命题大赛 湖南省长沙市高二数学2025-2026学年下学期期末测试

**基本信息** 覆盖必修与选必核心知识，通过函数零点、立体几何动点等问题考查数学思维，结合新能源汽车统计情境体现应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、向量、复数、函数奇偶性与对称性|基础概念辨析，如第4题结合奇函数与对称性考查抽象函数求值| |多选题|3/18|三角函数性质、等差等比数列、正方体动点|第11题以正方体为载体，考查空间轨迹与距离，体现几何直观| |填空题|3/15|二项式定理、导数切线、抛物线焦点|第13题通过切线与曲线交点问题，考查导数几何意义| |解答题|5/77|解三角形、立体几何二面角、统计回归、椭圆综合、函数导数|第17题以碳中和新能源汽车为背景，融合回归方程与概率分布，体现数学语言表达现实世界；第19题导数综合题分层设计，考查逻辑推理与创新意识|

湖南省长沙市高二数学下学期期末测试细目表 考查范围：必修一二三及选必一二三 题号 题型 分值 知识点 预估难度系数 1 单选题 5 集合运算 0.9 2 单选题 5 平面向量线性运算的坐标表示,向量模的坐标表示,由向量共线（平行）求参数 0.85 3 单选题 5 复数的除法运算,求复数的实部与虚部 0.85 4 单选题 5 函数奇偶性的应用,对称性，周期性的应用 0.7 5 单选题 5 ，求数列的通项公式及前n项和 0.68 6 单选题 5 求零点的和的取值范围，基本不等式，对勾函数 0.68 7 单选题 5 轨迹问题，两圆上的动点的距离最值问题 0.5 8 单选题 5 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 0.4 9 多选题 6 求正弦（型）函数的对称轴及对称中心,由图象确定正（余）弦型函数解析式,求含sinx(型)函数的值域和最值 0.8 10 多选题 6 等差数列与等比数列通项及前n项和与抛物线焦点弦有关的几何性质,直线与抛物线交点相关问题,抛物线定义的理解 0.75 11 多选题 6 立体几何中的动点的轨迹问题,点到平面的距离，线段和的最值问题 0.45 12 填空题 5 求指定项的系数,二项展开式各项的系数和 0.8 13 填空题 5 求在曲线上一点处的切线方程（斜率），二次方程的根的个数问题 0.68 14 填空题 5 抛物线的定义及性质，焦半径公式 0.5 15 解答题 13 和、差角的正弦公式,正弦定理边角互化，余弦定理解三角形，三角形面积公式 0.68 16 解答题 15 线面垂直的判定定理,两平面夹角的向量求法,面面垂直的性质定理 0.6 17 解答题 15 非线性回归模型，离散型随机变量的分布列及均值,条件概率及全概率公式 0.5 18 解答题 17 椭圆的标准方程,椭圆中的最值问题,坐标法证明垂直关系 0.45 19 解答题 17 利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式 0.3 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市高二数学下学期期末测试 考查范围：必修一二三及选必一二三 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则-1的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．设是定义在上的奇函数，且的图象关于(1,0)对称，当时，，则（    ） A． B．1 C． D．7 5．已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线：与直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，点D是线段的中点.则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左右焦点分别为为右支上一点，的垂直平分线过点，线段与轴交于点，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列关于该函数的说法正确的有（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 10．设正项数列的前n项和是，且，，下列选项中正确的有（     ）． A．若是等差数列，则 B．若是等比数列，则 C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则 11．如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D．若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数________． 14．已知O为坐标原点,抛物线 的焦点为 , 为 上两点,且 －4.若的最小值为 ,则 _____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(13分)在锐角中，角所对的边分别为为边上一点，且平分． (1)求证：； (2)若，求的值． 16．(15分)如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围. 17．(15分)随着“碳中和”战略的推进,某市新能源汽车保有量逐年攀升.为了研究该市新能源汽车保有量 (单位：万辆)与年份代码 之间的关系,统计了该市 2016 年至 2025 年(年份代码 分别为 1 至 10)的数据. 经初步处理,得到如下统计量的值： ，，，，其中 表示 的自然对数. (1)根据散点图分析,发现y与x之间不适宜建立线性回归方程,但z=lny与x具有较强的线性相关性,请利用最小二乘法,建立y关于x的回归方程 (系数精确到 0.01)； ( 2 )该市某社区计划推广“绿色出行”活动,拟从报名的4名燃油车车主和2名新能源车车主中,随机抽取3人组成宣讲团.设抽取的3人新能源车车主的人数为随机变量 ,求的分布列与数学期望； (3) 为了进一步提升服务质量,该社区对宣讲团成员进行培训考核.已知新能源车车主考核合格的概率为 ,燃油车车主考核合格的概率为,且各人考核是否合格相互独立.求抽取的宣讲团成员中,恰好有2人考核合格的概率. 附： 对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 18．(17分)已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. (1)求椭圆方程的标准方程； (2)证明； (3)求的最大值． 19．(17分)已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：； (3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $湖南省长沙市高二数学下学期期末测试答案及解析 考查范围：人教A版必修一，二，三及选必一，二，三 题号 1 2 3 4 5 6 8 10 答案 Y D A A D B D A ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1.A 【详解】A={x-4<x<3},而B={xxeZ且x>0},可得AnB={1,2.故选：A 2.D 【详解】向量=(x,2列与5=(1，-共线，可得x--2x1=0,解得r=-2, 所以a=（-2,2),则ā-=(-3,3)，所以a-=-V-3)2+32=32故选D 3.A 【详解】由题意可得：=3+41_(3+42+1_2+1i2+号1，故z-1=-3, 2-i(2-i)(2+i)555 55 故复数。1的定部为号减造A 4.A 【详解】因为f(x是定义在R上的奇函数，且且f(x)的图象关于(1,0对称， 所以f(x+2)=-f(-x)，因为f(-x)=-f(x,所以f(x+2)=f(x), 所以)3+2》- 因为当0<x<1时，f=4-山，所以f日=4-1=2-1=1，所以f 3 =-1.故选：A 5.D 【详解】当n=1时，a2+2S,=2+1,因为S=a,=1,所以a2=1 当n≥2时，由a1+2Sn=2n+1,得an+2Sn-1=2n-1, 两式相减可得1-a,+2a,=2,即a,+a1=2n≥2) 所以an1+an2=2,故an2-a,=0,即a42=a,(n2之2， 因为S2=2,所以a,=5-2S2=1,所以a,=a=a=…=1, 答案第1页，共2页 02=a4=a6=…=1' 所以an=1,所以S6=2026.故选：D 6.B 【详解】g(f(x)》=f(x)-k,令g(f(x》=0,得f(x)=k, 函数g(f(x)有4个不同的零点，即f(x)=k有4个不同的根； 根据题意，作出f(x)的图像，如图 明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有x+x2=-2,x=1, 因为x4>3>0,故x3+x4>2√x3x4=2, 令g,州=l,得x-=或r=9, x+x,=x+1在1 上单调递减， X: 9 1 所以x+x4=x3+。 9*982 x3 9 又因为x1+x2+x+x4=-2+X3+x4, 则4>2+5+飞>0 9 故，+名+考+x的取值范围为0,64 故选：B 7.D 【详解】由题意得圆C的圆心为-1，-1)，半径r=2,易知直线：mx-y-3m+1=0恒过 点M(3,1, 直线Z:x+my-3m-1=0恒过N(1,3),且4⊥l2,:P的轨迹是以MN为直径的圆， :点P的轨迹方程为(x-2)+(y-2=2,圆心为2,2)，半径为√2， 答案第1页，共2页 若点D为弦AB的中点，位置关系如图： B 连接CD,4=25,易知CD=4-(V°=1 PDlx=PCLx+|CD=V32+32+V2+1=4W2+1,此时P,C,D三点共线且C在线段PD 上，故选：D 8.A 【详解】设焦距FF,=2C,因为MF的垂直平分线过点F,所以 F F2 MF =2c, 因为4MN=3NF,所以 子- 过M作MP垂直x轴，交x轴于点P,则△NFO∽aMFP, P明子则P=华所以0A-e NFOF c 4 所以 4, 则MP=MRP-PgT-I5c,即M3e,e 4 4’4 因为点M在双曲线E上，所以9c-15c 16a2166=1, b2 0e2-1, 因为离心率e三=+乏>1，听以、 则9e2-15e2 =16,整理得9e4-40e2+16=(e2-4)9e2-4)=0, e2-1 解得e=4或C=4(舍》，所以e=2故选：A 9.ABC 【详解】对于A,f(x的最小正周期为T=2=元，故A正确， 2 答案第1页，共2页 团于B,令2x:中红keZ,解得x=发于>，令0得xs沉 4 81 故f(x的图象关于直线x 3弧对称，故B正确， 对于C令-受+2a≤2r-子经+2akeZ列，解得+a≤x≤经+akeZ, 42 8 令=0得-音≤受，放在区-88 π3π 8 上单调递增，故C正确， 对于D,y=sin2x的图象向左平移亚个单位得到y=sin cos2x,故D错误 10.ACD 【详解】对于A若0是等差数列，：4-1,4=20，则9与=时-空=100 2 故A正确； 对于B,若{a是正项等比数列，4-1,0，=20，则4=44，→4-g-20=400, 41 故B不正确； 对于C,若{S,}是等差数列，则S,+S,=2S,即a1+(a1+a2十a3)=2(a1十a2), a2=a3=20,故C正确： 对于D,若{S,}是等比数列，则S,S,=S,即1(a1十a2十g)=(a1十a2)2 ..aa3=a'az+az, 又因为4=1，a=20,a2>0 .a2+a2-20=0,解得a2=4,.S2=a1+a2=5,故D正确 11.ACD 【详解】选项A,当点E在线段CD上时，连接BC, 在正方形BCCB中，对角线BC⊥BC1, 又AB⊥平面BCCB,BCc平面BCCB,所以AB⊥B,C, 于是B,C垂直于平面ABC,D,内的两条相交直线AB和BC, 故BC⊥平面ABC,D,,而AEc平面ABC,D,,因AE⊥B,C,A正确： 答案第1页，共2页 D B 选项B,当点E在线段D,C上时，将平面D,B,C沿直线D,C翻折， 使得A,D,B,C四点共面，由△AD,C和△CDB,均是边长为2√2的等边三角形， 故AE+EB,≥AB,=2V6,B错误； D 选项C,当点E是线段CC,中点时，设点E到平面DFC,的距离为h, 则V-DBC=31 4D=×5x2x1x2= 32 3 1 又r-a='sms=5.rch,则S.rh=2, 又DF=V22+1=V5,DC=2V2,FC=V+22+22=3, 由余弦定理得c0s∠CDF:,5+8-9.1 2xV5x2W210' 所以in2CD=扁·所以5g方25x5x品=3，散6=子，c正确： v10 3 D B 选项D,取DC,C,C,DD的中点O,N,M, 连接OF,OM,ONMF,易知0F10M,0F=2,0M=5,则MF=V6 由EF=√6得点E在以O为圆心、√2为半径的圆上，点E的轨迹为圆弧MN, 答案第1页，共2页 易知∠MON=否，所以点E的轨迹长为三元，D正确 2 D 12.15 【详解】 的展开式项公式为。=C一 =C53rx-2r, 令5-2r=3,则r=1, 所以x+3 的展开式中x的系数是C,×3=15. 13.2或4 【详解】因为y=x+x,则y=1+上，当x=1时，y=2, 则曲线y=x+lnx在点(1,1处的切线为y=2(x-1)+1=2x-1, 令+a-小x子2x-1,可得2+a-3列x+-0, 因为切线y=2x-1与曲线y=+口-训x-只有一个公共点， 即方程x+a-3列x+=0有唯一解， 4 则△=(a-3)2-1=0,解得a=2或a=4. 14.6 【详解】由抛物线定义，|FA|=X4十1，|FB|=xg+1,因此 FA+FB=XA+XB+2, 设A等y),(翠y),由OA0市=-4有：（得）（臂）+yy2=-4, 化简得： g+y2+4=0即(y:+8)2=0故yy2-8。 所以x4十xg=学+翠=Ψ≥华=4，当且仅当y,=y=2反时，等号成 立 答案第1页，共2页 因此FA+|FB|=X4+xB+2≥4+2=6， 故|FA+FB|的最小值m=6· l5.【详解】(1)由sinA=sinπ-B-C)=sinB+C)=2sin2C-sinB-C), sinBcosC cosBsinC 4sinCcosC-sinBcosC cosBsinC, 则sinBcosC=2 sinCcosC,…4分 因为在锐角ABC中，cosC>0,则sinB=2sinC, 由正弦定理得b=2c.…6分 (2)因为∠BAC为三角形内角，故sin∠BAC=V-cos∠BAC= 4 由AD平分∠BAC得sin∠CAD=sin∠BAD= 1-COsZ BAC6 …8分 2 4 由S△ABc=S△4CD+S△BAD得， 4B:sin∠BAC=AC~AD.sin∠CAD+AD,AB:si 所以g2ce-号2cD65cn6 .…l0分 42 42 4 解得AD=0 3 由cos∠B4C-6+c2-a-1得5c_=1,所以a=2c.…12分 2bc 41 4c24 √10 所以D3C- …13分 BC 2c 6 16.【详解】(1)在梯形ABCD中，因为ABIICD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60 所以AB=(1×c0s60）×2+1=2,所以AC2=AB2+BC2-2AB.BC.cos60°=3， 所以AB2=AC2+BC2,所以BC⊥AC.…4分 因为平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE平面ABCD=AC, 因为BCC平面ABCD,所以BC⊥平面ACFE.7分 (2)由(1)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角 坐标系，令FM=(0≤元≤√5，则C(0,0,0,AV3,0,0,B(0,1,0),M(2,0,1. AB=(-V3,1,0),BM=(2,-1,1).9分 设i=(x,y,z)为平面MAB的一个法向量， 答案第1页，共2页 由 i·AB=0-V5x+y=0 BM=0x-y+2=0 取x=1,则方=山，5,5-2， :m=(1,0,0是平面FCB的一个法向量 .cos0=In.m 1 1 nm+3+5-×1a-+4,…l3分 :0≤元≤5，：当元=0附，c0s0有最小值万 当元=V5时，cos0有最大值； 71 .cos0∈ 7’2 …15分 M E 、D A2 17.【详解】（①）令z=ny,则z与x建立线性回归模型含=a+6x 24=5,2%=120,】 1 n%=255:含=35，上n%=1o05,灰中ay表示y 的 由 题 意 可 知 x=5.5,z=2.55 96s--9-10a2=385-10×5.52=825 6x-2,-司=x名-10x2=160,5-10×55×255=2025,所以 6=器≈0.25，含=元-6x=255-0.25×55=1175≈1,18，所以z关于x的 线性回归方程为≥=1.18+0.25x，即y关于x的回归方程为： 分=e118+025x,，…4分 (2)由题意，总人数为6人(4名燃油车主，2名新能源车主)，从中抽取3人， 随机变量X表示抽取的新能源车主人数，X的可能取值为0,1,2，…5分 P(x=0)-器=”= P(X=1)=罗=0=目 P(X=2)-等=等=专 X的分布列为： 答案第1页，共2页 X 0 1 2 3 5 5 数学期望E(X=0×青十1×目+2×吉=1.…9分 (3)设事件A为“抽取的宣讲团成员中恰好有2人考核合格”， X表示抽取的新能源车主人数， 则P(AX=0)=C()()=是， P(A1X=1)=星×c()()+(1-)×c)2=6, P(AX=2)=()×(1-)+c()()×克=， …12分 所 以 P(A=P(X=0)P(A|X=0)+P(X=1)P(A|X=1)+P(X=2)P(AX=2) ×+×6+×》=, 故抽取的宜讲团成员中恰好有2人考核合格的概率为哥.…15分 9 b 1 a=3v2 18.【详解】(1)由己知得 a2-b21’解得 b=3 (a2 2 因此椭圆C的方程为； =1;…4分 189 x2,y2 （2)由18+91，整理得2+1r2-4-16=0, y=x-1 M 4k -16 设A,小B(x小，则x+x=22+'2+' …7分 答案第1页，共2页 因为MAMB=xx2+(y-3(2-3)=xx2+(k-4)(2-4), -16k2+1 =2+xx-4(++16=22+1 2-4k 4k+16=0: 2k2+1 所以MA⊥MB;…l0分 (3)设d为点M到直线l的距离，故MAMB曰ABd, 又因为d=F+1 4 1A8=V+k儿s+,广-4] 4k (2k2+1 4V1+k2)(9k2+4 …14分 2k2+1 所以1MA-MB16N9k+4 2k2+1 设1=2+1，则MAM8l=1682i2) 819,由于0,1， 所以MA-MBIs32,当=，即k=0时，等号成立 因此，MAMB|的最大值为32.…17分 19.【详解】1)函数（到的定义域为0，+x,=+2x=a+2 ①当a≥0时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增， ②当a<0时令f八=0，解得x=号 时，0，所以在 当0<x<V厂2 上单调递减； 当x>厂2 时，f(x)>0,所以f(x)在 上单调递增. 综上，当a≥0时，函数f(x在(0，+o）上单调递增： 当a<0时，函数在0号上单调减在受+上单调增：…6分 (2)证明：当a=1时，fx)=lnx+x2, 答案第1页，共2页 要证明f(x)≤x2+x-l,即证lnr≤x-1,即lnx-x+1≤0， 设gx)=lnr-x+1,则g(x=-x,令gx=0得，x=1. 当x∈0,1时，g'(x)>0,当x∈(1，+0)时，g'(x<0,9分 所以x=1为极大值点，也为最大值点。 所以g(x≤g(1=0,即Inr-x+1≤0.故f(x)≤x2+x-1;…11分 (3)证明：由(2)知lx≤x-1(当且仅当x=1时等号成立)， 片则} ，13分 n 1,1 +1=+…+L-11-1<1=ne,15分 1x22x3+…+nn-i223 n-l n 即m+++-+)小水c， 所以个++1+-+小e.7分 答案第1页，共2页