不同品牌牛奶之间，等等. 23 其实除了“啤酒与尿布”之外，商品之间还存在很多奇特的关联现象，只是这个故 事给我们打开了通往发现真相的大门.我相信，人们对这个经典案例的挖掘还会继续下 去，正如一句老话所说，“经典造就永恒”.我希望，这个小故事能够为在挖掘出数据信 息之后抓耳挠腮、不知何用的同学提供一点点思路.虽然我们还没涉足社会去自己创业， 但是我们可以结合平时的所见所闻所想，再佐以前人的经验，了解样本相关系数在超 市购物中的应用. 24 $