13.2.1 平面的基本性质课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

这是一份高中数学同步教学课件，聚焦立体几何初步中平面的基本性质，包含平面概念、点线面位置关系、三个基本事实及推论等核心知识，通过题型分析与跟踪训练构建学习支架，助力学生系统掌握相关内容。 资料特色鲜明，以表格梳理基本事实及推论，通过三种语言转换（如例1符号与图形表示）、点线共面（例2）及点共线证明（例3）等题型，融合数学眼光（抽象平面概念）、思维（逻辑推理）与语言（符号表达）核心素养，帮助学生提升空间观念与推理能力，为教师提供结构化教学资源。高一学生正处于从平面几何到立体几何的思维过渡阶段，该资料能帮助他们建立空间观念，培养逻辑推理能力，为后续立体几何学习奠定基础。

第13章　立体几何初步 13.2.1　平面的基本性质 1 【课标要求】 1.掌握平面的表示方法,点、直线、平面的位置关系. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实和三个推论. 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1. 平面的有关概念 1.“平面”是一个只描述而不定义的原始概念,常见的桌面、黑板面、平静的水面等 都以平面的形象给我们呈现出来.几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的,但是,几 何里的平面是无限延展的. 2.平面的表示法 （1）用一个希腊字母表示一个平面,如平面 、平面 、平面 等； （2）用表示平面的平行四边形的四个字母表示,如平面 ； （3）用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点的字母表示,如平面 或者平面 . 4 知识点2. 点、直线、平面的位置关系 1.点 在直线 上,记作 ；点 在直线 外,记作 ； 2.点 在平面 上,记作 ；点 在平面 外,记作 ； 3.直线 在平面 内,记作 ；直线 不在平面 内,记作 . 5 知识点3. 平面的基本性质 1.与平面有关的三个基本事实 基本事 实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事 实1 过不在一条直线上的三个 点,有且只有一个平面 平面 ①确定平面的依 据; ②判定点线共面 基本事 实2 如果一条直线上的两个点在 一个平面内,那么这条直线 在这个平面内 ①确定直线在平面 内的依据; ②判定点在平面内 6 基本事 实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事 实3 如果两个不重合的平面有一 个公共点,那么它们有且只 有一条过该点的公共直线 且 ,且 ①判定两平面相交 的依据; ②判定点在直线上 续表 7 2.基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只 有一个平面 确定平面的 依据 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 8 题型分析·能力素养提升 9 【题型一】图形语言、符号语言、文字语言 例1 用符号语言表示下列语句,并画出图形: （1）三个平面 , , 相交于一点 ,且平面 与平面 相交于 ,平面 与平面 相交于 ,平面 与平面 相交于 ； 解 符号语言表示: , , , . 图形表示如下图. 10 （2）平面 与平面 相交于 ,平面 与平面 相交于 . 解 符号语言表示:平面 平面 ,平面 平面 .图形表示如下图. 11 规律方法 三种语言的转换方法 （1）用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线 且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言叙述,再用符号语言表示. （2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别. 12 跟踪训练1 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形. （1） , ； 解 点 在平面 内,点 不在平面 内,如图所示: 13 （2） , , ； 解 直线 在平面 内,直线 与平面 相交于点 ,且点 不在直线 上,如图所示: （3） , , , . 解 直线 经过平面 外一点 和平面 上一点 ,如图所示: 14 【题型二】证明点、线共面 例2 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面. 已知：如图所示, , , . 求证：直线 , , 在同一平面内. 证明 方法一（纳入平面法） , 和 确定一个平面 . , .又 , . 同理可证 . , , , 直线 , , 在同一平面内. 15 方法二（辅助平面法） , , 确定一个平面 . , , 确定一个平面 . , , . , , . 同理可证 , , , , 不共线的三个点 , , 既在平面 内,又在平面 内, 平面 和 重合,即直线 , , 在同一平面内. 16 题后反思 1.证明点线共面的主要依据 （1）如果一条直线上的两个点都在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面 内（公理1）；②经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面（公理2及其推论）. 2.证明点线共面的常用方法 （1）证明几点共面的问题可先取三点（不共线的三点）确定一个平面,再证明其余各点 都在这个平面内； （2）证明空间几条直线共面问题可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面,再证明 其余直线均在这个平面内. 17 跟踪训练2（1） 如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面？ 解 不一定共面. 若三条直线两两相交,且过同一个点,有两种情况: ①这三条直线在同一个平面内相交,如图1; 图1 18 图2 若三条直线两两相交,且不过同一个点,由例2可知,这三条直线共面. ②这三条直线不共面,如图2. （2）如果把本例中的“三条直线”改为“四条直线”,那么这四条直线是否共面？试证明你的结论. 解 共面. 已知： , , , 四条直线两两相交,且不共点. 求证： , , , 四线共面. 证明:①无三线共点的情况,如图1. 图1 20 设 , , , , , .因为 , 所以 , 可确定一个平面 . 因为 , ,所以 , ,所以 ,即 .同理, ,所以 , , , 共面. ②有三线共点的情况,如图2. 图2 设 , , 三线相交于点 ,与直线 分别交于 , , ,且 ,因为 ,所以 和 确定一个平面,设为 . 因为 , ,所以 ,所以 ,即 . 同理, , ,所以 , , , 共面. 由①②知, , , , 共面. 【题型三】证明点共线 例3 如图,在长方体 中, ， 分别是 和 的中点. （1）对角线 与平面 交于点 , , 交于点 ,求证:点 , , 共线. 22 图1 证明 如图1， , , , , 确定一个平面 . 又 , 平面 , 平面 . 对角线 与平面 交于点 , 平面 ， 在平面 与平面 的交线上, ， 平面 ,且 平面 , 平面 平面 ， ,即点 , , 共线. 23 （2）证明: ， ， 三线共点. 图2 证明 如图2，延长 , 交于点 . 平面 , , 平面 , 平面 ， , 平面 , 平面 平面 ， , , , 三线共点. 24 规律方法 证明三点共线的常用方法 方法1:先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据公理3知,这些点都 在交线上. 方法2:选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在其上. 25 跟踪训练3 如图,已知平面 , ,且 ,设在梯形 中, ,且 , .求证: , , 共点. 26 证明 因为在梯形 中, , 所以 , 是梯形 的两腰, 所以 , 必定相交于一点. 如图,设 .又因为 , , 所以 且 , 又因为 ,所以 ,即 , , 共点. 27 $