专题04 立体几何初步16大考点（期末真题汇编，广东专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何16个核心考点，汇编广东多地期末真题，通过生活情境（如长方体水槽倾斜、正四棱台水杯饮水）与空间问题结合，实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|70题|空间几何体结构、表面积与体积、线面位置关系等|第1题以水槽倾斜考棱柱结构，第21题结合饮水场景考棱台体积，体现应用价值| |解答题|30题|线面平行垂直证明、空间角计算、截面与动点问题|第50题正方体中点线面平行证明，第87题四棱锥二面角计算，综合考查逻辑推理与空间想象|

专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点 01 空间几何体的结构 考点 02 空间几何体的直观图 考点 03 空间几何体的表面积 考点 04 空间几何体的体积 考点 05 与球有关的切接问题 考点 06 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点 07 证明线面平行 考点 08 证明面面平行 考点 09 证明线线垂直 考点 10 证明线面垂直 考点 11 证明面面垂直 考点 12 异面直线所成的角 考点 13 直线与平面所成的角 考点 14 二面角 考点 15 空间几何体的截面问题 考点 16 空间几何体的动点问题 ( 考点01 空间几何体的结构 ) 1．（2025春•深圳期末）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是　　 A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定 【解答】解：如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度 据图可判断为：棱柱，底面为梯形，三角形等情况， 故选：． 2．（2023春•云浮期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（　　） A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意； 对于，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意； 对于，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意； 对于，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意． 故选：． 3．（2024春•清远期末）下列说法中，正确的是（　　） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，底面是正多边形的棱锥且顶点在底面的射影为底面的中心的棱锥是正棱锥，错误； 对于，一个多面体至少有4个面，正确； 对于，棱柱的定义是有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，错误； 对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，错误． 故选：． 4．（2025春•罗湖区校级期末）下列说法不正确的是（　　） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分 C．三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点 D．四面体的三条侧棱，，两两垂直，则点在平面的射影为△的垂心 【解答】解：，根据棱柱的定义要求“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”； 若仅满足“两个面平行，其他面是平行四边形”，但相邻平行四边形的公共边不平行，则不是棱柱，故选项错误． ，若三个平面均平行，可分为4个部分；若有两个平面相互平行且第三个平面与它们相交，可分为6个部分； 若三个平面相交且交线重合，可分为6个部分；若三个平面两两相交且交线两两平行，可分为7个部分； 若三个平面两两相交且交线交于一点，可分为8个部分，故选项正确． ，例如过正方体同一个顶点的三个表面的交线交于一点，故选项正确． ，设在平面的射影为，连接，，， 由且，，平面，得平面， 又平面，故； 因为平面，平面，故； 因，，平面，得平面， 又平面，故． 同理可得，，，即是△的垂心，故选项正确． 故选：． 5．（2024春•赤坎区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【解答】解：对于，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，错误； 对于，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，错误； 对于，由棱柱的定义知，正确； 对于，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，错误． 故选：． 6．（2024春•湛江期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是　　． 【解答】解：棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形 通过棱柱特征，①②正确． 水面所在四边形的面积， 从图2，图3我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化， 所在四边形的面积是变化的．③不对 棱 始终与平行，与水面始终平行，④正确． 水的体积是不变的，高始终是也不变．底面也不会，即是定值． ⑤正确． 所以正确的是：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． ( 考点02 空间几何体的直观图 ) 7．（2025春•广东期末）如图，水平放置的△的直观图△恰为腰长为2的等腰直角三角形，则△中最长边的长为（　　） A． B．4 C． D．6 【解答】解：根据题意，直观图△中，，，， 那么，在原△中，，， ，故最长的边为6． 故选：． 8．（2024春•越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．，，，则这个平面图形的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：在直观图中，，， ，， 原来的平面图形上底长为1，下底为，高为2， 平面图形的面积为． 故选：． 9．（2025春•湛江期末）正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（　　） A．12 B． C．16 D． 【解答】解：根据题意，直观图为正方形，且其边长为2， 故， 由斜二测画法还原原图形，如图： 则四边形为平行四边形，其中， ， 所以其周长为． 故选：． 10．（2025春•梅州期末）如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（　　） A． B． C．8 D． 【解答】解：根据题意，菱形的边长为2，且， 则， 则原图面积． 故选：． 11．（2025春•潮州期末）如图，△是△用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则△的周长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，直观图△中，，，， 易得， 由斜二测画法还原原图，作出△，如下图所示： 其中，，， 由勾股定理可得， 故△的周长为． 故选：． 12．（2024春•广东期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（　　） A． B．2 C． D． 【解答】解：在直角梯形中，，，， 显然，于是， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， ，，，， 所以该平面图形的高为． 故选：． 13．（2025春•云浮期末）如图所示，一个水平放置的△的斜二测直观图是△，若，，则△的面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题可得：△中，，，且即为△的边上的高， 所以△的面积是：． 故选：． ( 考点0 3 空间几何体的表面积 ) 14．（2022春•汕头期末）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设球的半径为，圆柱的底面所在的圆的半径为， 则． 所以圆柱的表面积． 故选：． 15．（2024春•珠海期末）已知一个圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则此圆锥的表面积为 　　． 【解答】解：一个圆锥的轴截面为边长为2的正三角形， 可得：底面半径，母线长为2． 此圆锥的表面积． 故答案为：． 16．（2023春•信宜市期末）如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积． 【解答】解：连接，交于点，取的中点，连接，，， （1）， ， ； （2），， ， ， ， ． 17．（2024春•韶关校级期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为2， 以该等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴， 两条直角边旋转一周得到的几何体为两个底面半径，高为的圆锥， 则圆锥的母线长， 将底面重合后形成的组合体， 其表面积为． 故选：． 18．（2024春•汕头期末）将一个底面边长为，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 　　． 【解答】解：由题意可知，当球与正四棱锥的五个面都相切时，球的表面积最大， 因为正四棱锥的底面边长为，高为 所以正四棱锥的侧面底边上的高为， 设球的半径为， 则正四棱锥的体积为， 解得， 所以球的表面积为． 故答案为：． 19．（2025春•潮州期末）已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5， 可设圆台的上底面半径为，则下底面半径为，高为．母线长为5， 在如图所示的圆台轴截面中，，，， 过点作于点， 所以有， 有，解得． 所以圆台的侧面积． 故选：． ( 考点0 4 空间几何体的体积 ) 20．（2025春•龙岗区校级期末）一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为（器皿厚度忽略不计）．现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为圆台形状的上、下底面半径分别为和，高为， 又将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，溶液高度恰为， 所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积． 故选：． 21．（2025秋•梅州期末）小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水．若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】解：由已知可得，水杯的体积为， 因为，所以小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是7． 故选：． 22．（2025秋•荔湾区校级期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为 ． 【解答】解：因为正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为， 所以棱台的高为， 所以棱台的体积． 故答案为：． 23．（2025春•深圳期末）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为是正四棱台，，， 侧面以及对角面为等腰梯形， 故，， ， 所以， 所以该四棱台的体积为． 故选：． 24．（2025春•广州期末）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（　　） A．28 B． C． D． 【解答】解：因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3， 所以该正四棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为． 故选：． 25．（2025秋•肇庆期末）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，侧面积为，则该圆台的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意圆台的上、下底面的面积分别为和，侧面积为， 可设圆台的上、下底面半径分别为，，则解得 设圆台的母线长为，则，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积． 故选：． 26．（2025春•茂名期末）已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半， 可设圆锥的高为，母线长为，则底面半径， 则底面积，侧面积，解得， 易知，所以体积． 故选：． 27．（2025春•龙岗区校级期末）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若△的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为，即，取的中点，连接、， 由于圆锥的底面半径为，即，而， 所以， 同时， △中，，为的中点，则有， 又由△的面积等于，即， 变形可得，而， 则有，解得， 所以该圆锥的体积为． 故选：． ( 考点0 5 与球有关的切接问题 ) 28．（2025秋•深圳期末）在四面体中，，，两两垂直，且，，，若，，，均在球的球面上，则的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为在四面体中，，，两两垂直，且，，， 所以四面体的外接球即为长宽高分别为3，4，5的长方体的外接球， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为． 故选：． 29．（2019春•荔湾区校级期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　） A． B． C． D．都不对 【解答】解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：， 所以这个球的表面积是：． 故选：． 30．（2024秋•潮州期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可将该正四面体放置到棱长为的正方体中， 则该正四面体的外接球的直径等于该正方体的体对角线长， ， 该正四面体的外接球的表面积为． 故选：． 31．（2025秋•广州期末）已知三棱锥，面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 【解答】解：面，面， ， 面 面 取的中点，则，为球心 ， 球半径为 该三棱锥的外接球的表面积为 故答案为：． 32．（2024春•东莞市期末）棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：棱长为的正方体，设其外接球半径为， ，解得， ． 故选：． 33．（2025春•深圳期末）若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为半径为的球与正六棱柱的各个面均相切， 所以正六棱柱的高为，且底面正六边形的内切圆半径为，如图所示： 所以底面正六边形的外接圆半径， 所以该正六棱柱外接球半径为， 所以外接球的表面积为． 故选：． 34．（2025秋•肇庆期末）在三棱锥中，，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取的中点，连接，， 因为，， 所以，， 所以就是平面与平面的夹角， 因为平面与平面夹角的余弦值为， 设，则， 则， 即， 解得， 所以，即， 同理，，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：． 35．（2025秋•广东校级期末）如图所示，四边形为正方形，将△绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设正方形的边长为，则， 取中点，连接，，如图， 则，又， 所以△为正三角形， 因为，，，，平面， 所以平面， 因为， 所以三棱锥的体积， 解得， 因为△与△均为直角三角形，且为斜边，为中点， 所以为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径， 则该三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 36．（2025秋•汕头期末）正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球体积为 ． 【解答】解：由题意得正△外接圆半径， 因为正三棱柱的高为3， 所以正三棱柱外接球球心到平面的距离， 所以该外接球半径， 所以所求外接球体积． 故答案为：． 37．（2025春•龙岗区校级期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”， ，，则该“刍童”外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意作出示意图如下： 如设，， 根据题意易知该“刍童”外接球的球心在线段所在直线上， 设外接球球心为，又易知，，，，， 所以， 球心不可能在线段之间，其位于的延长线上， 如图所示： 由，得，解得，故， 所以外接球表面积为． 故选：． 38．（2024秋•龙岗区校级期末）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，△是正三角形，，则该球的表面积是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设△的外接圆圆心为，过点作平面， 设三棱锥外接球球心为，半径为， 平面，平面， ，连接、、， △是正三角形，， ， ，，， ， 该球的表面积． 故选：． 39．（2025秋•广东期末）已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：分别取△、△的中心，，连接，过作， 因为，由正弦定理得，得， 同理可得， 由题意， 设正三棱台的外接球球心为，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上， 设外接球的半径为， 所以，，， 即，， 当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，解得； 当在的延长线上时，可得，无解， 所以正三棱台的外接球表面积为． 故选：． ( 考点0 6 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 40．（2023春•惠州期末）若空间三条直线、、满足，，则直线与（　　） A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 【解答】解：根据直线平行的性质可知， 若，，则垂直， 与可能相交，也可能异面， 正确． 故选：． 41．（2024春•韶关校级期末）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（　　） A．若直线，与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，，，，且直线，异面，则 【解答】解：若直线，与平面所成角相等，则与相交、平行或异面，选项错误； 若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则与平行或相交，选项错误； 若上有两个不同点到平面的距离相等，则与平行或相交，选项错误； 若，，，，且直线，异面，则，选项正确． 故选：． 42．（2025秋•汕头期末）已知、是异面直线，设平面满足，且，则这样的（　　） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 【解答】解：已知、是异面直线，设平面满足，且， 在上任取一点作的平行线，因，则经过，的平面只有1个，设为． 则，又，，， 则，从而，即这样的平面有且只有一个． 故选：． 43．（2025春•汕头校级期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解答】解：若，，则或与异面，故错误； 若，，则或，故错误； 若，，则或，故错误； 若，过作平面交于，则， 又，则，可得，故正确． 故选：． 44．（2025秋•揭东区校级期末）设，是两个不同平面，，是平面内的两条不同直线．甲：，，乙：，则（　　） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【解答】解：因为，是两个不同平面，，是平面内的两条不同直线．甲：，，乙：， 则由，，，是平面内的两条不同直线，得不到， 因为与可能相交，只要，和，的交线平行即可得到，； 反过来，若，，是平面内的两条不同直线，则，和没有公共点， 所以由能得到，， 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：． 45．（2025春•深圳期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【解答】解：若，，根据线面垂直的性质可知，所以选项正确； 若，，，则与可能平行、相交或异面，所以选项错误； 若，，则或，所以选项错误； 若，，，，当时，与可能相交， 根据面面平行的判定定理，需与相交时才有，所以选项错误． 故选：． 46．（2025春•广州期末）设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解答】解：对选项，由，可得或与相交或，故选项错误； 对选项，由，可得或与相交或，故选项错误； 对选项，若，，则或，故选项错误； 对选项，若，，则，故选项正确． 故选：． 47．（2025春•汕头期末）已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【解答】解：，是两条不同的直线，、是两个不同的平面， 对于，如图三棱柱中，，平面，平面， 但是平面与平面相交，故错误； 对于，如图在长方体中，，平面， 平面，但平面与平面相交，故错误； 对于，若，，，则，正确； 对于，若，，，则或者，异面，故错误． 故选：． ( 考点0 7 证明线面平行 ) 48．（2025秋•揭阳期末）过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（　　） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 【解答】解：如图所示： 在平面的同一侧，，，，由题意易证得平面平面， 则这四个点中任意两点的连线平行于平面，有种， 另一侧也有6种，共12种． 故选：． 49．（2025春•汕尾期末）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：． 【解答】证明：（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为为的中点，的中点为，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）连接， 因为为正方体，所以， 故△为等腰三角形． 因为为的中点， 所以． 50．（2025春•茂名期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 【解答】（1）证明：连接，设与的交点为，连接， 在直三棱柱中，侧面为矩形， 故是的中点， 又是的中点，可得， 因为平面，平面， 所以平面； （2）解：由（1）知，故直线与所成的角等于与所成的角（或其补角）， 只需在平面图形中求的余弦值， 直三棱柱底面△中，，为中点， 所以， 是△的中位线，， 故， 侧面为矩形，是中点， 在△中，， 故， 则， 在△中，由余弦定理：， 故直线与直线所成角的余弦值为． 51．（2025春•佛山期末）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点． （1）求证：平面； （2）若，证明：底面为菱形． 【解答】证明：（1）连接，设，连接， 因为四边形为平行四边形， 所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）在直四棱柱中，可得平面，平面， 所以， 又因为，， 所以平面， 平面， 所以，又因为四边形为平行四边形， 可证得四边形为菱形． 52．（2025春•深圳期末）如图，在三棱柱中，平面平面，，点为中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：连接，交于点，连接， 四边形为平行四边形，为中点， 又点为中点，， 平面，平面，平面； （2）解：，点为中点，， 又平面平面，平面平面，， 又平面，平面， 取的中点为，连接，，如图所示． 由题意，，则， 由平面，平面，得， ，且，平面，平面， 直线与平面所成角即为，平面，， 设，则，， 在△中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． 53．（2024春•广东期末）在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：取的中点，连接，，则，且， 又且，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）由，，得， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由，，， 得， 所以，，， 得，则， 所以． 又， 设到平面的距离为，直线与平面的所成角为， 则， 所以，解得， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． ( 考点0 8 证明面面平行 ) 54．（2024春•广东期末）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面的交线为，求证：． 【解答】证明：（1）取的中点，连接，， 是直四棱柱， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面． （2）且，且， 且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 由（1）得平面， ，、平面， 平面平面． （3）由（2）得， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ． 55．（2021春•江门期末）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点． （1）求证：平面； （2）设为的中点，为的重心，求证：面平面． 【解答】解：（1）是圆的直径，， 又平面，平面，． ，平面； （2）取延长，交于，连结、， 为的重心，是的中线， 为的中点，为的中点，， 平面，平面，平面， 同理可得平面， 、是平面内的相交直线，平面平面． ( 考点0 9 证明线线垂直 ) 56．（2025春•佛山期末）如图，梯形中，，，，，将△沿翻折至△，其中为动点． （1）当平面平面时， 求证：； 求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解答】解：（1）证明：梯形中，，，， ，， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， ，可知， ，．， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面， ； ，，，，平面， 平面， 点到平面的距离为； （2）取的中点，的中点，连接，， 可知， 由（1）知，， 设点在平面上的射影为，则由，， 可得△△，从而， 在直线上， 设直线由平面所成的角为， 则， 可知分别在左右对称位置时，长度相同， 而当在右侧时，较长，此时较小， 因此只需考虑在上或在左侧的情况， 过作，则， 设，则，， ，， ， ， ． 设，，，则， ， ， ，当且仅当，即时，取等号， ， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 57．（2024春•广州期末）如图，是半球的直径，是半球底面圆周上一点，是半球面上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：因为为半球的直径，为半球底面圆周上一点， 所以， 因为，，、平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 又因为为半球面上一点， 所以， 又因为，，平面 所以平面，又平面， 所以； （2）因为三角形为直角三角形，， 所以， 又因为，平面， 所以， 又因为三角形也是直角三角形， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 则有， 即， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则． 58．（2024春•湛江期末）如图，平面，底面为矩形，于点，于点． （1）求证：平面； （2）设平面交于点，求证：． 【解答】证明：（1）四边形为矩形，， 平面，平面， ， 又，平面，平面， 平面， 又平面， ， 又，，平面，平面， 平面； （2）平面， ， 又，，平面，平面， 平面， 为矩形，， 平面，， 平面，， 平面， ， 平面， ． 59．（2023春•江城区校级期末）在四面体中，点为的垂心，且平面． （1）若，求证：； （2）若，证明：． 【解答】证明：（1）如图1，连接，并延长交于，连接， 点为的垂心，， 平面，面，， 又，、面，面， 面，， 又，，面， 面，． （2）如图2，取的中，连接，， 由（1）可得， 又，所以， 又， 面， 又面，， 在中，因为为中点，， ． 60．（2021春•阳江期末）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 【解答】解：（1）因为是长方体，所以平面，而平面，所以， 因为是长方体，且，所以是正方形，所以，又． 所以平面，又因为点，分别在棱，上，所以平面， 所以． （2）取上靠近的三等分点，连接，，，． 因为点在，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以，且， 又因为在上，且，所以，且， 所以为平行四边形， 所以，，即，， 所以为平行四边形， 所以， 所以，所以，，，四点共面． 所以点在平面内． ( 考点 10 证明线面垂直 ) 61．（2025春•广州期末）如图，已知三棱台中，平面平面、△是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． （1）证明：平面； （2）若的中点为，求直线与平面所成角的大小． 【解答】（1）证明：在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 在△中，由余弦定理得， 可得，即， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2）解：过作，垂足为， 因为平面， 又因为平面，所以， 又因为，，，平面，所以平面， 平面，得， 又因为，，平面，所以平面， 可得为与平面所在角， 由等面积法可得， 即， 解得， 由于点是直角△斜边的中点， 所以， 所以， 因为为锐角，所以， 所以与平面所成角为． 62．（2024春•湛江期末）如图，平面，底面为矩形，于点，于点． （1）求证：平面； （2）设平面交于点，求证：． 【解答】证明：（1）四边形为矩形，， 平面，平面， ， 又，平面，平面， 平面， 又平面， ， 又，，平面，平面， 平面； （2）平面， ， 又，，平面，平面， 平面， 为矩形，， 平面，， 平面，， 平面， ， 平面， ． 63．（2021春•湛江期末）如图，是等边三角形，平面，，，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 【解答】证明：（1）如图，取的中点，连接，． 因为，， 所以，． 又因为，， 所以，，四边形为平行四边形 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，所以． 又因为是等边三角形，是的中点，所以． 因为，所以平面． 由（1）知， 所以平面，从而． 因为，为的中点，所以． 又，所以平面． 64．（2025春•广州期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若侧面底面，求证：平面． 【解答】证明：（1）取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 且， 底面为矩形，是的中点， 所以，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， 所以平面； （2）底面为矩形，故， 侧面底面，侧面底面， 所以平面， 因为平面，所以， 侧面是正三角形，为的中点， 所以， 因为， 所以平面． 65．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解答】证明：（Ⅰ）在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且， 平面， （Ⅱ）根据（Ⅰ）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． ( 考点 11 证明面面垂直 ) 66．（2023春•云浮期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． 【解答】解：（1）证明：取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且， 又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面． 67．（2024春•东莞市期末）如图1，是边长为3的等边三角形，点，分别在线段，上，且，，沿将翻折到的位置，使得，如图2． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：，，， 可得，， 因为， 所以， 在中，，由余弦定理可得：， 可得， 可得，在图2中，可得， 又， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）解：存在点为的三等分点，靠近点， 取的三等分点，靠近点， 连接，， 因为点为靠近点的三等分点， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 而， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面． 即． 68．（2025春•广州期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 【解答】证明：（1）由正四棱柱性质可得：，， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面，； 又因为，，平面，所以平面平面； （2）连接，由正四棱柱可知，平面，因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，又因为， ，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． 69．（2024春•汕尾期末）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 【解答】解：（1）证明：设，可得， 在直角三角形中，， 所以是等腰三角形， 又是的中点，可得， 由平面，， 是斜线在平面上的射影， 由三垂线定理可得， 由于是的中位线，可得， 所以， 又，所以平面， 又平面， 可得平面平面； （2）取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，平面，可得平面， 又，，可得， 因为是斜线在平面上的射影， 由三垂线定理可得， 所以是二面角的平面角， 二面角的平面角与互补． 在中，，，， 可得， 在直角三角形中，，， 可得， 即有， 则二面角的大小为． 70．（2024春•潮州期末）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，． （1）求证：平面平面； （2）求四面体的体积． 【解答】解：（1）由题意，，可得，平面， 平面平面， 所以平面， 又平面，则， 在正方形中，， 又，平面，平面，则平面． 平面，所以平面平面． （2）因为平面，平面平面， ，所以平面， 又， 故，，， 所以． ( 考点 12 异面直线所成的角 ) 71．（2025春•罗湖区校级期末）在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接，， 因为长方体中，， 所以（或其补角）即为和所成角， 因为，， 所以由勾股定理得：，， 所以． 故选：． 72．（2023春•清远期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：连接，，设，则是，的中点，连接， 由于是的中点，所以， 则为异面直线与所成的角， ， 由于平面，所以平面， 而平面，所以， 则． 故选：． 73．（2023春•汕尾期末）在正三棱柱中，为棱的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D． 【解答】解：取的中点，的中点，连接，，，， 则，， 因为为棱的中点，为的中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为直线与直线所成角或其补角， 因为在正三棱柱中，， 所以，， 在△中，由余弦定理得 ， 所以直线与直线所成角的余弦值为0， 故选：． 74．（2024春•赤坎区校级期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，为的中点， 如图，取的中点，连接，， 因为底面是边长为2的正方形，是的中点，所以，且， 所以异面直线与所成的角为， 四棱锥的侧棱相等且为4，在中，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 75．（2024春•云浮期末）在长方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接，在长方体中，可得平面， 可得， 所以与平面所成的角为， 因为， 所以与所成的角为， 所以． 故选：． 76．（2024春•东莞市期末）已知三棱锥，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：取，，，的中点，，，， 可得，，， 因为，设，则， 因为， 且，， 所以与所成的角等于异面直线与所成的角， 则或补角为与所成的角， 因为平面，平面， 所以，又因为， ， 所以平面，而平面， 所以， 且， 则，可得， 平面，平面， 可得，，， 可得，， 在△中，由余弦定理可得：． 故选：． 77．（2025春•广州期末）在正方体中，为的中点，则直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 连接，，， 由正方体知，，所以直线与所成角为或其补角， 不妨设正方体棱长为2， 在△中，，，，则， 所以，所以，所以，即直线与所成角为． 故选：． 78．（2023春•珠海期末）在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（　　） A．0 B． C． D． 【解答】解：如图，取的中点，连接，，， 在正方体中，，分别为，的中点， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为2， 则， ， ， 在△中，由余弦定理得： ， 故异面直线与所成角的余弦值是． 故选：． 79．（2024春•潮州期末）已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（　　） A． B． C． D．90 【解答】解：如图，取中点，连接，， 因为，分别是，的中点，所以，， 所以为与所成角，且，， 因为，所以，即△为直角三角形， 所以，所以． 故选：． ( 考点 13 直线与平面所成的角 ) 80．（2025春•潮州期末）二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是　　 ． 【解答】解：过作于，过作于，连接， 则为与平面所成的角， 因为，所以， 因为，所以平面， 因为平面， 所以， 所以为二面角的平面角，则， 设，则， 因为， 所以， 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为． 故答案为：． 81．（2025春•东莞市期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【解答】解：（1）证明：如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因为是的中点，故得， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且，为对角线，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为， 因为在△中，， 则， 故， 即直线与平面所成角的大小为． 82．（2025春•佛山期末）如图，梯形中，，，，，将△沿翻折至△，其中为动点． （1）当平面平面时， 求证：； 求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解答】解：（1）证明：梯形中，，，， ，， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， ，可知， ，．， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面， ； ，，，，平面， 平面， 点到平面的距离为； （2）取的中点，的中点，连接，， 可知， 由（1）知，， 设点在平面上的射影为，则由，， 可得△△，从而， 在直线上， 设直线由平面所成的角为， 则， 可知分别在左右对称位置时，长度相同， 而当在右侧时，较长，此时较小， 因此只需考虑在上或在左侧的情况， 过作，则， 设，则，， ，， ， ， ． 设，，，则， ， ， ，当且仅当，即时，取等号， ， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 83．（2024春•云浮期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 【解答】解：（1）证明：因为平面，平面， 所以， 连接，，由，且， 所以四边形为平行四边形． 又，，所以平行四边形为正方形， 则． 又，所以， 又，，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以， 由（1）知平面，所以平面， 则就是直线与平面所成的角， 设，则， 所以． 在直角中，， 所以， 所以． ( 考点 14 二面角 ) 84．（2025春•清远期末）已知正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则下列结论不正确的是（　　） A．正四棱锥的底面边长为16 B．正四棱锥的高为6 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的表面积为576 【解答】解：如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，， 则平面，， 则为侧面与底面所成的锐二面角，则， 设底面边长为．则． 在△中，， ， 解得，故底面边长为16，故正确； 正四棱锥的高，故正确； 体积，故不正确； 表面积为，故正确． 故选：． 85．（2025春•潮阳区校级期末）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：因为是底面圆的一条直径，是下底面圆周上异于，的动点， 所以， 又因为是圆柱的一条母线，所以底面， 因为底面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． （2）如图所示，过点作圆柱的母线，连接，． 因为底面底面，所以即求平面与平面的夹角． 因为，在底面的射影为，，且为下底面圆的直径， 所以为上底面圆的直径， 因为是圆柱的母线，所以平面， 因为平面，所以． 又因为为上底面圆的直径，所以， 因为，平面，， 所以平面， 因为平面，所以，又因为平面平面， 所以为平面与平面的夹角， 又因为在底面的射影为，所以，， 所以，又因为母线长为，所以， 又因为平面，平面， 所以， 所以， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 86．（2025春•茂名期末）如图，在梯形中，，，，把△沿翻折，使得二面角 的大小为，，分别是和中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求． 【解答】解：（1）证明：如图： 图1中，因为，，． 四边形为正方形，所以． 把△沿翻折，如图2：则，， 又，平面，， 所以平面． 又平面， 所以平面平面． （2）因为，， 所以即为二面角的平面角． 所以． 过点作于． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又，所以． 所以． 在△中，，， 所以． 又， 所以． 设到平面的距离为， 则， 所以， 解得． 即到平面的距离为． （3）因为， 所以 ． 又因为， 所以， 即， 所以， 解得． 87．（2025春•梅州期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）当为线段的中点时， 求证：平面； 求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）（ⅰ）证明：底面，平面，， 又底面为正方形，， 又，，平面， 平面， 平面，， 又，为线段的中点，， 又，，平面， 平面； （ⅱ）如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接， 为△的中位线，， 底面，平面， 平面，， ，，，平面， 平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则，， 由△△， 可得，即， 解得， 在直角△中，， ． 二面角的余弦值为； （2）如图，连接，交于点，连接， 假设在线段上存在点，使得平面， 平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可知， 在△中，有， △△，， 则， 假设成立，即在上存在点，使得平面，此时． 88．（2025春•河源期末）如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 【解答】（1）证明：由直三棱柱的性质知平面， 因为平面，所以， 由，知， 又、平面，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面． （2）解：由（1）知，平面， 因为平面，所以， 又，所以是二面角的平面角， 在△中，， 在△中，， 所以， 故二面角的大小为． 89．（2024春•汕头期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点． （1）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）垂直于所在的平面，又是的直径， ，根据三垂线定理可得，又， 平面， 二面角的平面角为，且直线与平面所成角为， 又，，又，， ，， ， 直线与平面所成角的正弦值为； （2）在线段上存在点，使得平面，且，理由如下： 取的靠近的三等分点，过作，且， 则，且， 又是的中点，为中点，，又， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面， 故在线段上存在点，使得平面，且． ( 考点 15 空间几何体的截面问题 ) 90．（2024春•珠海期末）如图：正方体的棱长为2，为的中点，过点作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，取，中点，，连接，，，， 如图： 四边形为平行四边形，， 四边形为平行四边形，， 即为过点长方体截面， 证明如下： ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 又，平面平面， 则截面的面积． 故选：． 91．（2025春•湛江期末）如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法错误的是（　　） A．直线，共面 B． C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点，，的平面截正方体的截面面积为9 【解答】解：对选项，易知，直线，共面，选项正确； 对选项，，选项正确； 对选项，平面， 直线与平面所成角为， 又，选项正确； 对选项，， 过点，，的平面截正方体的截面为等腰梯形， 又，，， 等腰梯形的面积为，选项错误． 故选：． 92．（2025春•汕尾期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则　　 A．动点的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最小值为 【解答】解：选项：如图分别取，的中点，，连接，，，， 由正方体的性质可得，平面，平面， 因此平面，同理可得平面， 且，，平面，因此平面， 而平面，因此平面，因此点的轨迹为线段，又，故选项正确； 选项：由正方体的结构特征易知且△为等边三角形， 因此直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 因此直线与的夹角的余弦值为，故选项错误； 选项：由选项知，点的轨迹为线段， 因为平面，因此点到平面的距离为定值， 同时△的面积也为定值，因此三棱锥的体积为定值，故选项正确； 选项：如图，设平面与平面交于，在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，因此，同理， 因此截面为平行四边形，因此点为的中点． 因为为截面上一点，因此线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 因此， ，设到平面的距离为， 因为，因此， 因此，解得， 因此线段长度最小值为，故选项正确． 故选：． 93．（2024春•清远期末）已知正方体的棱长为4，为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，设的中点为， 连接，，，，， 则根据正方体的性质易知平面， 在平面内的射影为， 又为棱的中点，的中点为， 易得， 根据三垂线定理可得， 同理可得，又， 平面， 平面截正方体所得的截面即为△， 又易知，，可得， 可得， 平面截正方体所得的截面面积． 故选：． 94．（2025春•广州期末）（多选）已知正方体的棱长为2，，，分别是棱，，的中点，下列结论正确的是　　 A． B．直线与直线所成角为 C．三棱锥的体积为 D．过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 【解答】解：对于选项，如图，取的中点为，连接，，， 因为，分别是棱，的中点， 所以，， 易知平面，， 所以平面，，又平面， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以，所以选项正确； 对于选项，因为，分别是棱，的中点，所以， 又，所以就是直线与直线所成角或其补角， 易知△是等边三角形，所以， 所以直线与直线所成角为，所以选项错误； 对于选项，在上取点，使得，连接，易证， 所以三棱锥的体积为 ，所以选项正确； 对于，截面是平面与几何体表面的交线围成的图形． 如上图所示，过，，三点的平面截该正方体所得的截面应为五边形，所以选项错误． 故选：． ( 考点 16 空间几何体的动点问题 ) 95．（2024春•茂名期末）在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．若，则（　　） A．1 B． C． D．3 【解答】解：因为，为线段的中点， 所以， 且， 因为平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 平面，， 所以平面， 因为平面， 所以， 因为， 所以平面， 因为平面， 所以， 在△中，， 可得． 故选：． 96．（2025春•广州期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1，的中点为，上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（　　） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．△的面积与△的面积相等 【解答】解：对于，点为的中点，所以，由正三棱柱有，平面平面， 又平面平面，平面， 又平面，所以，故正确； 对于：由平面，所以为点到平面的距离，又，， 所以，， 所以，故正确； 对于：由正三棱柱，平面平面，又平面， 所以平面，故正确； 对于：取的中点为，连接，，， 由，，所以， ，， 所以，故错误． 故选：． 97．（2025春•汕头校级期末）（多选）已知正方体的棱长为2，是正方形的中心，是棱（包含顶点）上的动点，则以下结论正确的是　　 A．的最小值为 B．不存在点，使与所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 【解答】解：对于，要使的值最小，即要使得到直线距离最小，这最小距离就是到直线的中点距离， 因为正方体的棱长为2， 所以在直角三角形中，，故正确； 对于：对于，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成角， 即为（或其补角）为与所成角， 因为， 由在线段上存在点，使， 所以， 由， 故存在点，使与所成角等于，故不正确； 对于，取中点，连接，则平面， 作，连接， 所以为二面角的平面角， ， 由在线段上存在点，使， 所以二面角正切值的取值范围为，故正确； 对选项，如图，取的中点， 则三棱锥的外接球的球心在线段上， 设外接球的半径为，则， 由勾股定理可得， 解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故正确． 故选：． 98．（2024春•广东期末）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：正方体的棱长为2，是棱的中点，空间中的动点满足，且， 如图，分别取，的中点，，连接，，． 由题意知，，且， 平面，由，得点在平面内， 由，得点在以为球心，半径为1的球面上， 动点的轨迹为平面与球的球面的交线，即在平面内的圆， 连接，设点到平面的距离为，平面截球所得截面圆的半径为， 则由， 得，且， ，则， 动点的轨迹长度为． 故选：． 99．（2025春•广州期末）（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则　　 A．平面 B．直线与底面所成的角为 C．正三棱台的外接球体积为 D．若点为底面的动点，且，则的轨迹长度为 【解答】解：设三棱台上下底面中心分别为，， 连接，，，，， 上下底面均为正三角形，则． 已知侧棱长，由正三棱台性质可知，上下底面， 直角梯形中，， 选项，假设平面，而平面， 则平面平面， 与正三棱台的两个侧面不垂直矛盾，因此不垂直于平面，选项错误； 选项，直线与底面的角为与投影的夹角， 根据前面计算可知，， 在△中，，所以，选项对； 选项，设正三棱台的外接球的球心为，半径为， 设，则． 由，，． 在直角梯形中，， 则，， 即，， 所以外接球体积，选项对； 选项，因为，． 交线圆半径，圆心为在底面的投影， 底面为正三角形，交线圆与边、相交，形成圆心角为的弧， 弧长，选项对． 故选：． 100．（2025春•深圳期末）（多选）已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则　　 A．四面体的体积为定值 B．存在点，使平面 C．二面角的正切值为 D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为 【解答】解：对于选项，在正方体中，，，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平面，且平面， 平面， 为上一动点， ， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故选项正确； 对于选项，当为中点时，平面，证明如下： 取的中点，的中点，连接，，，，，， ，分别为，中点，， 平面，平面，平面，， ，分别为，中点，， 在正方形中，，， ，，平面， 平面，平面，， ，分别为，中点，， 平面，平面，平面， ， ，分别为，中点，， 在正方形中，，， ，，平面，平面， 平面，， ，，平面， 平面， 即存在点，使平面，故选项正确； 对于选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形△中，，，， ， ， 在△中，，，， ， ， ， ， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故选项错误； 对于选项，取的中点，连接，，， 在直角三角形△中，， 又由选项中可知，平面，平面， ， ，，， 为四面体的外接球的球心， 外接球半径为， 外接球的表面积为，故选项正确． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点 01 空间几何体的结构 考点 02 空间几何体的直观图 考点 03 空间几何体的表面积 考点 04 空间几何体的体积 考点 05 与球有关的切接问题 考点 06 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点 07 证明线面平行 考点 08 证明面面平行 考点 09 证明线线垂直 考点 10 证明线面垂直 考点 11 证明面面垂直 考点 12 异面直线所成的角 考点 13 直线与平面所成的角 考点 14 二面角 考点 15 空间几何体的截面问题 考点 16 空间几何体的动点问题 考点01 空间几何体的结构 1．（2025春•深圳期末）如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是　　 A．棱柱 B．棱台 C．棱柱与棱锥的组合体 D．不能确定 2．（2023春•云浮期末）一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（　　） A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥 3．（2024春•清远期末）下列说法中，正确的是（　　） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．一个多面体至少有4个面 C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 4．（2025春•罗湖区校级期末）下列说法不正确的是（　　） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分 C．三个平面两两相交，三条交线可能相交于同一点 D．四面体的三条侧棱，，两两垂直，则点在平面的射影为△的垂心 5．（2024春•赤坎区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 6．（2024春•湛江期末）如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终呈棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是　　． 7．（2025春•广东期末）如图，水平放置的△的直观图△恰为腰长为2的等腰直角三角形，则△中最长边的长为（　　） 考点02 空间几何体的直观图 A． B．4 C． D．6 8．（2024春•越秀区校级期末）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．，，，则这个平面图形的面积为　　 A． B． C． D． 9．（2025春•湛江期末）正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（　　） A．12 B． C．16 D． 10．（2025春•梅州期末）如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（　　） A． B． C．8 D． 11．（2025春•潮州期末）如图，△是△用“斜二测画法”画出的直观图，，，，则△的周长是（　　） A． B． C． D． 12．（2024春•广东期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（　　） A． B．2 C． D． 13．（2025春•云浮期末）如图所示，一个水平放置的△的斜二测直观图是△，若，，则△的面积是（　　） A． B． C． D． 考点03 空间几何体的表面积 14．（2022春•汕头期末）已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（　　） A． B． C． D． 15．（2024春•珠海期末）已知一个圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则此圆锥的表面积为 　　． 16．（2023春•信宜市期末）如图，某几何体的下部分是长、宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积． 17．（2024春•韶关校级期末）以斜边长为2的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 18．（2024春•汕头期末）将一个底面边长为，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 　　． 19．（2025春•潮州期末）已知圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为5，则圆台的侧面积为（　　） A． B． C． D． 考点04 空间几何体的体积 20．（2025春•龙岗区校级期末）一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为和，高为（器皿厚度忽略不计）．现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为，则溶液体积为（　　） A． B． C． D． 21．（2025秋•梅州期末）小明体检后，遵照医嘱：在疗程内每天需要饮水．若小明用的水杯近似为正四棱台，尺寸为：上口边长为，底部边长为，高为，厚度忽略不计，则小明在疗程内每天需要饮水的杯数至少是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 故选：． 22．（2025秋•荔湾区校级期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为 ． 23．（2025春•深圳期末）如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（　　） A． B． C． D． 24．（2025春•广州期末）正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（　　） A．28 B． C． D． 25．（2025秋•肇庆期末）已知圆台的上、下底面的面积分别为和，侧面积为，则该圆台的体积为（　　） A． B． C． D． 26．（2025春•茂名期末）已知圆锥的底面半径为3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 27．（2025春•龙岗区校级期末）已知圆锥的底面半径为，为底面圆心，，为圆锥的母线，，若△的面积等于，则该圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 考点05 与球有关的切接问题 28．（2025秋•深圳期末）在四面体中，，，两两垂直，且，，，若，，，均在球的球面上，则的表面积为（　　） A． B． C． D． 29．（2019春•荔湾区校级期末）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　） A． B． C． D．都不对 30．（2024秋•潮州期末）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 31．（2025秋•广州期末）已知三棱锥，面，，且，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 32．（2024春•东莞市期末）棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为（　　） A． B． C． D． 33．（2025春•深圳期末）若半径为的球与正六棱柱的各个面均相切，则该正六棱柱外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 34．（2025秋•肇庆期末）在三棱锥中，，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 35．（2025秋•广东校级期末）如图所示，四边形为正方形，将△绕翻折得到三棱锥，且，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 36．（2025秋•汕头期末）正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球体积为 ． 37．（2025春•龙岗区校级期末）我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”．已知棱台是一个所有侧棱的长相等，高为2的“刍童”， ，，则该“刍童”外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 38．（2024秋•龙岗区校级期末）三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中平面，△是正三角形，，则该球的表面积是（　　） A． B． C． D． 39．（2025秋•广东期末）已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 考点06 空间点、直线、平面之间的位置关系 40．（2023春•惠州期末）若空间三条直线、、满足，，则直线与（　　） A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．一定垂直 41．（2024春•韶关校级期末）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列说法正确的是（　　） A．若直线，与平面所成角相等，则 B．若平面上有三个不同点到平面的距离相等，则 C．若上有两个不同点到平面的距离相等，则 D．若，，，，且直线，异面，则 42．（2025秋•汕头期末）已知、是异面直线，设平面满足，且，则这样的（　　） A．不存在 B．有且仅有1个 C．有且仅有2个 D．有无数多个 43．（2025春•汕头校级期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 44．（2025秋•揭东区校级期末）设，是两个不同平面，，是平面内的两条不同直线．甲：，，乙：，则（　　） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 45．（2025春•深圳期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 46．（2025春•广州期末）设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 47．（2025春•汕头期末）已知，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 考点07 证明线面平行 48．（2025秋•揭阳期末）过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（　　） A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 49．（2025春•汕尾期末）在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：． 50．（2025春•茂名期末）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值． 51．（2025春•佛山期末）如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点． （1）求证：平面； （2）若，证明：底面为菱形． 52．（2025春•深圳期末）如图，在三棱柱中，平面平面，，点为中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 53．（2024春•广东期末）在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 考点08 证明面面平行 54．（2024春•广东期末）由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面与底面的交线为，求证：． 55．（2021春•江门期末）如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点． （1）求证：平面； （2）设为的中点，为的重心，求证：面平面． 考点09 证明线线垂直 56．（2025春•佛山期末）如图，梯形中，，，，，将△沿翻折至△，其中为动点． （1）当平面平面时， 求证：； 求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 57．（2024春•广州期末）如图，是半球的直径，是半球底面圆周上一点，是半球面上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 58．（2024春•湛江期末）如图，平面，底面为矩形，于点，于点． （1）求证：平面； （2）设平面交于点，求证：． 59．（2023春•江城区校级期末）在四面体中，点为的垂心，且平面． （1）若，求证：； （2）若，证明：． 60．（2021春•阳江期末）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明： （1）当时，； （2）点在平面内． 考点10 证明线面垂直 61．（2025春•广州期末）如图，已知三棱台中，平面平面、△是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，． （1）证明：平面； （2）若的中点为，求直线与平面所成角的大小． 62．（2024春•湛江期末）如图，平面，底面为矩形，于点，于点． （1）求证：平面； （2）设平面交于点，求证：． 63．（2021春•湛江期末）如图，是等边三角形，平面，，，为的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 64．（2025春•广州期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若侧面底面，求证：平面． 65．（2025春•罗湖区校级期末）如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 考点11 证明面面垂直 66．（2023春•云浮期末）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面平面． 67．（2024春•东莞市期末）如图1，是边长为3的等边三角形，点，分别在线段，上，且，，沿将翻折到的位置，使得，如图2． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 68．（2025春•广州期末）如图，在正四棱柱中，，垂足为． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 69．（2024春•汕尾期末）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 70．（2024春•潮州期末）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，． （1）求证：平面平面； （2）求四面体的体积． 考点12 异面直线所成的角 71．（2025春•罗湖区校级期末）在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 72．（2023春•清远期末）如图，在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，为侧棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（　　） A． B． C．1 D． 73．（2023春•汕尾期末）在正三棱柱中，为棱的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（　　） A．0 B． C． D． 74．（2024春•赤坎区校级期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 75．（2024春•云浮期末）在长方体中，与平面所成的角为，与所成的角为，则（　　） A． B． C． D． 76．（2024春•东莞市期末）已知三棱锥，平面，，，则异面直线与所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 77．（2025春•广州期末）在正方体中，为的中点，则直线与所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 78．（2023春•珠海期末）在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（　　） A．0 B． C． D． 79．（2024春•潮州期末）已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（　　） A． B． C． D．90 考点13 直线与平面所成的角 80．（2025春•潮州期末）二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则与平面所成的角的正弦值是　　 ． 81．（2025春•东莞市期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点，分别是，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 82．（2025春•佛山期末）如图，梯形中，，，，，将△沿翻折至△，其中为动点． （1）当平面平面时， 求证：； 求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 83．（2024春•云浮期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 考点14 二面角 84．（2025春•清远期末）已知正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则下列结论不正确的是（　　） A．正四棱锥的底面边长为16 B．正四棱锥的高为6 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的表面积为576 85．（2025春•潮阳区校级期末）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线． （1）求证：平面平面； （2）若，，圆柱的母线长为，求平面与平面夹角的余弦值． 86．（2025春•茂名期末）如图，在梯形中，，，，把△沿翻折，使得二面角 的大小为，，分别是和中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求点到平面的距离； （3）若二面角的余弦值为，求． 87．（2025春•梅州期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点． （1）当为线段的中点时， 求证：平面； 求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 88．（2025春•河源期末）如图，在直三棱柱中，，，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 89．（2024春•汕头期末）如图，是的直径，垂直于所在的平面，点是圆周上的点且，在线段上且，是的中点． （1）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 考点15 空间几何体的截面问题 90．（2024春•珠海期末）如图：正方体的棱长为2，为的中点，过点作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　） A． B． C． D． 91．（2025春•湛江期末）如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法错误的是（　　） A．直线，共面 B． C．直线与平面所成角的正切值为 D．过点，，的平面截正方体的截面面积为9 92．（2025春•汕尾期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则　　 A．动点的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度最小值为 93．（2024春•清远期末）已知正方体的棱长为4，为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（　　） A． B． C． D． 94．（2025春•广州期末）（多选）已知正方体的棱长为2，，，分别是棱，，的中点，下列结论正确的是　　 A． B．直线与直线所成角为 C．三棱锥的体积为 D．过，，三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 考点16 空间几何体的动点问题 95．（2024春•茂名期末）在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．若，则（　　） A．1 B． C． D．3 96．（2025春•广州期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1，的中点为，上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（　　） A． B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．△的面积与△的面积相等 97．（2025春•汕头校级期末）（多选）已知正方体的棱长为2，是正方形的中心，是棱（包含顶点）上的动点，则以下结论正确的是　　 A．的最小值为 B．不存在点，使与所成角等于 C．二面角正切值的取值范围为 D．当为中点时，三棱锥的外接球表面积为 98．（2024春•广东期末）已知正方体的棱长为2，是棱的中点，空间中的动点满足，且，则动点的轨迹长度为（　　） A． B．3 C． D． 99．（2025春•广州期末）（多选）如图，正三棱台的上、下底面边长分别是3和6，侧棱长是，则　　 A．平面 B．直线与底面所成的角为 C．正三棱台的外接球体积为 D．若点为底面的动点，且，则的轨迹长度为 100．（2025春•深圳期末）（多选）已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则　　 A．四面体的体积为定值 B．存在点，使平面 C．二面角的正切值为 D．当为的中点时，四面体的外接球表面积为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $