江苏省邗江中学2025-2026学年高一下学期5月份月考数学试卷

**基本信息** 高一年级5月数学月考卷覆盖立体几何、向量、解三角形等核心模块，通过正方体动点轨迹、友函数定义等问题，考查空间观念、运算推理与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|斜二测直观图、圆锥母线长、空间线面关系|基础巩固，强调空间几何直观| |多选|3/18|向量模长范围、解三角形多解性、正方体动态问题|能力提升，考查推理严谨性| |填空|3/15|向量坐标运算、三角形内角计算、正方体轨迹长度|情境简洁，突出运算能力| |解答|5/77|向量数量积、三角形周长范围、多面体线面证明、友函数单调性|综合应用，融合模型意识与创新思维|

高一年级5月份检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，则该平面图形的高为（ ） A． B．4 C． D． 2．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的母线长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 6．在中，是边上一点，且是的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 7．设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，的值为 C．的取值范围为 D．存在，使得 10．已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，且该三角形有两解，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，若，且，则_________. 13．已知的内角，，的对边分别为，，，设，，则角等于____________. 14．已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，. (1)若，求； (2)若，已知，求. 16．已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 17．如图，多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥组成，其中，，，是上的一点． (1)若是中点． ①求证：平面；②求异面直线与所成角的余弦值． (2)若为与交点，问上是否存在一点，使得平面？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”. (1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间； (2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值； (3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C D D A D 力 A AB ABD 题号 11 答案 BCD 12.3√2 13.30/ 6 14.√2元 15.【详解】因为a6,a=co受sin 12 b=(sina,cosa) 所以cos cosa-sin sina=0, 12 12 1 。1l+-tan tan 所以tana= 341+5=2+5: tan πV3-1 12 tanπ】 (34 -ta tan 4 π)4 (2)因为sina+12)厂5' 由me引wo+-有we名 12 因为ae2所以a+(1， +121212 所以cosa+π】 3 12/ 5 令a+ π =t,则a=1- 4 12 12’sint= ’cost= 3 所以sin21=2 sintcos1=- 24 5 cos21=1-2sin21=-7 25 所以cos2a=cos21-T =cos2tcos+sin 2tsin 6 6 6 241_24+7W3 50 16.【详解】(1)由cos2C-cos2A=sinBsinC得sin2A-sin2C=sinBsinC, 从而a2-c2=bc, 得a2=c2+bc, 由余弦定理得a2=c2+b2-2 bccosA=c2+bc,即b=c+2cc0sA, 由正弦定理得sinB=sinC+2 sinCcosA, 又在三角形中，sinB=sinA+C), 所以sinA+C）=sinC+2 sinCcosA. 所以sinAcosC-cosAsinC=sinC,即sinA-C)=sinC. 所以A-C=C+2kπ或(A-C)+C=π+2kπk∈Z, 即A=2C+2kπ或A=π+2kπ(k∈Z). 因为0<A<π，0<C<元，所以A=2C. (2)由ABC得， [0<A<π 所以{C<B<π， 0<C<π 「0<2C<π 即C<π-3C<元，解得0<C< 4 0<C<π 因为c=1,由正弦定理得0=sin4-sin2C =2cosC,所以a=2cosC, c sincsinC 由正弦定理得b=c-sinB_c~sin(r-3C_sin3C-sin2 CeosC+cos2 CsinC sinC sinC sinC sinC 2sinCcos2C+(2cos2C-1)sinC =4cos2C-1, sinC 故ABC的周长a+b+c=4cos2C+2cosC. 令1=0sC,由(I)知 <cosC<1,所以1e 2 因为数y护42+在 上单调递增， 所以ABC周长的取值范围为2+V2,6, 17.【详解】(1)连接AB,交A,B于点F,连接EF,如下图所示： A B 在三棱柱ABC-A,B,C,中，AA∥BB,A4=BB,所以，四边形AAB,B为平行四边形， 因为AB∩AB,=F,所以F为AB,的中点， 又因为E为AC的中点，所以EFIB.C,且EF=BC, 2 因为B,C文平面AEB,EFc平面AEB,故B,C∥平面AEB: 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA⊥平面ABC,AEc平面ABC,所以AA⊥AE, 所以，AE=VA4+AE2=V22+1P=5, 同理可得B,C=VBB+BC2=V22+22=2V2,A,B=2W2, 所以，EF-8C=5,4F4B= 因为EF∥B,C,所以，异面直线A,E与B,C所成角为∠FEA,或其补角， 由余弦定理可得cos∠FEA=4E+EF2-AF2-5+2-2V0 2AE.EF 2v5×V24 因此，异面直线A,E与B,C所成角的余弦值为V10 4 （2)如下图所示： y B C B A D 因为ADIRC,4CnBD=E,所以BE-BC= DE AD2' 因为EK∥平面AA,D,EKC平面A,BD,平面A,BDO平面AA,D=AD, BK BE 1 KB 1 所以EKAD,故KDE2,因此AB3 所以，线段4B上存在一点K,使得EK∥平面4D,且AB3 KB 1 18.【详解】(1)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AA,⊥平面ABC,又BCc平面ABC,所以 AA⊥BC, 又AC⊥CB,AC∩AA=A,AC,AA,C平面ACC,A,所以BC⊥平面ACCA, 又AFc平面ACCA,,所以BC⊥AF. 在矩形ACC,A,中，AA,=V3,AC=2,点E是棱AC的中点， 所以AE=EC=2,所以△AEC是等边三角形， 又点F是线段CE的中点，所以AF⊥EC, 又CE∩BC=C,CE,BCc平面BCE,所以AF⊥平面BCE. (2)在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H,如图所示. 由(I)知AF⊥平面BCE,又DHc平面BCE,所以AF⊥DH, 又BF⊥DH,BF∩AF=F,BF,AFC平面ABF,所以DH⊥平面ABF, 所以∠DFB是直线DF与平面ABF所成角. 在ABC中，AB=2AC=4,AC⊥CB,所以CB=VAB2-AC2=2V5, 又点D为棱BC的中点，所以BD=CD=CB=5. 因为BC⊥平面ACC,A,,又CEc平面ACC,A,所以BC⊥CE, 所以DF=VDC2+CF2=2,BF=VBC2+CF2=V13. 在BDF中，由余弦定理得cos∠DFB=FD+FB-BD2-4+13-3_7V3 2FD.FB 2×2×1326 所以sin∠CFB=-coDFB=,即直线DF与平面4BF所成角的正弦值为网 26 26 (3)在平面ACC,A,内，过点F作AC的垂线，垂足为O,在平面ABC内，过O作AD的 垂线，垂足为G,连接FG,如图所示 因为BC⊥平面ACC,A,,又F0c平面ACC,A,所以BC⊥FO, 又AC⊥FO,AC∩BC=C,AC,BCC平面ABC,所以F0⊥平面ABC, 又GO,ADC平面ABC,所以FO⊥G0,F0⊥AD, 又G0⊥AD,G0∩0F=0,GO,OFc平面G0F,所以AD⊥平面G0F, 又GFc平面GOF,所以AD⊥GF,又GO⊥AD, 所以∠FG0为二面角F-AD-C的平面角. 在aF0C中，F0=FCsin∠FcO- 2 因为AF⊥平面BCE,DFC平面BCE,所以AF⊥FD, 又易得AF=√5，FD=2,所以AD=VAF2+FD2=√万， 由等面积法可知GF=AF,FD_22 AD 7 在△Gf0中，F01G0,GF-22,F0=5,所以G0=NGr-OF_3N2 7 2 14 所以cas∠PC0品子耳一面角F-40-C的余弦花为子 A 19.【详解】1)由已知/到=smx+cosx=万s加+军)， 则令-+2加≤x+5+2a,te2, 42 解得-3弧+2km≤r≤及+2km,keZ, 4 4 即函数的单调递增区间为 ()-2co π -sin x-2cos0 cosx+2sin 0 sinx -5-2c00)ux. 则h(x的“友向量为OM= +2sin0, -2c0s8, 所以oM 2c0s0 2 2+2sin0 -层-2w0+4co0+ -2sim0+4sin20 =V5-(2sin0+25cos0=5-4sim0+ 3 又0eR,所以当0=7+2a,e2时，om-5-4sm0+写 取得最大值为3； 6 3 (3)由已知点M(a,b)满足6a2+5ab+b2<0, 则0,40，且8写 b 又f(x=asinx+bcosx=Va2+bsin(x+p）,且tanp= a 且当x+p=元+2km,keZ时，函数fx)取得最大值， 即x0=-0+元+2km, 2 +2k 所以anx,=tan-9+2 1 a tano b' 又g)=cos-sin=1-tan2 sin xo+cos Xo tan xo+1 设1=6气2写引，则原式-片-+训+2-1+ 11 t+1t+1 t+1 且在（分》上单调湿减。 所以gxo)e(2,3)