广东2025-2026学年高二下学期期末测试数学练习

**基本信息** 高二数学下学期期末测试涵盖集合、逻辑、三角函数、导数等模块，原创题结合金柚甜度研究、舞蹈比赛评分等真实情境，改编题注重基础，体现数学应用与思维发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、逻辑条件、三角函数定义、概率|原创题如角终边过点求三角函数（数学眼光），改编题如集合运算（基础巩固）| |填空题|3题/15分|三角函数对称中心、排列组合、杨辉三角|原创杨辉三角数列求和（创新应用），改编宿舍分配（模型意识）| |解答题|5题/77分|独立性检验、解三角形、导数证明、概率分布|金柚甜度独立性检验（数据意识），导数证明不等式（逻辑推理），舞蹈评分分布（应用意识）|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合运算（指数、对数不等式，补集与交集） 0.9 2 单选题 5 充分必要条件（指数不等式与对数不等式） 0.85 3 单选题 5 三角函数定义、和角公式求值 0.8 4 单选题 5 二项式定理（赋值法求系数和） 0.75 5 单选题 5 线性回归方程求解与预测 0.75 6 单选题 5 可导函数的周期性（f(x+3)=-f(x)）及求值 0.7 7 单选题 5 全概率公式与条件概率 0.65 8 单选题 5 导数存在性问题（存在两点函数值相等求参数范围） 0.6 9 多选题 6 不等式（基本不等式、函数单调性） 0.8 10 多选题 6 条件概率、全概率（不放回取球模型） 0.75 11 多选题 6 函数导数综合（极值、零点、不等式恒成立） 0.55 12 填空题 5 三角函数的对称中心与对称轴求ω 0.85 13 填空题 5 排列组合（分配问题，含人数约束） 0.7 14 填空题 5 杨辉三角、组合数求和 0.6 15 解答题 13 一元二次方程根的分布、充分必要条件 0.8 16 解答题 15 独立性检验、离散型随机变量分布列与期望 0.7 17 解答题 15 解三角形（正余弦定理、重心、面积最值） 0.6 18 解答题 17 导数综合（切线、极值、不等式证明） 0.55 19 解答题 17 概率综合（分布列和期望） 0.5 $ 高二数学下学期阶段测试 集合、简易逻辑用语、三角函数、导数、选择性必修第三册 【答案】及【解析】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D B C B D C A CD AC ABC 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目1 1．【答案】C 【解析】，所以 ，； ，所以 ； 交集为 。故选：C. 2．【答案】D 【解析】解不等式 得 或 。 解不等式 得 。 两个解集交集为空集，所以 不能推出 ， 也不能推出 。 因此 是 的 既不充分也不必要条件。故选：D 3．【答案】B 【解析】由 得 ， 所以 ，。 故选：B 4．【答案】C 【解析】赋值法： 令 ，得 。 令 ，得 。 令 ，得 。 两式相加得 ， 所以 ，则。 故选：C 5．【答案】B 【解析】计算样本中心点 ： ， 。 回归直线过 ，代入 得： ，解得 。 因此回归方程为 。 当 时，（cm）。 则预报值约为 cm。故选： B。 6．【答案】D 【解析】已知函数 满足 ，两边求导得 。 由此可得 ，即 是以 为周期的周期函数。 因为 ，所以。 故选：D 7．【答案】C 【解析】设丙的治愈概率为 。 由全概率公式： 即 ， ， ， ， 。 故选：C 8．【答案】A 【解析】 在 上不单调等价于导数 在区间内有变号零点。 由于 在 上严格递增（），故存在变号零点等价于 且 。 ， 。 因此 。 端点处 或 时 在端点为零，整体单调，不存在两点值相等，故取开区间。 故选：A 9．【答案】CD 【解析】A：函数 在 递减，在 递增。若 ，但两者可能分布在 两侧（例如 ），则 ，，相等，故 A 不一定成立。 B：函数 在 递减，在 递增，同理可举反例 ，，，相等，故 B 不一定成立。 C：，恒成立。 D：，恒成立。 故选：CD 10．【答案】AC 【解析】事件 表示第二次取出的两球全为蓝球。若第一次取出蓝球（概率 ），则剩余 1 蓝 4 红，第二次无法取出两蓝，条件概率为 。若第一次取出红球（概率 ），则剩余 2 蓝 3 红，第二次取两蓝的概率为 。由全概率公式：故 A 正确。 事件 为第二次取出一红一蓝。已知 发生（第一次红），剩余 2 蓝 3 红。第二次取两球一红一蓝的概率为：而选项 B 给出 ，故 B 错误。 表示第一次蓝且第二次一红一蓝。 。第一次蓝后，剩余 1 蓝 4 红，第二次取一红一蓝的概率为 。 因此故 C 正确。 已知 发生（第一次蓝），剩余 1 蓝 4 红。第二次要取出两蓝，但只剩 1 个蓝球，无法取出两蓝，所以 。选项 D 给出 ，故 D 错误。 故选： A C 11．【答案】ABC A. ，令得或。由导数符号知在递增，在递减，故处取极大值。A正确。 B. ，唯一零点。B正确。 C. ，。令，则。因在递减，且，故，即，所以。C正确。 D. 不等式等价于 恒成立。 令 ，设 ，则 ，。 求导得 。令 得 ，解得 。 记 ，。易知 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值。 由 得 ，故 。 由于 （因为 ，），则 ，所以 。 又 ，故 。因此 的最小值 。 不等式恒成立等价于 。而 ，故 只需小于一个比 大的数即可，并不必然小于。 因此结论 不成立，故D错误。 综上，正确选项为A、B、C。 故选：ABC 12．【答案】 【解析】正弦函数的相邻对称中心与对称轴之间的距离为 。 由题意，，所以 故答案为：6 13．【答案】120 【解析】总人数6，甲比乙多1，设乙有 人，则甲有 人，丙有 人。 由每人至少1人且至多3人，得 ，，，解得 或 。 情况1：，则甲2人，乙1人，丙3人。 先选甲宿舍的人：，再从剩下4人选乙宿舍：，最后丙宿舍剩下3人：1种。 但注意甲、乙、丙宿舍不同，无需除以对称性。得 种。 情况2：，则甲3人，乙2人，丙1人。 选甲：，再从剩下3人选乙：，丙剩下1人：1种。 得 种。 合计 种。 故答案为：120 14．【答案】 取出的20个数包含第2条斜线的前10个数和第3条斜线的前10个数。 第2条斜线的前10个数为 。 第3条斜线的前10个数为 。 我们需要计算： 利用 ，则 由于 （当上标大于下标时规定为0），故 。 故对于 ，取 ，得 对于 ，取 ，得 因此，20个数的总和为 15．【答案】（1）； （2） 【解析】(1) 若 为真，则方程 有两个不相等的正实数根。 判别式 恒成立，故方程总有两个不等实根。…………1分 设两根为 ，由韦达定理：，……………………………………………2分 ………………………………………………………………………3分 取交集得 ，此时两个根都是正根。…………………………………………………………………4分 因此 为真时 的取值范围为 。………………………………………………………………5分 命题 为真，即 为假，故 的取值范围为 的补集，即 。…………………6分 (2) 为真时 的集合 ， 命题 对应的集合 。 是 的必要不充分条件等价于。…………………………………………………………………8分 为长度 的闭区间，要成为 的真子集，需满足：…………………10分 即 ，当 时，，包含，但 ，故 ，所以 不能等于。………11分 则 的取值范围为 。……………………………………………………………………………13分 16．【答案】（1）认为甜度与施肥方式有关； （2） （1）零假设 ：甜度与施肥方式无关。………………………………………………………………1分 计算 。 ，，，平方得 。 。 。 。…………………………………………………………………………………4分 由于 ，可推断不成立，认为甜度与施肥方式有关。………………………………6分 （2）有机肥组甜度高的频率 ，化肥组甜度高的频率 。……………8分 可取 。……………………………………………………………………………………………9分 。 。 。…………………………………………………………………………12分 分布列为： X 0 1 2 P 0.165 0.52 0.315…………………………………………………………………………13分 数学期望 。 或 。……………………………………………………………………………15分 17．【答案】（1）； （2） （1）由正弦定理 ，代入可得：……………1分 展开左边：， 移项得 。……………………………………………2分 因为在三角形中 ，所以 。 因此 ，由于 ，故 ，……………………………………………4分 又 ，所以 。………………………………………………………………………………6分 （2） 由余弦定理 ，代入 ， 得………………7分 由基本不等式 ，得 ，即 ，当且仅当 时取等。………10分 的面积 。……………………………………11分 重心 将中线分成 ，且 与 同底 ，高之比为 （重心到 的距离是 到 距离的 ），………………………………………………………………………………………………12分 故 。…………………………………………………………………………14分 所以 面积的最大值为。…………………………………………………………………………15分 18．【答案】（1）； （2） ； （3） 证明见解析 (1)，……………………………………………………………………………………1分 ，…………………………………………………………………………2分 。………………………………………………………………………………………………3分 切线方程为 ，即 。…………………………………………4分 (2)由极值条件 得 ，即 。……………………………………………………5分 此时 。………………………………………………………………………………6分 令 ，则 ，故 在 单调递增。…………………7分 由 知 时 ， 时 ，所以 为极小值点。………………9分 因此 。………………………………………………………………………………………………10分 (3)设函数 ，则 ， 故 在 单调递增，值域 。………………………………………………………11分 而 在 为负，在 为正。……………………………………………………………12分 当 时，，此时 ，而 ，所以 显然成立。…………13分 当 时，，由 得 。只需证 。…………………………14分 令 ，则 。 易知 递增，且 ，则 ，递增， 又，故 对 成立，则 对 成立。………………………………16分 综上，当 时， 对所有 恒成立。………………………………………………17分 19．【答案】(1) ； (2)分布列见上，（或 ）。 (1) 设 分别表示A、B两位评委的评分。 不需要C评分的条件是 。…………………………………………………………………………1分 考虑其对立事件 ，即 或 。………………………………………………2分 ………4分 因此不需要C评分的概率为………………………………………………5分 (2) 的可能取值为 。……………………………………………………………………6分 分两种情形计算。 情形一：（概率 ） 此时 。…………………………………………………………………………………………………7分 ：，。 ：，。 ：，。 或 ：，。 或 ：，。……………………………………………10分 情形二：（概率 ） 此时 或 ，各概率 。引入C。…………………………………………………11分 ① 当 ： ：，，取 ，概率 。 ：，，取 ，概率 。 ：，，取 ，概率 。…………………………………12分 ② 当 （对称）： ：取 ，概率 。 ：取 ，概率 。 ：取 ，概率 。…………………………………………………………………………13分 汇总情形二对 的贡献： ： ： ：………………………………………………………………………………14分 合并所有情形： 检验：。……………………………………………………15分 故 的分布列为： 7 7.5 8 8.5 9 0.056 0.24 0.36 0.288 0.056 数学期望： …………………………………17分 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期末 高二数学下学期阶段测试 集合、简易逻辑用语、三角函数、导数、选择性必修第三册 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（改编）已知集合 ，，则 （ ） A.   B.   C.   D. 2.（改编）设 ，，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.（原创）已知角 的终边经过点 ，则 （　） A.   B.    C.    D. 4.（改编）已知 ，则（　） A.   B.   C.   D. 5.（改编）某研究小组调查了5名高中女生的身高与立定跳远距离（单位：cm），数据如下： 身高 /cm 160 165 170 175 180 跳远 /cm 188 194 200 208 214 已知回归直线方程为 ，则据此模型预报身高为168 cm的女生的跳远距离约为（　） A. 197.8 cm  B. 198.4 cm  C. 199.0 cm  D. 199.6 cm 6.（原创）已知定义在 上的可导函数 满足 ，且 ，则 （　） A.   B.   C.   D. 7.（改编）某药房有甲、乙、丙三种感冒药，数量比为 。已知服用甲、乙两种药物治愈感冒的概率分别为 、。通过以往的治疗数据统计，从该药房中随机抽取一盒感冒药，服用后感冒被治愈的概率为 ，则服用丙种药物治愈感冒的概率为（　） A.   B.   C.   D. 8.（原创）已知函数 ，若存在 且 ，使得 ，则实数 的取值范围是（　） A.   B.   C.   D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.（原创）已知 为正实数，且 ，则下列不等式恒成立的是（　） A. B. C. D. 10.（改编）一个箱子中装有大小、形状均相同的6个小球，其中红球4个、蓝球2个。现进行两次不放回取球：第一次从箱子中随机取出1个球，第二次再从剩下的球中随机取出2个球。用 表示事件“第一次取出红球”， 表示事件“第一次取出蓝球”；用 表示事件“第二次取出的两球全为蓝球”， 表示事件“第二次取出的两球为一个红球一个蓝球”。则下列结论正确的是（　） A. B. C. D. 11.（原创）对于函数 ，下列说法正确的有（　） A. 在 处取得极大值 B. 只有一个零点 C. D. 若 在 上恒成立，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（原创）已知函数 （）的一个对称中心为 ，与该中心相邻的一条对称轴为 ，则 __________。 13.（改编）某次夏令营有6名营员，要分配到甲、乙、丙三个不同的宿舍，每个宿舍至少1人，至多3人，且甲宿舍的人数比乙宿舍多1，则不同的分配方案有______种。（用数字作答） 14.（原创）杨辉三角中，第 条斜线（）上的数列为 。构造数列 ：依次取第2条斜线上的第1个数 ，第3条斜线上的第1个数 ，第2条斜线上的第2个数 ，第3条斜线上的第2个数 ，第2条斜线上的第3个数 ，第3条斜线上的第3个数 ，……，依此类推（交替取第2条和第3条斜线上的下一个数）。共取20个数，则这20个数的和为。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（改编）已知命题 ：方程 有两个不相等的正实数根； 命题 ：。 （1）若 是真命题，求 的取值范围； （2）若 是 的必要不充分条件，求的取值范围。 16.（原创）梅州金柚是著名特产。为研究“施肥方式”与“金柚甜度”是否有关，某农业研究团队随机抽取了200个金柚样本，统计结果如下表（单位：个）： 施肥方式 甜度高 甜度低 合计 有机肥 70 30 100 化肥 45 55 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值 的独立性检验，能否认为金柚的甜度与施肥方式有关？ （2）用频率估计概率，现从有机肥组的100个金柚中随机抽取1个，从化肥组的100个金柚中随机抽取1个，设 表示这两个金柚中“甜度高”的个数，求 的分布列和数学期望。 附： α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 17.（原创）在 中，内角 的对边分别为 ，且满足 。 （1）求角 的大小； （2）若 ，点 为 的重心，求 面积的最大值。 18.（原创）已知函数 ，其中 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 在 处取得极值，求的值； （3）若 ，求证：。 19.（改编）某舞蹈比赛采用如下评分规则：先由两名评委（A、B）独立打分，若两人分数差的绝对值不大于1，则取两人平均分为最终得分；若分数差大于1，则请第三名评委（C）打分，然后计算A与C、B与C的分数差，取与C分差较小的那个人的分数与C分数的平均分为最终得分（若两个差相等，则取A、B中较高分与C分的平均分）。已知每位评委只打7、8、9三个分数，且A、B、C三人独立打分，概率分布如下： 分数 7 8 9 概率 0.2 0.6 0.2 （1）求该选手不需要C评委打分（即直接取A、B平均分）的概率； （2）设为该选手的最终得分，求的分布列和数学期望。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $