精品解析：2026年河平顶山市郏县等校中考学科第二次调研考试 数学

2026年中考学科第二次调研考试 数 学 本试卷满分为120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，然后进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从几何体正上方往下观察得到的平面图形判断． 【详解】解：俯视图是从物体的上面看所得到的图形，该几何体为正方体左上角被切去一个小三棱柱，从上方俯视时，正方体底面为正方形，切去部分的棱在底面的投影为正方形左下角区域的一条斜线段，对应选项D． 3. 血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（ ）． A. 立方米 B. 立方米 C. 立方厘米 D. 立方毫米 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知单位换算关系，逐步将立方微米换算为立方米、立方厘米、立方毫米，再判断选项正误． 【详解】解： 8立方微米立方毫米立方厘米立方米． 4. 如图，我国的一艘巡洋舰在海上点A处进行巡洋作业时，发现在它的北偏东（）方向上的点C处有敌情，于是立即通知位于点A正东方向上的点B处的另一艘巡洋舰，已知，则点C位于点B的北偏西 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作于点D，方位角的意义和平行线的性质可以求出，进一步可以求出，再根据两直线平行，内错角相等，即可求出． 【详解】如图，过点C作于点D． ∵， ∴， ∴． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．括号内先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，再将分式除法运算转化为乘法，通过约分和因式分解化简表达式． 【详解】解； ． 故选：A． 6. 如图，直线l与正五边形的边、相交于点M、N，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边的定义，多边形的内角和及正多边的定义得，由四边形的内角和为，即可求解；理解正多边的定义，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题即可． 【详解】解： ， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，甲、乙、丙三位同学在实践活动教室中选择座位，甲首先坐在D座位，乙和丙在剩余的A、B、C三个座位中随机选择一个坐下，则乙和丙坐在正对面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，求出总的结果数和满足题意的结果数，利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有6种等可能的结果，其中乙和丙坐在正对面的结果有2种， ∴乙和丙坐在正对面的概率为． 9. 如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转，根据题意得出点坐标变化规律，再得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：如图，分别过点B，作x轴的垂线，交x轴于E，F， 则，， ∴，，， ∴， ∵，，每操作1次，三角形的边长增加1， 则第2024次操作得到的在第一象限，且边长为2025， ∴． 10. 光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （ ） A. 两种温度下均是的函数 B. 当时，该绿色植物不进行光合作用 C. 当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D. 光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数图象获取相关信息，理解题意，结合函数图象求解是解题关键．根据函数的概念和图象获得的有用信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据题意可知是自变量，所以两种温度下均是的函数，故说法正确，该选项不符合题意； B、当时，即没有光照条件，所以该绿色植物不进行光合作用，故说法正确，该选项不符合题意； C、根据图像可知，当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高，故说法正确，该选项不符合题意； D、根据题意可知，该绿色植物释放氧气的速度还与温度有关，故说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，请写出一个关于实数a，b运算正确的结论：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由数轴可知，，则． 12. 二元一次方程组 的解是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程组可化为， 把①代入②得， 解得． 把代入①得， ∴原方程组的解是． 13. 郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据，观察图中的数据，确定答案． 【详解】解：由图可知，表示这周每天最低气温的七个数据中，13，14，16，17，18各出现了一次，15出现了两次，显然15出现的次数最多，所以表示这周每天最低气温的七个数据的众数是15． 14. 如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧所组成的图形，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理，证明是等边三角形， 得到，过点D作于H，则，求出，求出弓形的面积，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，根据题意可得， ∴是等边三角形， ∴， 如图所示，过点D作于H， ∴， ∴， ∴弓形的面积， ∴ ， 故答案为：． 15. 在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 【答案】或或6 【解析】 【分析】是直角三角形，分三种情况画出图形，利用相似三角形的判定和性质分别进行解答即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 若是直角三角形，则有以下三种情况： ①如图，当时，， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图（2）当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③如图（3），当时，设，则．同理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，CP的长是或或6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 河南，简称“豫”，地处中原，天地之中，历史人文气息厚重，山川河流等自然风光壮丽！某市文旅集团推出文宣品牌“豫见中国老家河南”，推动河南文旅走向全国、走向世界．其中推荐的五条研学路线如下： A．华夏溯源————最早中国研学之旅； B．文明寻脉————四大古都研学之旅； C．大河安澜————黄河文化研学之旅； D．写意中国————文字诗词研学之旅； E．红色传承————红旗渠精神研学之旅． 某校为了了解八年级学生对哪条研学路线最感兴趣，从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如下统计图表（均不完整）． 最喜欢的研学路线频数分布表 研学路线 频数 频率 A 10 0.025 B 20 a C 120 0.3 D b E 90 0.225 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 名，在频数分布表中， ，将条形统计图补充完整． （2）若该校八年级共有960名学生，请估计选择研学路线D和E的一共有多少人． （3）若要给八年级学生选择一条合适的路线，你认为还要收集什么信息?（写出一条即可） 【答案】（1）400，0.05，160，图见解析 （2）600人 （3）答案不唯一，理由见解析 【解析】 【分析】（1）频数、频率、总数的关系（总数 = 频数 ÷ 频率）求出对应值即可； （2）用样本频率估计总体数量即可； （3）按实际情况给出合理答案即可． 【小问1详解】 解：本次调查的学生总数：由A路线频数10、频率0.025，得 （名）； ； 总频数为400，则 ； 在D路线对应位置画高度为160的长方形，如图． 【小问2详解】 解：D、E路线的频率和：， 八年级共960人，因此估计人数： （人）． 【小问3详解】 解：收集耗时信息（按实际情况给出合理答案即可）． 18. 如图，是格点三角形（顶点均在格点上），． （1）作出边与边上的高，垂足分别为M，N（保留作图痕迹，不写作法）． （2）反比例函数的图象经过点 M，请确定反比例函数 的解析式，并写出中点的坐标． （3）反比例函数的图象经过点 N，求的值． 【答案】（1），见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可以发现，根据等腰三角形的性质、三角形的三条高交于一点，取格点M，连接交格线于点D，连接并延长，交于点N即可； （2）根据勾股定理和反比例函数的性质解题； （3）取格点Q，使于点P，则 ，证明 ，得到点的坐标，进而解题． 【小问1详解】 解：如图所示，线段，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴点M是中点， ∴，即， ∴点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数解析式为； ∵， ∴中点的坐标是，即； 【小问3详解】 解：∵， ∴边与边上的高相等， ∴ ， ∵， 由勾股定理得 ， 如图，取格点Q，使于点P，则 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点N， ∴． 19. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? （2）甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天 （2）安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元 【解析】 【分析】（1）首先根据甲队30天完成 的工作量，确定甲队单独完成需90天，进而得出甲的工作效率。设乙队单独完成需 天，根据“甲先做30天，甲乙再合做40天完成全部工程”的等量关系列出分式方程，解方程并检验即可得出乙队单独完成所需天数； （2）设甲队施工 天，则乙队施工 天，根据“两队工作量之和不少于1”的条件确定 的取值范围，建立总支出 关于 的一次函数关系式，利用一次函数的增减性（时随增大而增大），确定当取最小值时总支出最少，从而得出最优施工安排及最少开支． 【小问1详解】 解：甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的， 因此甲队单独完成这项工程需（天），甲队单独施工1天完成总工程的． 设乙队单独完成这项工程需x天， ，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天． 【小问2详解】 解：设甲队单独施工t天，则乙队单独施工 天． 根据题意得 ，解得． 设总支出为y元，则 ． 因为 ，所以y随t的增大而增大， 所以时，y最小，此时 ， （天）． 答：安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元． 20. 龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．某数学小组的同学把“测量龙角塔的高”作为一项实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实践活动报告． 活动项目 测量龙角塔的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与龙角塔底B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③在F处用测角仪测量从眼睛E看到标杆顶点C与龙角塔顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF． 测量数据 ①②；③；④． 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直． 任务一：根据活动报告，求龙角塔的高度（精确到）； 任务二：该小组要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 【答案】任务一：龙角塔高度约为；任务二：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 任务一：过点作于点，交于点，则四边形和四边形均为矩形，得，，，，由，得，进而可得，代入计算即可求解． 任务二：根据实践活动报告的完整性要求，思考需要补充的项目． 【详解】解：任务一：如图，过点作于点，交于点， 四边形和四边形均为矩形， 由题意得， ，， ，， ， ， ， ， ， 答：龙角塔的高度约为． 任务二：要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，还需要补充：人员分工，指导教师，活动感受等（答案不唯一）． 21. 曲柄滑块机构是用曲柄和滑块来实现转动和移动相互转换的平面连杆机构，广泛应用于往复活塞式发动机、压缩机、冲床等的主机构中．如图是其示意图，曲柄绕着点O做圆周运动，带动连杆使滑块C在上运动，C，A，O，D 四点共线． （1）已知当与相切时，，．连接，，求证：． （2）在（1）的条件下，求和的长． （3）在（1）的条件下，在曲柄绕着点O运动一周的过程中，求出线段长的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质证明 ，由等边对等角证明，再根据直径所对的圆周角是直角求解； （2）证明，设 ，结合勾股定理计算即可； （3）找出线段最短和最长时刻的位置，进而求解． 【小问1详解】 证明：∵与相切， ∴，即 ， ∵， ∴， ∵A，O，D共线，即为的直径， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ， ， ∴， 由（1）可知，， 又∵， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，，， 即， 解得（负值已舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：最短时，B与D重合，此时 ， 最长时，B与A重合，此时， ∴线段长的取值范围为． 22. 某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． （1）请求出拱门最高点距地面的高度． （2）若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． （3）若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【答案】（1）拱门最高点距地面的高度为米 （2）可以安全通过拱门，理由见解析 （3）每两人的间距d的范围为 米时，队伍才能安全通过拱门 【解析】 【分析】（1）求出点 ， ，利用待定系数法求出函数解析式，进一步即可求出答案； （2）求出当的自变量的值，进行解答和比较即可； （3）求出每两人的间距d的范围即可求出答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为． 由题意得 米， ∴米， ， ∵ 米， ∴ ． 将点 ，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式是 ． 当时， ． 答：拱门最高点距地面的高度为米． 【小问2详解】 可以安全通过拱门． 理由如下：由题意得，当时，， 解得，． ∵ （米）， （米）， ， ∴可以安全通过拱门． 【小问3详解】 解：由题意得 （米）， ∴每两人的间距d的范围为 米时，队伍才能安全通过拱门． 23. 综合实践课上，老师和同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 操作背景： 如图（1），将矩形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点, 且点在点的上方，过点作交于点． （1）根据以上操作，解决下列问题： ①是 三角形； ②线段 之间的数量关系为 ． 迁移探究： （2）如图（2），将正方形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，,将线段绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，，且点在点的上方． 请你阅读下面的内容并据此证明图（2）中 四点共圆． 知识小积累 定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能运用它们吗? Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的四个顶点共圆（图（3）、图（4））； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆（图（5））； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图（6））． 拓展应用： （3）如图（7），在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，交对角线于点，点是上一动点，连接，过点作的垂线，交直线于点，若点为的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1）①等腰直角；② （2）见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用矩形折叠性质、旋转性质、全等三角形判定及等腰直角三角形性质分析角度与线段关系，结合推导线段等量关系； （2）利用正方形折叠性质、旋转性质得等边三角形，结合四点共圆判定定理（若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的四个顶点共圆）证明； （3）先确定正方形各点坐标，结合为三等分点两种情况，再结合等腰直角三角形性质求． 【小问1详解】 解：①将矩形纸片对折（与重合），折痕为，为在上的一点， 故是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， 将线段绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形； ②由①得 ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【小问2详解】 证明：如图（1），连接，将线段绕点逆时针旋转得到， ，， 又正方形对折（与重合），点在折痕上， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 平分， 垂直平分， 是等边三角形，垂直平分，， 在和中， ， ， ， ，，， 四点共圆． 【小问3详解】 解：①如图（2），当 ，连接，过点作交于点， 由题意得， ，垂直平分，， ， ， ， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 又 ， ， 同（1）的方法可得， 四边形是正方形， ，， ， ． 点， 分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ； ②如图（3），当 时，连接，过点作交于点， 同①可知，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为 或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第二次调研考试 数 学 本试卷满分为120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图是我市某一天的天气预报，这一天的最高温度比最低温度高（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）． A. B. C. D. 3. 血小板是从骨髓成熟的巨核细胞胞浆裂解脱落下来的小块胞质，是哺乳动物血液中的有形成分之一，一个血小板的体积约为8立方微米．已知1立方米立方厘米，1立方厘米立方毫米，1立方毫米立方微米，则一个血小板的体积约为（ ）． A. 立方米 B. 立方米 C. 立方厘米 D. 立方毫米 4. 如图，我国的一艘巡洋舰在海上点A处进行巡洋作业时，发现在它的北偏东（）方向上的点C处有敌情，于是立即通知位于点A正东方向上的点B处的另一艘巡洋舰，已知，则点C位于点B的北偏西 （ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线l与正五边形的边、相交于点M、N，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程 ，则该一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 如图，甲、乙、丙三位同学在实践活动教室中选择座位，甲首先坐在D座位，乙和丙在剩余的A、B、C三个座位中随机选择一个坐下，则乙和丙坐在正对面的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 光合作用，通常是指绿色植物吸收光能，把二氧化碳和水合成有机物，同时释放氧气的过程，整个过程受光照强度、二氧化碳浓度、温度等多种因素的影响．小明在研究某绿色植物光合作用氧气释放速度（毫克/小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系时，设计了如图1的实验装置，并绘制了和时与之间的关系图 （如图2），下列说法错误的是 （ ） A. 两种温度下均是的函数 B. 当时，该绿色植物不进行光合作用 C. 当时，环境下的该绿色植物氧气释放速度比环境下的高 D. 光照强度越大，该绿色植物释放氧气的速度越快 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，请写出一个关于实数a，b运算正确的结论：________． 12. 二元一次方程组 的解是________． 13. 郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 14. 如图，分别以边长为2的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧所组成的图形，则阴影部分的面积为______． 15. 在矩形中，，点E在边上，且，P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 17. 河南，简称“豫”，地处中原，天地之中，历史人文气息厚重，山川河流等自然风光壮丽！某市文旅集团推出文宣品牌“豫见中国老家河南”，推动河南文旅走向全国、走向世界．其中推荐的五条研学路线如下： A．华夏溯源————最早中国研学之旅； B．文明寻脉————四大古都研学之旅； C．大河安澜————黄河文化研学之旅； D．写意中国————文字诗词研学之旅； E．红色传承————红旗渠精神研学之旅． 某校为了了解八年级学生对哪条研学路线最感兴趣，从该校八年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如下统计图表（均不完整）． 最喜欢的研学路线频数分布表 研学路线 频数 频率 A 10 0.025 B 20 a C 120 0.3 D b E 90 0.225 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 名，在频数分布表中， ，将条形统计图补充完整． （2）若该校八年级共有960名学生，请估计选择研学路线D和E的一共有多少人． （3）若要给八年级学生选择一条合适的路线，你认为还要收集什么信息?（写出一条即可） 18. 如图，是格点三角形（顶点均在格点上），． （1）作出边与边上的高，垂足分别为M，N（保留作图痕迹，不写作法）． （2）反比例函数的图象经过点 M，请确定反比例函数 的解析式，并写出中点的坐标． （3）反比例函数的图象经过点 N，求的值． 19. 甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． （1）甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? （2）甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 20. 龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．某数学小组的同学把“测量龙角塔的高”作为一项实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实践活动报告． 活动项目 测量龙角塔的高度 活动方案 “测角仪”方案 方案示意图 实施过程 ①选取与龙角塔底B位于同一水平地面的D处立一标杆CD； ②测量B，D两点间的距离； ③在F处用测角仪测量从眼睛E看到标杆顶点C与龙角塔顶点A在同一条直线上； ④测量D，F两点间的距离； ⑤测量E到地面的高度EF． 测量数据 ①②；③；④． 说明 ①图上所有点均在同一平面内；②，，均与地面垂直． 任务一：根据活动报告，求龙角塔的高度（精确到）； 任务二：该小组要写出一份完整的活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）？ 21. 曲柄滑块机构是用曲柄和滑块来实现转动和移动相互转换的平面连杆机构，广泛应用于往复活塞式发动机、压缩机、冲床等的主机构中．如图是其示意图，曲柄绕着点O做圆周运动，带动连杆使滑块C在上运动，C，A，O，D 四点共线． （1）已知当与相切时，，．连接，，求证：． （2）在（1）的条件下，求和的长． （3）在（1）的条件下，在曲柄绕着点O运动一周的过程中，求出线段长的取值范围． 22. 某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． （1）请求出拱门最高点距地面的高度． （2）若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． （3）若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 23. 综合实践课上，老师和同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 操作背景： 如图（1），将矩形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点, 且点在点的上方，过点作交于点． （1）根据以上操作，解决下列问题： ①是 三角形； ②线段 之间的数量关系为 ． 迁移探究： （2）如图（2），将正方形纸片对折(与重合)后再展开，折痕为，为上一动点，连接,，,将线段绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于点，，且点在点的上方． 请你阅读下面的内容并据此证明图（2）中 四点共圆． 知识小积累 定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能运用它们吗? Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的四个顶点共圆（图（3）、图（4））； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆（图（5））； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图（6））． 拓展应用： （3）如图（7），在边长为4的正方形中，点，分别为，的中点，交对角线于点，点是上一动点，连接，过点作的垂线，交直线于点，若点为的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $