精品解析：江西南昌市八一中学等校2026届高三临门一练数学试题

2026届高三数学临门一练 本练习共150分，时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “或”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 2. 已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】锐角满足，所以,, 则, 因为，所以 4. 陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥侧面展开扇形的圆心角，进而可求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 设圆锥的母线长为，则 该圆锥的侧面积为． 5. 数列中，，对，有，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求证为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可． 【详解】令 ，可得， 则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ， 解得． 6. 现有5项不同的寒假实践任务（社区志愿服务、家庭劳动打卡、阅读报告、科技创新小制作、传统文化调研）要全部分配给3个不同的“综合素质评价小组”（小组、小组、小组），每个小组至少承担1项任务．则不同的分配方法数是（ ） A. 90 B. 150 C. 240 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】先分类，再应用分组分配结合组合数及排列数计算求解. 【详解】将5个不同的任务分3组，有两种不同的方式， ①：“1，1，3”型，则有种分法；②：“2，2，1”型，则有种分法， 共有25种分法，将分好的3组分配给3个不同的“综合素质评价小组”，共有种分配方法． 7. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断. 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当 时，； 当 时，，当且仅当 时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程结合两点间距离得出圆的位置关系计算求解即可. 【详解】点在以为圆心，1为半径的圆上，点在以为圆心，7为半径的圆上， 两圆心距，则两圆内含， ，， 则． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义计算判断结合幂函数的奇偶性判断求解. 【详解】对于定义域为的函数，函数与的定义域均为， 因， 故为偶函数，为奇函数， 而为奇函数，为偶函数，A,D错误，为偶函数，为奇函数，B，C正确； 10. 如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面平面 C. D. 平行六面体的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故 ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________． 【答案】 ①. 1 ②. 0 【解析】 【详解】方法1：如图 可得． 如图 可得与垂直，． 方法2：如图建系，易知. 若，则， 所以. ，，所以. 13. 已知函数关于点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性得，进而利用诱导公式求值即可. 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故 ． 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列，进行构造，第1次得到数列，，；第2次得到数列，，，，；…记第次得到数列的项数为，如，，则___________（用含的式子表示）；记第次得到数列的所有项的和，如，，则___________．（用含的式子表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】应用数列新定义列式结合等比数列定义即可得出通项公式. 【详解】依题意， 则是以为首项以2为公比的等比数列， ， 因此，而 ， 则数列是以6为首项，3为公比的等比数列， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． （1）若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； （2）从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 【答案】（1）25241片 （2） 分布列为： Y 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 期望为0.3 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质求解即可； （2）首先求出，再根据二项分布可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 ，， ，则， 估计该批次中测试成绩80分以上的芯片有25241片． 【小问2详解】 ，且， ， 依题意， ， ， ， ， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 随机变量的期望． 16. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【小问1详解】 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． 【小问2详解】 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 17. 已知椭圆：的焦距为，且离心率为．过点的直线与椭圆交于，两点，已知点为抛物线的焦点，为直线上的一点，且． （1）求椭圆的方程及长轴长； （2）求点的横坐标． 【答案】（1），4 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率及焦距列方程求解即可； （2）先设直线，再与椭圆联立得出韦达定理，再应用向量共线列式计算求解. 【小问1详解】 依题意，椭圆的半焦距 由椭圆的离心率为， 得 椭圆的方程为． 长轴长． 【小问2详解】 当直线的斜率不为0时， 设其方程为， 由，得 得到，且． 点为抛物线的焦点， 如图，设，由点是直线上一点， 则存在实数，使得 则，即， 由，得 则，故， 因为，所以，即得， 代入可得 ． 当直线的斜率为0时，不妨取，，符合题意． 故点的横坐标为． 18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． （1）若P是CD的中点，求证：平面； （2）定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； （3）若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由为直线与平面所成角可得，利用线面垂直的判定定理证明； 由，，先求出公垂线所在向量，再求距离； 由点H在直线上，则，，根据，可得M， N， P的坐标，再利用空间向量法求夹角. 【小问1详解】 证明：连接， 平面， 为直线与平面所成的角， ， ， ， 在长方体中，以D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，，，，                                                当P是CD的中点时，，，，， ，， ，， ，平面， 平面； 【小问2详解】 解：，，， 设， ，， ， 取，得， 异面直线与的距离为：； 【小问3详解】 设，，， 点H在直线上，则， ， ，，， 因为， ， ，                                 ，， 设平面MNP的法向量为， 由，得，令得：， 设平面的法向量为， ，， 由，得，令得：， 设平面MNP与平面的夹角为， ， ，N，P分别为棱上异于D点的动点， 由得：， 当时，， 当时，令，则， ， 平面MNP与平面所成夹角余弦值的取值范围为 19. 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）当时，，求的取值范围： （3）已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：. 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后判断其符号，则可得函数的单调性； （2）求出函数的导数，令，求出后先判断时的符号可得原函数的单调性，再求出的二阶导数，就、分类讨论可确定参数的范围，当时可直接判断的单调性后得原函数的单调性，从而判断参数的范围；也可以利用放缩法证明当不等式恒成立，再结合导数证分类明不等式不恒成立即可；另外利用换元法可将原不等式转化为恒成立，同样可结合导数探求参数的范围； （3）先利用导数的几何意义求得，求出的通项公式后可求面积，从而得的通项，结合（2）的结果可得不等式，结合裂项相消法可证不等式，或者证明，同样可得，再结合裂项相消法可证不等式亦可. 【小问1详解】 时，，，. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，所以. 【小问2详解】 法一：，， 其中，记，， （i）当时，，所以在上单调递减， 又，所以时，，即， 所以在上单调递减，又，所以恒成立， 故合题意； （ii）当时，设，则， 故在上单调递减， 又，所以时，，同（i）可得恒成立， 故合题意； （iii）当时，因为，所以在上单调递减， 此时，， 所以当时，，所以在单调递增， 又，所以，，即， 所以在单调递增， 又，所以，，不合题意. （iv）当时，显然为上的增函数，又， 所以时，，即，所以在上单调递增， 又，所以恒成立，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围为. 法二：（i）当时，，， 设，，， 所以在上单调递减， 又，所以，当时，，即， 所以恒成立，故合题意； （ii）当时，，（由第（1）问可知）， 故，不合题意； （iii）当时，， 记，， 为减函数，且，， 所以，当时，，所以在单调递增，又， 所以，，即， 所以在单调递增，又， 所以，，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 法三：恒成立等价于恒成立. 令，则不等式可化为：， 令，则，且需对恒成立. 求导得，， 令，， 求导得， 故， ①当时，，所以在上递减， 又，所以，即， 所以在上递减，又，从而，不满足条件. ②当且时，在时，， 同上分析可知，在时，，不满足条件. ③当时，，且对，， 由于，，，即恒成立， 故在上为增函数，故， 即，进一步知为增函数，故，合题意. 综上所述，即为所求. 【小问3详解】 法一：由题意，点在曲线上，设，， 已知，即，过的切线方程为：. 与轴交点的坐标为， 过且斜率为0的直线为， 与曲线的交点满足， 所以是以1为首项，为公比的等比数列， 因此，， 所以，的坐标为，的坐标为， 的底边的长度为，高为1，故面积，， 于是，则， 所以要证，即证， 而（2）中时，任意时，有恒成立， 故有时，恒成立， 令，则有， 所以，，…，， 求和得，所以原不等式成立. 法二：令， 求导得， 所以在单调递增，所以， 令可得恒成立，， 对求和得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学临门一练 本练习共150分，时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “或”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 数列中，，对，有，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 现有5项不同的寒假实践任务（社区志愿服务、家庭劳动打卡、阅读报告、科技创新小制作、传统文化调研）要全部分配给3个不同的“综合素质评价小组”（小组、小组、小组），每个小组至少承担1项任务．则不同的分配方法数是（ ） A. 90 B. 150 C. 240 D. 300 7. 已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 关于定义域为的函数，下列说法正确的有（ ） A. 存在函数，使得恒成立 B. 存在函数，使得恒成立 C. 存在函数，使得恒成立 D. 存在函数，使得恒成立 10. 如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 平面平面 C. D. 平行六面体的体积为 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________． 13. 已知函数关于点对称，则______． 14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列．现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列，进行构造，第1次得到数列，，；第2次得到数列，，，，；…记第次得到数列的项数为，如，，则___________（用含的式子表示）；记第次得到数列的所有项的和，如，，则___________．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着人工智能技术的快速发展，AI芯片的性能评估成为关键环节．某科技公司对一款新型AI芯片进行性能测试，测试得分（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）被认定为“卓越”等级． （1）若该芯片共生产了30000片，试估计其中测试成绩80分以上（含80分）的芯片数量（结果四舍五入保留到整数）； （2）从该批次芯片中随机抽取3片，设其中等级为“卓越”的芯片数量为，求的分布列和期望． 附：若随机变量，则，，． 16. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，． （1）求角； （2）当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 17. 已知椭圆：的焦距为，且离心率为．过点的直线与椭圆交于，两点，已知点为抛物线的焦点，为直线上的一点，且． （1）求椭圆的方程及长轴长； （2）求点的横坐标． 18. 如图，在长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，M， N， P分别为棱，DA，DC上异于D点的动点． （1）若P是CD的中点，求证：平面； （2）定义：异面直线的距离指的是公垂线与两条异面直线都垂直相交的直线的两个垂足之间的线段长度．求异面直线与的距离； （3）若直线与平面MNP交于点H，且，求平面MNP与平面的夹角余弦值的取值范围． 19. 已知函数 （1）当时，求的最小值； （2）当时，，求的取值范围： （3）已知点，按照如下方式依次构造点：过点作曲线的切线与轴交于点，令为过点且斜率为0的直线与曲线的交点，记的面积为，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $