江苏扬州市邗江区第一中学2025-2026学年高一下学期5月份月考数学试卷

**基本信息** 高一下5月月考数学卷聚焦立体几何、解三角形、向量核心模块，解答题如四棱锥线面证明与线面角计算、旋转体综合问题，突出空间观念与推理能力，适配高一学段知识进阶。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|线面关系、圆锥高、三角形形状判断|基础概念辨析，如第1题线面位置关系考查空间观念| |多选|3/18|圆柱定义、向量基底、正方体数量积|概念辨析与多解性，如第9题几何体概念考查抽象能力| |填空|3/15|斜二测直观图周长、正方体截面面积|空间几何计算，如第13题斜二测图考查几何直观| |解答|5/77|四棱锥证明与线面角、旋转体综合、解三角形应用|综合能力考查，如第18题旋转体问题体现模型意识与推理能力，贴合高考命题趋势|

参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C A D C D D ACD ABC 题号 11 14 答案 BCD BCD 123 13.20 14.27N5 15.【详解】1D取PD的巾点M,连接ME、AM,则MECD,且ME=CD=2 因为ABIICD,AB=2,所以AB/IME且ME=AB 所以四边形ABEM为平行四边形 所以BEI∥AM, 因为BE平面PAD,AMC平面PAD,所以BE∥平面PAD, D E B (2)因为底面ABCD为梯形，∠ADC=90°，AD=AB=2,CD=4, 所以BC=N22+4-2)2=2√2，BD=V22+22=22, 54x4 又PD垂直于面ABCD,E为棱PC的中点， 所以E平面4BCD的距离为P0=1,所以o-×41-专 因为PD垂直于面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥DC, 所以4M=T=5,DE-PC2+车=5. 所以BE=AM=√5， 所以Sa22xV5-=6, 设点C氧平面B0E的距离为d,则：aad,可时6d-号所以d= 4 3 6 4 设直线BC与面BDE所成的角为0，则sin0=4=6=5, BC 22 3 直线BC与面BDE所成的角的正弦值为V 3 16.【详解】(1)由题意可得ā+b=(3,1),ā-b=(2,22)-(2,-1)=(2-2,2+1), 因为（ā+b)1(2ā-），所以3(1-2)+(21+)=0→1=1 (2)a+c=(1+m,4), 因为b/1(a+c),所以8+m+1=0→m=-9, 所以c=（-9,2), 4 a…c -5 v17 所以cos(a,c）= 5xV85-17, 即向量a与c的夹角的余弦值为- 17 2所以c0s2a= 49 17.【详解】(1)因为sina+cos2a=1,且sina= 10 0 3π 又a∈4，π 所以cosa=-7V2 10 因t1ama-CC-,Sn2a2 ingo。 7 cosa 25 3π 3π3元π (2)因为au∈ (42 又sim(a+B)= 2V5 则osa+B)=-5 5 则sin阝=sin(a+B)-a=sin(a+β)cosa-cos(au+β)sina =-2v5 72 √2310 10 5 10 10 则cosB=10 10 所以sina-β)=sin a cos B-cosa sin B= √2,072310_115 1010 10 10 25 （8因为u8-安·B引则mp-2-手且9a引 则tan(a+2β)= tand+tan26=1, 1-tan a tan 2B 又a+2B∈ 4'3所以a+2B=5π 3π4π 4 18.【详解】(1)：GF为上底面圆的直径，点P在上底面圆周上， PF⊥PG,PF‖HQ,.HQ⊥PG, 又：GH⊥平面EHQ,且HQc平面EHQ,:.GH⊥HQ, :PG∩GH=G,且PG,GHc平面PGH, .HQ⊥平面PGH (2)连接CQ,由(1)HQ⊥平面PGH, .∠HGQ就是直线GQ与平面PGH所成的角， 即cos∠HG0=5 3 GH-5且GH=2,G0=25,H0=25, G03 △CHQ为直角三角形，.Q为弧HE的中点，.CQ⊥HE 又8H=80=2,S0-5×2w-25, 4 又：平面EFGH⊥平面EHQ,且交线为EH,CQ⊥HE, .CQ⊥平面EFGH ∴点Q到平面EFGH的距离为h=CQ=2, PF‖平面BHQ, 点P到平面BHQ的距离等于点F到平面BHQ的距离，设为d, VF-omg Ve-BHF 3mdm 3 1 1 :S&BFH=)BF,GH=5×2×2=2, 2 2 3×25.d=x2×2 3 d=2 3 2，点P到平面BH0的距离为2V5 3 (3)分别取BH,HQ的中点I,N,连接IN,CI,CN,则N‖BQ,CII‖BE, :IN∩CI=I且IN,CIc平面ICN,BQ∩BE=B,且BQ,BEc平面BEQ, .平面ICN‖平面BEQ, :平面BHQ与平面BEQ夹角正切值为2√2， .平面BHQ与平面ICN夹角的正切值为2√2， :N为HQ的中点，CH=CQ,BH=BQ CN⊥HQ,BN⊥HQ, 又：CNBN=N且CN,BNc平面BCN, ·HQ⊥平面BCN, :HQc平面BHQ,.平面BHQ⊥平面BCN, 连接BN,过点C作OC⊥BN于点O, G H:- E :平面BHQ∩平面BCN=BN,且OCc平面BCN, 0C⊥平面BHQ,:Nc平面BHQ,.OC⊥IN, 过点O作OK⊥IN于点K,连接CK, .OC∩OK=O,OC,OKc平面0CK, .IWN⊥平面OCK,又CKc平面OCK,∴CK⊥IN, .∠0KC为平面BHQ与平面ICN夹角，即tan∠OKC=2√2， 设CN=1t>0),则BN=VBC2+CN2=V4+2, S.McN -CN.BC=OC.BN,OC-CN.BC=-2 2 BN4+ :直角三角形BQC中，：.BQ=√BC2+C02=V22+22=2√2， 又：IN‖B0,cos∠NO=cos∠NBO=BX-V4+ B02V2 'sin∠wo=V4-2 2√2 在R1aBCN中，由射影定理知CN:=ONBN,:ON=CN-P BN4+1 在直角△0kY中，m∠0=A-=0K,:OK=4 12 220N 22 0w=4-2 2W2V4+t2 2t 在直角△0CK中，tan∠0KC=2V2=0C V4+2 水4-. 2W2V4+2 整理得2(4-2）=4，解得t2=2,即t=√2， H0=2HN=2CH2-Cw2=2V22-(V2=22 19.【详解】1)由元1i,则asinB---beos-=0,即asinB-bsin d+）=0, 6 3 结合正弦定理可得： +sinAsinB=0,则sinB cos4-Isin4=0, 2 2 因为4、B0， 则sinB>0,所以√5cosA=sinA>0, 可得a4=5,故4-子 (2)因为AD=CD,所以∠CAD=∠ACB, ABC是锐角三角形，则∠ACB+∠BAC=∠ACB+T>T, 3221 又C<LBAC,故T<C< 6 3, B 在△ABD中，B=2 -C,∠BAD=D-C, 3 BD CD 由正弦定理可得 c) sin sin (3 (2-C 气3 BDBD 所以，BCBD+DC -c)sn-c sin cosc-sinc √5-tanC_l_tanC cosC+sinc+v3 2 cosC-I 2 sinc 2V3225’ 2 因为cG引 则3 c,所以股}后 所以C的以能范用是Q》 高一下学期5月份月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知分别为三个内角所对的边，若，则（   ） A． B． C．或 D． 3．已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 4．圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是（    ） A．1 B． C． D．2 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 8．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．下列说法不正确的是（    ） A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．过球上任意两点有且仅有一个大圆 D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 10．下列说法正确的是（   ） A．若非零向量满足，则 B． C．若为单位向量，则 D．向量可以作为平面内的一个基底 11．已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，，，若，则________. 13．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为______． 14．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则平面截正方体所得截面的面积为    四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 16．已知向量，，，． (1)当时，求实数的值； (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 17．已知，. (1)求和的值； (2)若，为锐角，求的值； (3)若，为锐角，求角. 18．如图1，在直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转180°后得到几何体W，如图2，其中，分别为上下底面直径，点P，Q分别在圆弧，上，且∥. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的余弦值等于，求P到平面的距离； (3)若平面与平面夹角的正切值为，求的长度. 19．在锐角中，角所对的边分别为，记，，满足． (1)求角； (2)若，且满足，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $