山西省2025-2026学年七年级下学期数学期末试卷（北师大版七年级下册）

**基本信息** 晋中市七年级数学期末卷以原创情境题（如中科院氟化硼酸铵晶体、教学楼高度测量）融合幂运算、函数关系等知识，考查抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|幂运算、轴对称、科学记数法|结合剪纸艺术、地震物资运输情境| |填空题|5/15|平方差公式、概率估计、角平分线性质|祁县玻璃器皿质量估计等生活实例| |解答题|8/75|几何证明、函数应用、新定义“友好数对”|综合探究题（如23题几何推广）体现推理能力|

晋中市2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测（七年级数学）试卷》标准答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A C A B C D D B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 4a2−b2 12. 9600 13. 40 14. 120° 15. 1或 三、解答题（共75分） 16.（本题8分） (1)（4分） 计算：()−2+(2026−π)0−∣−3∣ 解：原式 = +1−3= −2=− ​ (2)（4分） 计算：3a2∙(−2a3)+a5÷a∙2a 解：原式 =−6a5+2a5=−4a5 17.（本题7分） 先化简，再求值：[(2x−y)2+(x−y)(x+y)]÷(2x)，其中 x=2,y=−1。 解：原式 =[4x2−4xy+y2+(x2−y2)]÷(2x) =(4x2−4xy+y2+x2−y2)÷(2x) =(5x2−4xy)÷(2x) =x−2y 当 x=2,y=−1时，原式=x−2y=×2−2×(−1)=7 18.（本题8分） 解： (1) 总签数：10+12+8+10=40 抽到《桃花红杏花白》的概率P= =​ …（3分） (2) 小明抽走1支《桃花红杏花白》后，剩余签数39，其中《亲圪蛋下河洗衣裳》仍有12支 概率 P== =​ …（5分） 19.（本题9分） （1）证明：∵点D在∠BAC的平分线上, DE⊥AB，DF⊥AC ∴ DE=DF ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠BED=∠CFD=90∘ 在△BDE和△CDF中， ∠EBD=∠C,∠BED=∠CFD ，DE=DF ∴ △BDE ≌ △CDF（AAS） ∴BD=CD…（5分） （2）解： 由（1）△BDE ≌ △CDF得 BE=CF=4 ∵ AC=20，∴ AF=AC−CF=16 由AD平分∠BAC，得∠EAD=∠FAD， ∵∠BED=∠AFD, ∠EAD=∠FAD，DA=DA，可证△ADE ≌ △ADF（AAS），得 AE=AF=16 ∴ AB=AE-BE=16-4=12 …（4分） 20.（本题9分） 解：(1) 自变量是时间t（天），因变量是平均重量W（mg） …（2分） 观察数据，每增加1天，重量增加4 mg， 设W=4t+b，代入t=1,W=58得58=4+b，b=54 ∴ W=4t+54 …（3分） (2) 当t=8时，W=4×8+54=86（mg） …（2分） (3) 令W=94，则4t+54=94，4t=40，t=10（天） …（2分） 21.（本题9分） （1）尺规作图（4分） 作法：①分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点； ②过这两点作直线，交AC于点D，交AB于点E。 要求：保留作图痕迹，标记点D、E。 （2）（5分） ∵ MN垂直平分AB，AE=6，∴ BE=AE=6，AB=12 又 AB=AC，∴ AC=12 ∵ D在AB的垂直平分线上，∴ AD=BD △BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=19 ∴ BC=19−AC=19−12=7 22.（本题12分） 解： (1) 36和84 是友好数对 …（2分） (2) 交换位置后两个数依次为 10b+a 和 10d+c …（2分） 等式为 (10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c) …（2分） 化简得 100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10bc+10ad+ac 整理得99ac=99bd，即 ac=bd …（2分） (3) 由题意，两个两位数为 10(x+2)+x=11x+20 和 10(x+2)+(x+8)=11x+28 其中 a=x+2,b=x,c=x+2,d=x+8 代入ac=bd 得(x+2)2=x(x+8) 展开 x2+4x+4=x2+8x，解得x=1 ∴ 两个两位数为 31 和 39 …（4分） 23.（本题12分） （1） 原问题中 DF=EF …（2分） （2） 结论不变，仍为 DF=EF …（1分） 证明：过点D作DG⊥AB于G，过点E作EH⊥AB于H。 由∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，可证△ADG≌△EBH等，得DG=EH，再证△DFG≌△EFH，得DF=EF。 （详细证明略，酌情给分）…（4分） （3） 结论不变，仍为 DF=EFDF=EF …（1分） 证明：设∠ABC=α，则∠ADB=∠BEC=2α。 类似构造垂直，利用含α角的直角三角形边角关系，证DG=EH，进而全等得DF=EF。 （详细证明略，酌情给分）…（4分） 1. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 晋中市2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测（七年级数学）多维细目表 题号 题型 分值 知识板块 具体知识点 核心素养 难度等级 难度系数 认知水平 1 选择题 3 数与代数 幂的运算（积的乘方） 数学运算 易 0.9 理解 2 选择题 3 图形与几何 轴对称图形的识别（剪纸） 直观想象 易 0.92 了解 3 选择题 3 数与代数 科学记数法（纳米换算） 数学抽象、运算 易 0.85 理解 4 选择题 3 数与代数 变量关系（反比例） 数学建模、数据分析 易 0.82 理解 5 选择题 3 图形与几何 平行线性质、角度计算 逻辑推理、直观想象 中 0.65 掌握 6 选择题 3 统计与概率 用频率估计概率 数据分析 易 0.88 理解 7 选择题 3 图形与几何 三角形的外心（垂直平分线交点） 逻辑推理、直观想象 易 0.8 理解 8 选择题 3 图形与几何 全等三角形的实际应用 数学建模、逻辑推理 中 0.6 掌握 9 选择题 3 数与代数 函数图像分析（行程） 直观想象、数据分析 中 0.58 掌握 10 选择题 3 图形与几何 等腰直角三角形、全等三角形、角度计算 逻辑推理、运算 中 0.55 掌握 11 填空题 3 数与代数 平方差公式 数学运算 易 0.86 理解 12 填空题 3 统计与概率 用样本估计总体（合格率） 数据分析 易 0.84 理解 13 填空题 3 图形与几何 角平分线性质、三角形面积 逻辑推理、运算 中 0.62 掌握 14 填空题 3 图形与几何 平行线性质（角度关系） 逻辑推理、直观想象 中 0.68 掌握 15 填空题 3 图形与几何 动点问题、全等三角形判定 逻辑推理、直观想象 中 0.5 掌握 16(1) 解答题 4 数与代数 负整数指数幂、零指数幂、绝对值 数学运算 易 0.88 理解 16(2) 解答题 4 数与代数 整式的乘除混合运算 数学运算 易 0.8 理解 17 解答题 7 数与代数 整式化简求值（完全平方、平方差） 数学运算 中 0.72 掌握 18 解答题 8 统计与概率 概率计算（不放回抽取） 数据分析、逻辑推理 中 0.75 掌握 19 解答题 9 图形与几何 全等三角形判定、角平分线性质、线段计算 逻辑推理、运算 中 0.65 掌握 20 解答题 9 数与代数 一次函数模型（变量关系、预测） 数学建模、数据分析 中 0.68 掌握 21 解答题 9 图形与几何 尺规作图（垂直平分线）、线段计算 直观想象、逻辑推理 中 0.65 掌握 22 解答题 12 数与代数 新定义“友好数对”、整式乘法、方程 数学抽象、逻辑推理、运算 中 0.55 综合运用 23 解答题 12 图形与几何 全等三角形构造与证明、几何探究（一般到特殊） 逻辑推理、直观想象、数学抽象 难 0.35 综合运用 Sheet2 Sheet3 $ 晋中市2025—2026学年第二学期期末学业水平质量监测 七年级 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 选择题答案用2B铅笔涂在答题卡上，非选择题用黑色签字笔在答题卡指定区域作答。 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.计算(−2a2)3 的结果是（　　） A. −6a5  B.6a6  C. −8a6  D. −8a5 2.晋中市是中国剪纸艺术的重要传承地之一。下面剪纸作品中，不是轴对称图形的是（　　） A B C D 3.（原创）中国科学院新疆理化技术研究所潘世烈团队成功创制出一种名为氟化硼酸铵（ABF）的新型晶体，并利用它获得了波长为158.9纳米的真空紫外激光。其中数据158.9纳米（1米 =109纳米），用科学记数法表示为（　　） A. 3.5×10−8  B. 3.5×10−9  C. 3.5×10−10  D. 35×10−9 4. 学生在学校食堂就餐经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间x（min）的关系如下表，下列可以反映y与x之间的关系的式子是（　　） 等待时间x/min 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 A.y=100x B、y= C、xy=100 D、x+y=100 5.（原创）如图，直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠A=30°）按如图所示方式放置，直角顶点在直线 b 上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　） A. 35°  B. 45°  C. 55°  D. 65° 6.如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数n 50 100 150 300 400 500 投中次数m 33 55 86 183 239 301 投中频率 0.66 0.55 0.57 0.61 0.60 0.60 估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率约是（　　） A、0.55 B.0.60 C、0.61 D、0.66 7.如图，在校运会的一项趣味竞赛中，三名同学分别站在△ABC的三个顶点处，争抢放置于三角形内部的凳子，最先坐到凳子者获胜．为保证比赛公平，要使凳子到三角形三个顶点的距离相等，凳子应放在三角形的（　　） 第7题图 第8题图 A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 8.（原创）数学活动课上，为了测量教学楼的高度，同学们进行了如下操作：如图，在教学楼前找到一棵高为7米的大树，测得大树底部与教学楼底部之间的距离为32米。然后在大树与教学楼之间的地面上选取一点C，测得点C到教学楼底部的距离为7米，且从点C观察树顶A与楼顶E时，∠ACE = 90°。请根据以上数据计算出教学楼的高度。 A. 14米 B. 32米 C. 39米 D.25米 9. 2026年5月18日，广西柳州市发生5.2级地震，震源深度8公里，造成2人死亡、5人受伤，多处房屋倒塌．全国人民众志成城，捐款捐物，下图是配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） 第9题图 第10题图 A．物资车往返总路程为240km B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 10.如图，在Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝90°，连接CE、DE，DE交AC于点O，则∠DOC的度数为（　　） A．92° B．107° C．73° D．98° 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.计算：(2a+b)(2a−b)= ________。 12. 祁县玻璃器皿享誉海内外。某工厂生产一批玻璃杯，从中随机抽取100只检查，其中有4只不合格。据此估计，该工厂生产10000只玻璃杯中，合格品的数量约为________只。 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB=16，CD=5，则△ABD的面积为 . 第13题图 第14题图 第15题图 14.电动曲臂式高空作业车在高空作业时，只需一人即可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，大大减少了操作人员的数量与劳动强度。如图所示，为一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB∥CD∥EF，BC∥DE。若测得 ∠ABC=60∘，则 ∠DEF 的大小为______。 15.（原创）在正方形ABCD中，AB=8cm，BE=5cm，若点P在线段BC上以1cm/s的速度由B向C运动，同时，点Q在线段CD上以a cm/s的速度由C向D运动，当a= 时，能使△BPD与△CQD全等。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.计算： (1)()−2+(2026−π)0−∣−3∣ (2) 3a2∙(−2a3)+a5÷a∙2a 17. 先化简，再求值： [(2x−y)2−(x−y)(x+y)]÷(2x)，其中 x=2，y=−1。 18.（本题8分）《桃花红杏花白》是山西左权民歌的代表作。某校七年级(2)班举办“民歌进校园”活动，同学们通过抽签决定演唱曲目，签筒中有10支《桃花红杏花白》、12支《亲圪蛋下河洗衣裳》、8支《走西口》和10支《想亲亲》。 (1) 小明第一个抽签，求他抽到《桃花红杏花白》的概率； (2) 已知小明抽到了《桃花红杏花白》后不放回，小红在小明之后抽签，求小红抽到《亲圪蛋下河洗衣裳》的概率。 19.（本题9分）如图，AD平分∠BAC, DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、∠EBD=∠C， （1）求证：CF=BE； （2）已知AC=20，BE=4，求AB的长． 20.（本题9分）绿豆在发芽过程中，其内部淀粉转化为糖，重量会发生变化。某生物小组在25℃恒温条件下进行绿豆发芽实验，记录绿豆发芽后第 t 天（t 为正整数）的整粒平均重量 W（单位：mg），得到如下数据： 时间 t（天） 1 2 3 4 5 重量 W（mg） 58 62 66 70 74 (1) 根据表中数据，自变量和因变量分别是什么？并写出 W 关于 t 的关系式。 (2) 按照此变化规律，第8天时绿豆的平均重量是多少毫克？ (3) 当重量达到94 mg时，大约需要多少天？ 21.（本题9分）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD． （1）请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记D，E两点； （2）若AE＝6，△BCD的周长为19，求BC的长． 22.（本题12分） 综合与实践 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“友好数对”． （1）36和84 　 　 “友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　 　 和 　 　 ． 因为它们是友好数对，所以（10a+b）（10c+d）＝　 　 ． 即a，b，c，d的等量关系为：　 　 ． （3）若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 23.（本题12分） 综合与探究 在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东、小明交流． 原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系． 小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解． 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°． 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况． 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF与EF的数量关系； （2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $