专题五：复数（4考点14考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以复数概念为起点，通过几何意义搭建数形联系，聚焦四则运算核心应用，选学三角形式拓展，形成“概念-几何-运算”递进逻辑，题型覆盖选择、填空、解答，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的概念|3考法（4题）|纯虚数判定、相等条件、共轭复数|从分类到相等关系，构建复数基本属性认知| |复数的几何意义|4考法（12题）|模的性质、复平面对应点、模的几何意义、向量对应|通过复平面与向量，建立数与形的转化桥梁| |复数的四则运算|5考法（14题）|加减乘除运算、i周期性、复数解方程|从基本运算到特殊性质应用，强化代数运算能力| |复数的三角形式（选学）|2考法（2题）|代数化三角形式、棣莫弗定理应用|拓展复数表示形式，深化高次幂运算的数学表达|

专题五：复数 考点1：复数的概念 1 考法1：复数分类的判定 1 考法2：复数相等的条件 1 考法3：求共轭复数 2 考点2：复数的几何意义 2 考法4：复数的模及其性质 2 考法5：复数在复平面内的对应点 3 考法6：复数模的几何意义 4 考法7：复数与向量的对应 4 考点3：复数的四则运算 5 考法8：复数的加减运算 5 考法9：复数的乘法运算 5 考法10：复数的除法运算 6 考法11：i的周期性应用 7 考法12：复数范围内解方程 7 考点4：复数的三角形式（选学） 8 考法13：将代数形式化为三角形式 8 考法14：利用棣莫弗定理求高次幂 8 注意事项 1. 本专题主要考查复数的概念、几何意义及四则运算. 2. 注意复数相等的条件及复数模的几何意义的应用. 3. 选学内容（复数的三角形式）根据教学要求选做. 考点1：复数的概念 考法1：复数分类的判定 1.（填空）已知复数 为纯虚数，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿. 2.（多选）设 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. 当 时， B. 当 时， 的虚部是 C. ，使 是纯虚数 D. ， 所对应的点不会在复平面的第三象限 考法2：复数相等的条件 3.（解答）（已知欧拉公式在复数集内可推广为 ，且 . 两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.）若 ，令 ，证明：. 考法3：求共轭复数 4.（解答）已知复数 的共轭复数为 ， 在复平面内对应的点为 ， 为虚数单位.求复数 ； 考点2：复数的几何意义 考法4：复数的模及其性质 5.（多选）已知复数 （i 为虚数单位），则下面结论正确的是（ 　　） A. B. C. D. 6.（填空）设复数 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 7.（多选）设 是复数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 8.（解答）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 . （1） 设 ，，求复向量 与 的模； （2） 已知对任意的实向量 与 ，都有 ，当且仅当 与 平行时取等号； ①求证：对任意实数 ，，，，不等式 成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立； （3） 当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值. 考法5：复数在复平面内的对应点 9.（单选）在复平面内， 对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10.（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ 　　） A. 若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限 B. 若 ,则 C. 若 ，则 D. 复数 是方程 在复数范围内的一个解 11.（多选）已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. 点 的坐标为 B. C. 若 ，则 D. 12.（多选）设复数 在复平面内对应的点为 ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若 ，则 或 B. 若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为 C. D. 若 是实系数方程 的一个根，则 考法6：复数模的几何意义 13.（单选）若 ，且 ，则（ 　　） A. B. C. D. 14.（多选）已知 ， 为复数，则下列命题正确的是（ 　　） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最大值为 考法7：复数与向量的对应 15.（解答）四边形 是复平面内的平行四边形，，，， 四点对应的复数分别为 ，，，.求复数 ； 16.（单选）已知在复平面内， 为原点，向量 对应的复数分别为 ，，那么向量 对应复数的虚部为（ 　　） A. 1 B. 9 C. D. 考点3：复数的四则运算 考法8：复数的加减运算 17.（多选）已知复数 ，则下列复数中虚部为 0 的有（ 　　） A. B. C. D. 18.（单选）复数 的虚部为（ 　　） A. B. 4 C. D. 考法9：复数的乘法运算 19.（解答）（已知欧拉公式 ，e 是自然对数的底，i 是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 . 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”. 当 时，得到等式 ，数学里最重要的五个常数 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美.）已知 ，欧拉公式在复数集内可推广为 ，需要指出的是， 和 是复数，它们不是 的实部和虚部，且 . 容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，. 证明：； 20.（单选）已知 i 是虚数单位，复数 在复平面内对应的点坐标为 ，，则 的虚部为（ 　　） A. i B. C. 1 D. 21.（多选）欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ 　　） A. 的虚部为 1 B. C. D. 考法10：复数的除法运算 22.（填空）已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿. 23.（多选）若复数 满足 ，复数 的虚部为 1，且 是实数，则（ 　　） A. 的实部是-2 B. 在复平面上对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数是 D. 复数满足 ，则 的最大值是 24.（解答）（已知我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 .）当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值. 25.（单选）已知复数 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 考法11：i的周期性应用 26.（填空）已知 是虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿. 27.（单选）若 i 为虚数单位，则复数 的虚部为（ 　　） A. B. 1 C. D. i 考法12：复数范围内解方程 28.（单选）已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ 　　） A. B. 3 C. 6 D. 7 29.（多选）已知 为关于 的方程 在复数范围内的一个根，则（ 　　） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于 的方程 的另一个根 30.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）试证明：方程 （，且 为偶数）在复数域内的所有解的和为 0. 考点4：复数的三角形式（选学） 考法13：将代数形式化为三角形式 31.（解答）（已知定义：复数 的三角形式为 ，其中 ， 是复数 的模， 是复数 的辐角，规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .）已知 ，求 . 考法14：利用棣莫弗定理求高次幂 32.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）已知复数的乘方运算满足 ，试求 在复数域中的所有解； 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题五：复数 考点1：复数的概念 2 考法1：复数分类的判定 2 考法2：复数相等的条件 2 考法3：求共轭复数 3 考点2：复数的几何意义 4 考法4：复数的模及其性质 4 考法5：复数在复平面内的对应点 6 考法6：复数模的几何意义 8 考法7：复数与向量的对应 9 考点3：复数的四则运算 9 考法8：复数的加减运算 9 考法9：复数的乘法运算 10 考法10：复数的除法运算 12 考法11：i的周期性应用 13 考法12：复数范围内解方程 14 考点4：复数的三角形式（选学） 15 考法13：将代数形式化为三角形式 15 考法14：利用棣莫弗定理求高次幂 15 注意事项 1. 本专题主要考查复数的概念、几何意义及四则运算. 2. 注意复数相等的条件及复数模的几何意义的应用. 3. 选学内容（复数的三角形式）根据教学要求选做. 1 2 3 4 5 ABD 见解析 BD 6 7 8 9 10 AC （1） ， （2） 见解析（3） B AD 11 12 13 14 15 ACD BC B BCD 16 17 18 19 20 B AC A 见解析 D 21 22 23 24 25 BCD 1 ACD A 26 27 28 29 30 0 A B AD 见解析 31 32 考点1：复数的概念 考法1：复数分类的判定 1.（填空）已知复数 为纯虚数，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由 为纯虚数，得 且 ，解得 . 【点拨】纯虚数的条件是实部为0且虚部不为0，两个条件必须同时满足. 2.（多选）设 ，则下列说法正确的是（ 　　） A. 当 时， B. 当 时， 的虚部是 C. ，使 是纯虚数 D. ， 所对应的点不会在复平面的第三象限 【答案】ABD 【解析】对于A，当 时，，所以 ，故A正确； 对于B，当 时，，所以 的虚部是 ，故B正确； 对于C，若 为纯虚数，则 且 ，解得 ，此时 ，即虚部也为0，此时 ，不是纯虚数，故C错误； 对于D，若 对应的点在复平面的第三象限，则 且 ，解得 ，又 ，所以不等式组无解，即 所对应的点不会在复平面的第三象限，故D正确. 【点拨】判断复数的分类和几何意义时，分别列出实部和虚部满足的方程或不等式组求解即可. 考法2：复数相等的条件 3.（解答）（已知欧拉公式在复数集内可推广为 ，且 . 两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.）若 ，令 ，证明：. 【答案】见解析 【解析】由题意知，， . 由 ， ，则 ， 又 ， 可得 . 又 ，， ∴ ，，即 ，. 由 ，整理得 . 【点拨】利用复数相等的条件，实部等于实部，虚部等于虚部，再利用三角恒等变换消去参数. 考法3：求共轭复数 4.（解答）已知复数 的共轭复数为 ， 在复平面内对应的点为 ， 为虚数单位.求复数 ； 【答案】 【解析】∵ 在复平面内对应的点为 ， ∴ ， ∴ . 【点拨】复平面内的点 对应的复数为 ，其共轭复数为 . 考点2：复数的几何意义 考法4：复数的模及其性质 5.（多选）已知复数 （i 为虚数单位），则下面结论正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】对于A，由 ，则 ，所以 ，故A错误； 对于B，，∴ ，故B正确； 对于C，，而 ，∴ ，故C错误； 对于D，由 ，则 ，，所以 ，故D正确. 【点拨】熟练掌握复数的四则运算和模的计算公式是解题的关键. 6.（填空）设复数 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设 ，所以 ，由 ， 所以 ， 因为 ， 所以 . 【点拨】利用复数相等的条件列出方程组，再结合代数式的展开即可求出差的模长. 7.（多选）设 是复数，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 【答案】AC 【解析】对于A，若 ，则 ，即 ，∴ 或 ，即 或 ，故A正确； 对于B，若 ，不妨设 ，则 ，但 ，故B错误； 对于C，若 ，则 ，即 ，故C正确； 对于D，若 ，则 ，而 ，故D错误. 【点拨】复数范围内，不能直接将实数的开方运算推广到复数，如选项D. 8.（解答）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 . （1） 设 ，，求复向量 与 的模； （2） 已知对任意的实向量 与 ，都有 ，当且仅当 与 平行时取等号； ①求证：对任意实数 ，，，，不等式 成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立； （3） 当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值. 【答案】（1） ， （2） ①见解析，取等条件为 且 ；②见解析 （3） 【解析】（1） ， . （2） ① 证明：设 ， 则 ，，， 因为对于实向量有 ， 所以 . 取等条件为 与 平行且同向，即 且 . ② 证明：设 ， ， . 因为 ， 所以 ，即 . （3） 结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数 ，使得 ， 根据题意，若复向量 与 平行， 则 ， 根据 中等号成立的条件， 应有 ，则 . 结合 ，得 ，解得 ； 所以 ，所以 . 【点拨】本题考查复数的新定义运算，利用复向量平行的定义，结合复数模的性质求解. 考法5：复数在复平面内的对应点 9.（单选）在复平面内， 对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 对应的点为 ， 则该复数对应的点位于第二象限. 【点拨】利用复数的除法法则化简复数，再根据复数的几何意义判断. 10.（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ 　　） A. 若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限 B. 若 ,则 C. 若 ，则 D. 复数 是方程 在复数范围内的一个解 【答案】AD 【解析】对于A中，若点 的坐标为 ，复数 ，可得 ，对应点在第三象限，所以A正确； 对于B中，由复数的几何意义，可得 表示复平面内点到原点的距离相等，不一定满足 ，所以B不正确； 对于C中，由复数的几何意义，可得 表示以原点为圆心，1为半径的圆，而 表示圆上的点到点 的距离，最大距离为3，最小距离为1，即 ，所以C不正确； 对于D中，由复数 ，可得 ，所以D正确. 【点拨】利用复数的几何意义及复数的运算进行判断. 11.（多选）已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ，则下列结论正确的是（ 　　） A. 点 的坐标为 B. C. 若 ，则 D. 【答案】ACD 【解析】A正确：因为 ，所以 的坐标为 ； B错误：，选项中为 ，故错误； C正确：一般情况有 ； D正确：. 【点拨】熟记复数的几何意义及共轭复数的性质. 12.（多选）设复数 在复平面内对应的点为 ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ 　　） A. 若 ，则 或 B. 若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为 C. D. 若 是实系数方程 的一个根，则 【答案】BC 【解析】对于A，例如：复数 ，可得 ，但不等于 或 ，A错误； 对于B，由复数的几何意义，可得 是以半径为1和半径为 的圆构成的圆环，其中圆环的面积为 ，所以B正确； 对于C，由虚数的运算性质：，可得 ，所以C正确； 对于D，由复数 是实系数方程 的一个根，可得复数 是实系数方程 的另一个根， 则 且 ，即 ， 所以 ，所以D不正确. 【点拨】利用复数的几何意义、周期性及实系数一元二次方程虚根成对定理进行判断. 考法6：复数模的几何意义 13.（单选）若 ，且 ，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若 ，且 ， 则 ， 即 ， 所以 . 【点拨】将复数代数形式代入模的公式化简即可. 14.（多选）已知 ， 为复数，则下列命题正确的是（ 　　） A. B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，令 ，则 ，，显然 ，故A错误； 对于B，若 ，则 ，故B正确； 对于C，若 ，则 ，故C正确； 对于D，设 ，则 ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故D正确. 【点拨】利用复数的代数形式设未知数，转化为三角函数求最值. 考法7：复数与向量的对应 15.（解答）四边形 是复平面内的平行四边形，，，， 四点对应的复数分别为 ，，，.求复数 ； 【答案】 【解析】复平面内 ，， 对应的点坐标分别为 ，，. 设 的坐标为 ，由于四边形 是复平面内的平行四边形，则 ， 所以 ， 所以 ，， 解得 ，，故 ， 则点 对应的复数 . 【点拨】利用平行四边形法则，转化为向量相等求解. 16.（单选）已知在复平面内， 为原点，向量 对应的复数分别为 ，，那么向量 对应复数的虚部为（ 　　） A. 1 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】由题意得 对应的复数为 ， 对应的复数为 ， 所以 对应的复数为 ， 所以向量 对应复数的虚部为 9. 【点拨】向量的减法对应复数的减法，注意虚部是实数，不带i. 考点3：复数的四则运算 考法8：复数的加减运算 17.（多选）已知复数 ，则下列复数中虚部为 0 的有（ 　　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】对于A，，虚部为0，故A正确； 对于B，，虚部为2，故B错误； 对于C，，虚部为0，故C正确； 对于D，，虚部为-1，故D错误. 【点拨】直接代入计算，注意实数的虚部为0. 18.（单选）复数 的虚部为（ 　　） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】，其虚部为 . 【点拨】复数的虚部是实数，不包含i. 考法9：复数的乘法运算 19.（解答）（已知欧拉公式 ，e 是自然对数的底，i 是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 . 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”. 当 时，得到等式 ，数学里最重要的五个常数 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美.）已知 ，欧拉公式在复数集内可推广为 ，需要指出的是， 和 是复数，它们不是 的实部和虚部，且 . 容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.证明：； 【答案】见解析 【解析】 . 所以 成立. 【点拨】利用定义将双曲函数转化为三角函数，再利用两角和的余弦公式证明. 20.（单选）已知 i 是虚数单位，复数 在复平面内对应的点坐标为 ，，则 的虚部为（ 　　） A. i B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】因为复数 在复平面内对应的点坐标为 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 则 的虚部为 . 【点拨】复数乘法运算后求共轭复数，再确定虚部. 21.（多选）欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ 　　） A. 的虚部为 1 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对于A，因为 ，所以 ，虚部为 ，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故D正确. 【点拨】利用欧拉公式将指数形式化为代数形式，再结合等比数列求和公式求解. 考法10：复数的除法运算 22.（填空）已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】1 【解析】因为 ， 所以 ， 所以 . 【点拨】先代入化简复数，再求模长. 23.（多选）若复数 满足 ，复数 的虚部为 1，且 是实数，则（ 　　） A. 的实部是-2 B. 在复平面上对应的点位于第四象限 C. 的共轭复数是 D. 复数满足 ，则 的最大值是 【答案】ACD 【解析】对于A，由 ，得 ，所以 ，实部是-2，故A正确； 对于B， 对应的点为 ，位于第二象限，故B错误； 对于C，设 ，则 ， 因为 是实数，所以 ，解得 ，即 ， 所以 的共轭复数是 ，故C正确； 对于D，设 ，由 得 ， 表示圆上的点到原点的距离，最大值为圆心到原点的距离加上半径， 即 ，故D正确. 【点拨】利用复数除法求出z1，再根据z1z2为实数求出z2，最后利用复数模的几何意义求最值. 24.（解答）（已知我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 .）当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值. 【答案】 【解析】结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数 ，使得 ， 根据题意，若复向量 与 平行， 则 ， 根据 中等号成立的条件， 应有 ，则 . 结合 ，得 ，解得 ； 所以 ，所以 . 【点拨】利用复向量平行的定义，结合复数模的性质求解. 25.（单选）已知复数 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】已知复数 ， 则 . 【点拨】先利用复数的除法法则化简复数，再求共轭复数. 考法11：i的周期性应用 26.（填空）已知 是虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】0 【解析】因为 ， 所以 . 【点拨】利用虚数单位i的周期性 计算. 27.（单选）若 i 为虚数单位，则复数 的虚部为（ 　　） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】由 ， 所以复数 的虚部为 . 【点拨】利用等比数列求和公式及虚数单位i的周期性化简. 考法12：复数范围内解方程 28.（单选）已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ 　　） A. B. 3 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】因为 是关于 的实系数方程 的一个根， 所以 也是该方程的一个根， 由韦达定理得 ，， 解得 ， 所以 . 【点拨】实系数一元二次方程的虚根成对出现，利用韦达定理求解. 29.（多选）已知 为关于 的方程 在复数范围内的一个根，则（ 　　） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于 的方程 的另一个根 【答案】AD 【解析】对于A，因为 ，所以 ，故A正确； 对于B，因为 是实系数方程 的一个根，所以另一个根为 ， 由韦达定理可得 ，解得 ，故B错误； 对于C，，不是纯虚数，故C错误； 对于D，实系数一元二次方程的虚根成对出现，所以另一个根为 ，故D正确. 【点拨】实系数一元二次方程的虚根成对出现，结合韦达定理和复数四则运算进行判断. 30.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）试证明：方程 （，且 为偶数）在复数域内的所有解的和为 0. 【答案】见解析 【解析】设方程 的 个根分别为 ， 则 ， 展开右边多项式，得 . 比较两边 的系数，因为 为偶数，，所以左边 的系数为0， 所以 ，即 . 所以方程 在复数域内的所有解的和为 0. 【点拨】利用代数基本定理和多项式恒等定理（韦达定理）求解. 考点4：复数的三角形式（选学） 考法13：将代数形式化为三角形式 31.（解答）（已知定义：复数 的三角形式为 ，其中 ， 是复数 的模， 是复数 的辐角，规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .）已知 ，求 . 【答案】 【解析】因为 ， ， 所以 . 所以 . 【点拨】利用诱导公式将复数化为三角形式，再利用复数乘法的三角形式运算法则求解. 考法14：利用棣莫弗定理求高次幂 32.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）已知复数的乘方运算满足 ，试求 在复数域中的所有解； 【答案】 【解析】设 ， 则 . 又 ， 所以 ，， 解得 ，. 当 时，，； 当 时，，； 当 时，，. 所以方程 在复数域中的所有解为 . 【点拨】利用复数的三角形式及棣莫弗定理，将方程转化为三角方程求解. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $