2026年中考数学终极冲刺02：方程与不等式专项（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“方程与不等式”核心模块，覆盖一元一次方程、二元一次方程组等六大考点，构建“考情分析-核心知识-题型突破-真题演练”复习体系，通过概念辨析、解法归纳、实际应用建模等环节帮助学生夯实基础、突破中档综合题。 亮点在于“解题策略模块化”设计，如分式方程强调“去分母-检验-实际意义双重验证”，一元二次方程突出因式分解优先和韦达定理应用，培养学生运算能力与推理意识。通过“典例解析+变式训练+中考真题”三级实战，配合参数讨论、方案选择等高频题型突破，帮助学生高效掌握方程与不等式工具性作用，教师可依托此资料精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺02 方程与不等式 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 方程与不等式是中考核心必考模块，整体分值占比约 12%-18%。题型分布全面，常见于选择、填空、计算解答、实际应用题，出题频次稳定，难易梯度分明。基础题型侧重概念辨析、方程不等式求解，难度偏小，属于必拿基础分；中档题结合参数取值、解集分析考查；高频考点为实际应用问题，结合生活场景列方程或不等式解题。本板块知识衔接函数、几何计算等内容，是解决综合题型的重要工具。考题注重考查列式建模、运算求解、分类讨论能力，应用题区分度较强，也是拉开基础分数的关键部分。 2、核心考查内容： 一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（组）、方程与不等式综合。 （1）一元一次方程：考查方程定义判定，掌握移项、去分母等求解步骤，利用方程解决基础列式计算与简单实际问题。 （2）二元一次方程组：运用代入消元、加减消元法解方程组，结合实际情境列方程组，求解数量相关实际应用题。 （3）分式方程：掌握分式方程求解流程，着重检验增根情况，求解方程并运用分式方程解决生活实际问题。 （4）一元二次方程：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程，考查根的判别式、根与系数关系及实际应用。 （5）一元一次不等式（组）：求解单个不等式与不等式组，在数轴表示解集，根据取值范围求整数解，分析参数取值问题。 （6）方程与不等式综合：融合各类方程、不等式知识点，结合参数讨论、方案选择、最值问题，综合列式求解并解决复合型应用题。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】一元一次方程 1.去分母每项都乘最小公倍数，不漏乘常数项； 2.去括号遇负号，内部全部变号； 3.实际问题找准等量关系，设小不设大，列式简洁。 【典例1】（2026·陕西西安·二模）一件衣服在进价的基础上提高标价，再打8折出售仍可获利18元，则这件衣服的进价为______元． 【变式1】（2026·山东济南·二模）小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【题型二】二元一次方程组 1.系数有±1用代入法，系数相同 / 相反用加减法； 2.无解：系数成比例，常数不成比例； 3.方案题结合整数取值，筛选合理答案。 【典例2】（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）扩音器是校园常见的教学设备，既能辅助教师授课，又能提升课堂效率，某中学教务处为教师购置甲、乙两种扩音器．已知每台甲扩音器的进价比每台乙扩音器的进价少30元，购进3台甲扩音器，2台乙扩音器共需310元．求每台甲扩音器和每台乙扩音器的进价分别是多少元？ 【题型三】分式方程 1.先去分母化为整式方程，算出答案必须检验； 2.增根：使分母为 0 的根，代入整式方程求参数； 3.应用题双重检验：方程解 + 实际意义。 【典例3】（2026·河南平顶山·二模）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 【变式3】（2026·湖南长沙·模拟预测）“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 【题型四】一元二次方程 1.能因式分解绝不套公式，计算更快； 2.Δ=b2−4ac：Δ＞0 两不等实根，Δ＝0 两相等实根，Δ＜0 无实根； 3.韦达定理只代入系数，不解方程，快速求值； 4.增长率固定公式：a(1±x)2=b。 【典例4】（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【变式4】（2026·广西南宁·二模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【题型五】一元一次不等式（组） 1.两边同乘除负数，不等号方向必须反转； 2.不等式组解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了； 3.数轴表示：空心不含等号，实心含等号； 4.参数题先解不含参不等式，再锁定边界分类讨论。 【典例5】（2026·安徽阜阳·二模）已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26八年级下·山东青岛·期中）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元． (1)求A，B两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【题型六】方程与不等式综合 1.先解方程，再代入不等式限制范围； 2.数形结合，看函数图像高低判断不等关系； 3.大题步骤写完整，取值、取舍规范，稳拿步骤分。 【典例6】（2026·广东东莞·二模）木棉花是广东省花，早期民间应用（清代及以前）木棉花作为药食同源的植物，最早在岭南民间被广泛使用．清代何克谏的《生草药性备要》中明确记载木棉花“治痢症，祛湿热”，表明当时人们已认识到其清热利湿的功效，并开始将其用于缓解湿热引起的腹泻、痢疾等症状．某药店经营的木棉花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的木棉花全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种木棉花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【变式6】（2026·宁夏吴忠·二模）【综合与实践】 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓展应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，若定价为18元，则日销售量为54盆， ①小莹妈妈要想每天获得400元的利润，应涨价多少元？ ②涨价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润是多少？ 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 5．（2020·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 6．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形 10．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 11．（2019·辽宁抚顺·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 12．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分． 14．（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 15．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____． 16．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 17．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 18．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 19．（2016·山东青岛·中考真题）（1）化简：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $中考数学终极冲刺，全力以赴，备战中考！ 中考数学终极冲刺02 方程与不等式 中考全国考情分析 A B C LOREM LOREM LOREM 1、 考察方向与分值占比： 方程与不等式是中考核心必考模块，整体分值占比约 12%-18%。题型分布全面，常见于选择、填空、计算解答、实际应用题，出题频次稳定，难易梯度分明。基础题型侧重概念辨析、方程不等式求解，难度偏小，属于必拿基础分；中档题结合参数取值、解集分析考查；高频考点为实际应用问题，结合生活场景列方程或不等式解题。本板块知识衔接函数、几何计算等内容，是解决综合题型的重要工具。考题注重考查列式建模、运算求解、分类讨论能力，应用题区分度较强，也是拉开基础分数的关键部分。 2、核心考查内容： 一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（组）、方程与不等式综合。 （1）一元一次方程：考查方程定义判定，掌握移项、去分母等求解步骤，利用方程解决基础列式计算与简单实际问题。 （2）二元一次方程组：运用代入消元、加减消元法解方程组，结合实际情境列方程组，求解数量相关实际应用题。 （3）分式方程：掌握分式方程求解流程，着重检验增根情况，求解方程并运用分式方程解决生活实际问题。 （4）一元二次方程：熟练运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程，考查根的判别式、根与系数关系及实际应用。 （5）一元一次不等式（组）：求解单个不等式与不等式组，在数轴表示解集，根据取值范围求整数解，分析参数取值问题。 （6）方程与不等式综合：融合各类方程、不等式知识点，结合参数讨论、方案选择、最值问题，综合列式求解并解决复合型应用题。 核心知识点及具体题型 A B C LOREM LOREM LOREM 【题型一】一元一次方程 1.去分母每项都乘最小公倍数，不漏乘常数项； 2.去括号遇负号，内部全部变号； 3.实际问题找准等量关系，设小不设大，列式简洁。 【典例1】（2026·陕西西安·二模）一件衣服在进价的基础上提高标价，再打8折出售仍可获利18元，则这件衣服的进价为______元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，解题的关键是根据利润公式找到等量关系，列出方程求解． 设进价为未知数，先根据进价表示出标价和售价，再根据“利润=售价-进价”列方程求解． 【详解】解：设这件衣服的进价为元， 则标价为元，售价为元． 根据题意，得， 解得． 【变式1】（2026·山东济南·二模）小王同学从家出发，步行到离家1200米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_____分钟． 【答案】3 【分析】由图象得出小王走完全程1200米用了12分钟．爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家．进而求出各自的速度，再利用行程问题求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小王走完全程1200米用了12分钟．小王的速度（米/分钟） 爸爸在小王出发4分钟后才出发，在小王到达终点（第12分钟）时，爸爸正好回到家． 说明爸爸往返一共用了：（分钟）． 因为往返速度一样，所以爸爸单程（家到公园）用了：（分钟）． 爸爸的速度 （米/分钟） 设第一次相遇时小王走了分钟，依题意得： 解得：，． 设第二次相遇时小王走了分钟，依题意得：， 解得： 两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 【题型二】二元一次方程组 1.系数有±1用代入法，系数相同 / 相反用加减法； 2.无解：系数成比例，常数不成比例； 3.方案题结合整数取值，筛选合理答案。 【典例2】（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）扩音器是校园常见的教学设备，既能辅助教师授课，又能提升课堂效率，某中学教务处为教师购置甲、乙两种扩音器．已知每台甲扩音器的进价比每台乙扩音器的进价少30元，购进3台甲扩音器，2台乙扩音器共需310元．求每台甲扩音器和每台乙扩音器的进价分别是多少元？ 【答案】每台甲扩音器和每台乙扩音器的进价分别是50元、80元 【分析】设每台甲扩音器的进价为元，每台乙扩音器的进价为元，每台甲扩音器的进价比每台乙扩音器的进价少30元，购进3台甲扩音器，2台乙扩音器共需310元．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设每台甲扩音器的进价为元，每台乙扩音器的进价为元， 由题意可得，， 解得， 答：每台甲扩音器和每台乙扩音器的进价分别是50元、80元． 【题型三】分式方程 1.先去分母化为整式方程，算出答案必须检验； 2.增根：使分母为 0 的根，代入整式方程求参数； 3.应用题双重检验：方程解 + 实际意义。 【典例3】（2026·河南平顶山·二模）甲、乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同施工40天，总工程才全部完成，请解答下面的问题． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天? (2)甲队一天施工需要各项支出10000元，乙队一天施工需要各项支出4500元，如果两队单独施工且一共施工130天，怎样安排施工任务，最节省开支?最少开支是多少元? 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天 (2)安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元 【分析】（1）首先根据甲队30天完成 的工作量，确定甲队单独完成需90天，进而得出甲的工作效率。设乙队单独完成需 天，根据“甲先做30天，甲乙再合做40天完成全部工程”的等量关系列出分式方程，解方程并检验即可得出乙队单独完成所需天数； （2）设甲队施工 天，则乙队施工 天，根据“两队工作量之和不少于1”的条件确定 的取值范围，建立总支出 关于 的一次函数关系式，利用一次函数的增减性（时随增大而增大），确定当取最小值时总支出最少，从而得出最优施工安排及最少开支． 【详解】（1）解：甲队单独施工1个月（30天）完成总工程的， 因此甲队单独完成这项工程需（天），甲队单独施工1天完成总工程的． 设乙队单独完成这项工程需x天，，解得． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需180天． （2）解：设甲队单独施工t天，则乙队单独施工天． 根据题意得，解得． 设总支出为y元，则． 因为，所以y随t的增大而增大， 所以时，y最小，此时，（天）． 答：安排甲队单独施工50天，乙队单独施工80天最节省开支，最少开支为860000元． 【变式3】（2026·湖南长沙·模拟预测）“湘超联赛”是我省今年最火爆的足球赛事，全省各地、州、市都积极参与，拉拉队也炫动全场．某拉拉队在第一场比赛中用600元在商场里购买了助威小喇叭，在半决赛中由于参加人员增加，又在同一商场花1000元购买同款小喇叭．已知第二次购买的数量是第一次购买的两倍，且第二次购买的单价比第一次便宜1元． (1)求该拉拉队两次购进这款小喇叭各多少个？ (2)若商场两次售出的小喇叭进价一样，要使两次售出的总利润不低于400元，则每个小喇叭的进价最多为多少元？ 【答案】(1)第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； (2)每个小喇叭的进价最多为4元． 【分析】（1）设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个，根据第二次购买的单价比第一次便宜1元建立方程求解即可； （2）设每个小喇叭的进价为m元，根据两次售出的总利润不低于400元建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进这款小喇叭x个，则第二次购进这款小喇叭个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一次购进这款小喇叭100个，则第二次购进这款小喇叭200个； （2）解：设每个小喇叭的进价为m元， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为4， 答：每个小喇叭的进价最多为4元． 【题型四】一元二次方程 1.能因式分解绝不套公式，计算更快； 2.Δ=b2−4ac：Δ＞0 两不等实根，Δ＝0 两相等实根，Δ＜0 无实根； 3.韦达定理只代入系数，不解方程，快速求值； 4.增长率固定公式：a(1±x)2=b。 【典例4】（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义运算整理出关于的一元二次方程，结合方程无实数根得到根的判别式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 可得关于的方程为， 整理为标准一元二次方程形式得， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 【变式4】（2026·广西南宁·二模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)1 (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解：（方法一）：， ， ， ， ，． （方法二）：， ， 或， ，． 【题型五】一元一次不等式（组） 1.两边同乘除负数，不等号方向必须反转； 2.不等式组解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了； 3.数轴表示：空心不含等号，实心含等号； 4.参数题先解不含参不等式，再锁定边界分类讨论。 【典例5】（2026·安徽阜阳·二模）已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件做等量代换，逐一推导各选项的正误即可，解题关键是利用消元，代入不等式推导结论． 【详解】解：，， ，故选项A正确，不符合题意； 由得，代入， 得 ，故选项B正确，不符合题意； ，代入，得， ，即，故选项C错误，符合题意； 由以上推导可知，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，故选项D正确，不符合题意． 【变式5】（25-26八年级下·山东青岛·期中）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售A，B两种配件．已知购进40件A配件和100件B配件需支出成本16000元；购进30件A配件和30件B配件需支出成本9300元． (1)求A，B两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进A，B两种配件共300件，B配件进货件数不低于A配件件数的2倍．据市场销售分析，A配件提价销售，B配件按进价的倍销售．怎样安排A，B两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 (2)购进A配件100件，B配件200件，能让本次销售的利润达到最大，且最大利润为11000元 【分析】（1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进40件配件和100件配件需支出成本16000元；购进30件配件和30件配件需支出成本9300元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的2倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【详解】（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； （2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的2倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件200件． 【题型六】方程与不等式综合 1.先解方程，再代入不等式限制范围； 2.数形结合，看函数图像高低判断不等关系； 3.大题步骤写完整，取值、取舍规范，稳拿步骤分。 【典例6】（2026·广东东莞·二模）木棉花是广东省花，早期民间应用（清代及以前）木棉花作为药食同源的植物，最早在岭南民间被广泛使用．清代何克谏的《生草药性备要》中明确记载木棉花“治痢症，祛湿热”，表明当时人们已认识到其清热利湿的功效，并开始将其用于缓解湿热引起的腹泻、痢疾等症状．某药店经营的木棉花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的木棉花全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种木棉花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】(1) 全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 (2) 本次采购的最少花费为6700元 【分析】（1）利用总价、单价、数量的关系，根据两种茶的盒数差列分式方程求解； （2）先根据题目的不等关系得到自变量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出最小花费． 【详解】（1）解： 设花瓣茶每盒的价格为元，则全花茶每盒的价格为元， 根据题意得 解得 检验: 当时，， 所以是原分式方程的解 答：全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元； （2）解：设购进花瓣茶盒，总花费为元，则购进全花茶盒， 根据题意得 解得 因为是非负整数， 所以的最大值为 总花费 因为， 所以随的增大而减小 当时，取得最小值， （元） 答：本次采购的最少花费是6700元． 【变式6】（2026·宁夏吴忠·二模）【综合与实践】 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓展应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，若定价为18元，则日销售量为54盆， ①小莹妈妈要想每天获得400元的利润，应涨价多少元？ ②涨价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)售价每涨价1元，日销售量减少2盆，日销售量与售价的关系式为y=-2x+90 (3)①应涨价7元或17元．②涨价12元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元． 【分析】（1）将已知数据按照售价从小到大排序整理即可； （2）观察整理后的数据变化，总结日销售量和售价的变化规律； （3）①设涨价为a元，根据利润为400元列出一元二次方程求解； ②列出利润关于涨价a的二次函数解析式，利用二次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：将数据按售价从小到大顺序整理如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 （2）解：观察整理后的数据可得，售价每增加2元，日销售量减少4盆， 即售价每涨价1元，日销售量减少2盆， 设售价为元，日销售量为盆， 则可得 （3）解：①设涨价元， 由题意得，每盆利润为元，日销售量为盆， 因此， 整理得， 解得， 答：应涨价7元或17元． ②设每天获得的利润为元， 由题意得， 配方得， ， 当时，取得最大值，最大值为． 答：涨价12元时，每天能够获得最大利润，最大利润是450元． 链接中考 A B C LOREM LOREM LOREM 1．（2025·四川雅安·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】一元二次方程有两个实数根需要满足两个条件：二次项系数不为0，且根的判别式，据此列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且． 2．（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解． 设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率． 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 5．（2020·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 6．（2025·四川·中考真题）《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 7．（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 9．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．一件衣服降价20%后又提价20%，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定，多边形的外角与内角和问题，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 若，且，则，故该选项不正确，不符合题意； B. 设原价为元，则提价%后的售价为：元； 后又降价的售价为：元． 一件衣服降价后又提价， 这件衣服的价格相当于原价的，故该选项不正确，不符合题意； C. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，相等的边不一定对应，故该选项不正确，不符合题意； D.设这个多边形的边数为， ∴由题意得：， ， ， 即这个多边形的边数是6；故该选项正确，符合题意； 故选：D． 10．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 11．（2019·辽宁抚顺·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负，据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得，即， ∴且． 故答案为：且． 12．（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 13．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 14．（2024·陕西·中考真题）如图，点和点在同一个反比例函数的图象上，AC和BC分别垂直于x轴和y轴．若的面积为32，则k的值为________． 【答案】15 【分析】依题意得点，则，，根据的面积为32得，即，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得，然后解方程组求出m，n的值，进而可得k的值． 【详解】解：点，点，AC和BC分别垂直于x轴和y轴， 点C的坐标为，且， ，， 的面积为32， ， ， 整理得：， 点，点在同一个反比例函数的图象上， ， 解方程组，得：， 故答案为： 15．（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过两点，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过两点，则，，由可求得的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过两点， 则， 即， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 16．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 17．（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 18．（2025·江苏南京·中考真题）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 19．（2016·山东青岛·中考真题）（1）化简：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为，整数解为，0，1 【分析】本题考查了分式的加减、求不等式组的解集、求不等式组的整数解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的加减运算法则计算即可； （2）分别求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可得到不等式组的整数解． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴它的整数解为，0，1． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元 (2)20盏 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 1 学科网（北京）股份有限公司 $