云南昆明市云南师范大学附属中学等校2026届高三下学期5月联考数学试题

■▣■口■▣■■ 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D C C D B D 【解析】 1.命题p:x>1,使x3<1的否定为：x>1,都有x≥1，故选A. 2.z=2a-i,由题意z的实部与虚部相等，所以2a=-1,解得a=- 2,故选B 3.各选项中，选项A零向量不能作为基底，选项B中e=-e,选项C中e,=2e,两个平面 向量共线，而选项D的两个平面向量不共线，所以可以作为基底，故选D a>0 4.f(x)是R上的减函数， ∠1 解得0<a≤2，∴.实数a的取值范围是(0,2]，故选C. 2 5.数据x,x2,,x1w的标准差为15，则方差为225，所以数据3x1-1,3x2-1,,3x1o-1的 方差为9×225=2025，则所求标准差为√2025=45，故选C 6。凌几何体体积为智+和h-261512-7=1792m,它使用村料的体积为 3 3 1792-1700=92m3,故选D. y=x-1 7.将直线y=x-1的方程与双曲线C的方程联立，得 a2s1' 可得 -a+20-20-0若直线y==1与双曲线℃若-户=1有且只有-个公共点，当 4-1时成立，此时离心率e=后+-2；当a≠1时成立，则△=4d+8a1-a=0, 解得a=V反，此时离心率e=Va+-V ，故选B。 a 2 数学参考答案·第1页（共7页） ■口口■口口■口口口■■ 8.由f'(x-1)为奇函数，得f"(-x-1)=-f'(x-1),令x=0,得f"(-1)=-f'(-1),故f"(-1)=0 因为f"(x)单调递增，所以当x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当x>-1时，f"(x)>0, f(x)单调递增.设F(x)=f(x-2)-f(-x),则F(x)=f'(x-2)+f'(-x)=0,故F'(x)=0, 即F(x)为常数.令x=1,得F=f(-1)-f(-1)=0,故f(x-2)=f(-x),即f(x)关于直 线=-1对称，由2-写得a=-g3,故a+非g3-2,由3”=8。得6-g8, 故1b+1og,24,由4=5，得c=lg5,故1c+非16e,20,1a+k1c+kb+, 得f(a)<f(c)<f(b),故选D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 ABD ABD BCD 【解析】 9.当n=1时，a1=S,=-2,A正确；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-4,经检验，当n=1时， a,=2-4=-2,故an=2n-4,a。-an-1=2，,B正确；Sn最小值为-2，C不正确； |a+|a2|+a+…+ao上-a+a2++ao=74,D正确，故选ABD. 10数四=m+引+号引1=-1m2+到 函数f(x) 的最小正周期为牙-，A正确：函数了)的最大值为2，B正确：函数关于 x=亚k∈D对称，C不正确：函数f)在区间 23 亚+km,亚+kn(kEZ)上单调递增， 6 (会君)是闭-个单调莲始区同的了车，D正硫，故选AD, 11.函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-xe-asinx≠-f(x)时，A不正确；当a=0时， f'(x)=(x+1)e,当x∈(-o,-1)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减，当x∈(-1，+o)时， f)>0,则f单调递指，所以e=)-。B正确：当a=时，在xe0+0) 数学参考答案·第2页（共7页） ■口口■口口■口口口■■ 上f'(x)=(x+1)e+cosx>1+cosx≥0，f(x)单调递增，C正确；f"'(x)=(x+1)e+acosx, f(0)=0,令h(x)=f'(x),h(x)=(x+2)e-asinx,当a≥0时，由xe(0,D),得xe>0, asinx≥0，所以f(x)>0,当-l<a<0时，由x∈(0，D,得(x+2)e*>0,-asinx>0, 所以H(x)>0,'(x)在(0，D)上单调递增，f'(x)>f'(O)=1+a>0,则f(x)在(0，)上单 调递增，所以f(x)>f(O)=0,D正确，故选BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2W5 3W2 2 7 【解析】 12.椭圆C的长轴长为2√5 13.由任意角三角函数的定义得co0s4= ,tan=√2，由二倍角公式得 tana tana 3 1+cos2a 2cos2a 32 2 14.前三次取球颜色完全相同可为：（红，红，红)、（黑，黑，黑)，①：（红，红，红）第 一次取红球的概率P-号，因为取完后放回并放入3个红球，此时盒了中有5个红球。 5个黑球，共10个球，第二次取红球的概率P】此时金了中有8个红球，5个黑 球，共1B个球，第三次取红球的概率P=骨，所以前三次均取出红球的概率为 g=2x{x88 号×分音员：@：（黑，黑，黑）第一次取黑球的概率P-号取完后放回并放入 3个黑球，此时盒子中有2个红球，8个黑球，共10个球，第二次取黑球的概率P= 中有2个红球，1个黑球，共3个球，第三次取黑球的概率P号 三次均取出黑球的概率为北弓×行×3。，故前三次取出球的颜色不完全相同的格一 率为1-84393 9191917 数学参考答案·第3页（共7页） ■▣▣■▣☐■▣口▣■■ 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由正弦定理8=b。,可得asin B=bsinA. …(2分) sin A sin B 又因为asin B=bcosA,且b≠0，可得sinA=cosA,即tanA=1, …(4分)》 A∈(0，)，所以A= …(6分) 4 (2)因为AB=2AC,设AC=m,则AB=2m, 又因为BD=2√7 由角平分线定理得：CD=万，：BC=厅 3 3 (9分) 由(1）A-子由余弦定理：AB+AC-BC-2A0.AC.eosA, 得：5m2-17=2√2m2,解得：m2=5+2√2， (11分) Suc -AB.AC.sinmm (13分) 4 16.(本小题满分15分) (1)证明：因为AB=3,AS=4,SB=5, 所以AB2+AS2=SB2,所以AB⊥AS.… …(3分) 又AB⊥AD,且AS∩AD=A, AS,ADC平面SAD, 所以AB⊥平面SAD.… …(7分) (2)?解：因为AD=AS=4,SD=4V2, 所以AD2+AS2=SD2,所以AD⊥AS.… (9分) 由(1)知AB⊥平面ADS,以A为坐标原点，AD,AS,AB所在直线分别为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系，则D(4,0,0),B(0,0,3), c4a引M3 (11分) 所以DB=(←4,0,3)， MC= -3到 设直线BD与直线MC所成角为6， 数学参考答案·第4页（共7页） ■▣▣■口☐■▣口▣■■ 55 cos0 DB.MC 4 11v409 IDBMCI 5xV409 409 4 直线BD与直线MC所成角的余弦值为1W409 …(15分)） 409 17.(本小题满分15分) 解：(1)因为f'(x)=十2x+a, (2分) 所以f'()=a+3,… (4分) 因为函数f(x)在点(，f()的切线斜率为2， 所以a+3=2,解得a=-1.…(7分) (2)f'W=1+2x+a=2x+ax+1>0. 当a≥-2√2时， 对任意x>0有2x2+ax+1≥0，即f'(x)≥0，f(x)单调递增： (10分) 当a<-22时， 对任意0<x<a--8有2r+ar+1>0,即'>0，f0单调递增， 对任意a-Va2-8 <x<-a+y厅-8有2r+ar+1<0,即f)<0,f()单调递减， 4 4 对任意>-a+V层-8有2+x+1>0,即f()>0,f)单调递增 综上：当a≥-2√互时，f(x)在(0，+o)上单调递增； 当a<-22时，f(x)在 -a-va-8 0, -a-√a2-8 上单调递增，在 -a+Va2-& -a+Va2-8 单调递减， 在 +00 上单调递增。 4 …（15分) 数学参考答案·第5页（共7页） ■▣▣■口☐■▣口▣■■ 18.(本小题满分17分) 解：(1)将点(2,2)代入C:y2=2px, 可得4=4p,解得p=1,所以抛物线的方程为C:y2=2x.…(4分) (2)设M(x,y),N(x,y2),直线y=k(x-2)与抛物线相交于M,N两点，所以k≠0， 将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y并整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0, …（6分) △=42k2+102-4k2.4k2=16k2+4>0,x+x= 2(2k2+1)4k2+2 ，xx2=4 k2 ……(7分) (i)IMwV+kFIx-x卡+RF√G+)-4x=V+kV (4k2+2)2 k4 -16=210, 化简得(1+k2)16k2+4)=40k4,解得k2=1,故k=±1.…（10分) (i)因为y=k(x-2),y2=k(x3-2), 所以0M.0N=x52+%=(1+k3)xx2-2k2+x)+4k2=4+4k2-8k2-4+4k2=0, …………(12分) 所以△OMN为直角三角形，其外接圆圆心为MN的中点.…(13分) 设MN的中点为T(x,y), x+x=2k+1-2+ 1 X= 2 k2 则有 …(15分) y=当+2=k5+)-2k= 1 2 2 消掉k得，x=2+y2(y≠0). …………………………（17分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)由二项式定理知：X=2+(x-2=2C2(K-2,…（3分) 0 所以a,=C2-, a0=C02”=2”. …(4分) 数学参考答案·第6页（共7页） ■口口■口口■口口口■■ 2)由1D可得4=C2=C2,m …(6分) i+1i+1n+1 含告2c点2 n+1 斋 n+1 ，…(9分) 3)当n=1时，a=1: …(10分) 当n≥2时， 2a-c2-2-0+2-2-c2+c2 =0 …(12分) 其中2c2-2c2=n2c2）=m2+=nr, …(14分) 全c-c2-d-c2=n-2c2) =n(n-1)(2+1)"-2=nn-1).3-2, 所以0=+2m）32，(16分） 经验证n=1时，满足上式，综上∑2a,=(0n2+2n)3-2.…(17分) =0 数学参考答案·第7页（共7页）558 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效， 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求) 1.已知命题p:3x>1,使x3<1,则命题p的否定为 A.Hx>1,都有x≥1 B.Vx>1,都有x>1 C.x>1,都有x3<1 D.3x≤1，使x3>1 2.设复数z=2a-i,若x的实部与虚部相等，则实数a的值为 A C.1 D.-1 3.在下列各组向量中，可以作为基底的是 A.e=(0,0),e2=(1,1) B.e=(-1,2),2=(1,-2) C.e=(-1,2),e2=(-2,4) D.e1=(-1,2),e2=(-2,1) 4.函数f代x)= 层1 是R上的减函数，则实数α的取值范围是 3-2x,x≤1 A.(-∞，0) B.（-∞，2] C.(0,2] D.(0,+o) 5.若数据x1,2,…,x1的标准差为15，则数据3x1-1,3x2-1,…,3x10-1的标准 差为 A.3 B.15 C.45 D.105 数学·第1页（共4页） ■口口■口口■口口口■■ 6.太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合 材料，实现减重30%~50%.太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图1所 示)，已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m,内部容积为 1700m3;则它使用材料的体积（π近似为3）为 A.634m3 B.317m3 C.184m3 D.92m3 图1 7若直线y=-1与双曲线C:兰-y=1有且只有-个公共点，那么双曲线C的离心 率为 A.√2 R万或号 C.√2或3 D.6 2 8.已知函数f(x)在R上的导函数为f'(x),f'(x)在R上单调递增，f'(x-1)为奇函数， 若2=分，3=8，=5，则 A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(a)<f(c) C.f(b)<f(c)<f(a) D.f(a)<f(c)<f(b) 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则 A.a1=-2 B.数列{an}是等差数列 C8的最小值为-号 D.1a1|+|a21+la3l++lao|=74 10已知函数)=g+写引re-君)+1，则 A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的最大值为2 C.函数f(x)关于x=- 下对称 12 D.函数)在区间~云，君}上单调递增 11.设函数f(x)=xe*+asinx((a>-1),则 A.f(x)是奇函数 B.当a=0时，)的最小值为-吕 C.当a=1时，f(x)在区间(0，+∞)上单调递增 D.当x∈(0，π)时，f(x)>0 数学·第2页·（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设椭圆C: =,则椭圆C的长轴长为 52 13.若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（√2,2），则 tana一= 1+cos2a 14.盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并 放人3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 15.（本小题满分13分) 已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c,AD为∠BAC的角平分线， AB=2AC,BD=2 3，且asinB=bcos4 (1)求角A; (2)求△ABC的面积 16.(本小题满分15分) 如图2，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=3,AD=AS=4,SB= 5,SD=4√2 (1)求证：AB⊥平面SAD: (2)若SB=4Si,求直线BD与直线MC所成角的余弦值. 图2 数学·第3页（共4页） ■口口■口口■口口口■■ 17.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=lnx+x2+ax+1. (1)若函数f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性 18.(本小题满分17分) 已知点(2,2)在抛物线C:y=2p%上. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线y=k(x-2)与抛物线C相交于M,N两点， (i)若|MN|=2√10，求实数k的值； ()O为坐标原点，求△OMN外接圆圆心的轨迹方程， 19.(本小题满分17分) 设n∈N*,x”=a+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a.(x-2)". (1)求a; (2)*器 (3)求8ar 数学·第4页（共4页）