第04讲 双曲线的焦点三角形讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线焦点三角形核心考点，涵盖离心率、周长、面积、内切圆等高考高频题型，按定义性质、解题策略、题型归纳的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学环节，帮助学生突破边角转化、范围推导等难点。 讲义采用题型分类突破法，如在离心率范围求解中，结合三角形三边关系与余弦定理推导不等关系，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础例题与变式训练分层练习，配合解题策略总结，确保高效复习。助力学生提升综合解题能力，为教师提供系统复习框架与节奏把控依据。

第04讲：双曲线的焦点三角形 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：焦点三角形与离心率 6 题型02：焦点三角形的周长问题 13 题型03：面积问题 16 题型04：长度距离 27 题型05：内切圆问题 31 题型06：正余弦定理求参数问题 36 题型07：几何性质 42 题型08：最值问题 47 题型09：多选题综合练 51 题型10：以双曲线为背景的重心问题 68 一. 考查题型 选择题、填空题高频压轴小题，解答题常结合定义、离心率、最值综合设问，分值占比稳定，属于双曲线核心重难点。 二. 命题常见角度 1.利用定义求焦点三角形边长、周长 2.结合余弦定理、面积公式求顶角、边长、面积 3.求解离心率取值范围、最值问题 4.判断角度大小、三角形形状 5.与渐近线、点差法、弦长问题交叉综合考查 三. 难度定位 中等偏上，公式体系固定，但边角转化、范围推导易出错；多选、填空压轴题高频出题，是拉开分数的考点。 四. 核心易错点 1. 混淆椭圆与双曲线焦点三角形边长关系，记错定义差值 2. 顶角最值、离心率范围推导忽略自变量取值限制 3. 面积公式混用，无法灵活切换不同计算形式 4. 角度与边长比例转化逻辑混乱 1. 牢记双曲线第一定义，熟练写出焦点三角形三边数量关系 2. 掌握焦点三角形面积三类计算公式，按需灵活选用 3. 能结合余弦定理、基本不等式求解角度、边长、离心率最值 4. 精准推导离心率取值范围，规避边界取值错误 5. 可解决形状判定、周长面积定值、综合复合型考题 知识点一：求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 知识点二：双曲线中的焦点三角形的性质 在 . 性质1：； 性质2：； 性质3：P是椭圆或双曲线上一点，若该椭圆焦点三角形左右旁心A或双曲线焦点三角形内心A的横坐标为 性质4：P是上除去左右顶点外一点， 的内心轨迹为，且该双曲线实轴与原双曲线实轴比为原双曲线离心率e. 性质5：P是或上一点，若该椭圆的内切圆或双曲线的旁切圆半径为r, 性质6：P是或上一点，若该椭圆的内心A或双曲线旁心A的纵坐标为m, 注 意 ： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立与的联系. (1) 有关焦点三角形的常用结论 令， ①。 ②由余弦定理得：。 ③。 ④。 (2) 有关焦半径的常用结论 ①若为双曲线上任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，(i)当点P在双曲线的左支上时，，；(ii)当点P在双曲线的右支上时，，(左加右减). ②双曲线的焦半径同侧最小为，异侧最小为(实轴两端点取到). 策略1：边长、周长基础计算 1. 依据双曲线定义，设定两条焦半径长度 2. 结合已知边长，列方程求解单条焦半径 3. 周长=两焦半径和+焦距，直接代数运算 策略2：角度、面积求解 1. 已知夹角：直接套用S=cot快速算面积 2. 已知点纵坐标：用S=c||最简计算 3. 求夹角大小：联立定义式与余弦定理，整体代换求值 4. 技巧：利用|P|-|P|=2a的平方变形，简化平方项计算 策略3：角度最值问题 1. 核心规律：动点P趋近双曲线顶点时，顶角θ达到最大值 2. 结合余弦函数单调性，余弦值越小角度越大 3. 搭配基本不等式，分析焦半径乘积最值，推导角度范围 策略4：离心率范围求解 1. 利用三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边 2. 结合顶角限制条件，转化出a,c的不等关系 3. 式子同除a，化为关于离心率e的不等式求解 4. 牢记双曲线固有范围 策略5：三角形形状判定 1. 边长等量关系判断等腰三角形 2. 余弦值正负判定锐角、直角、钝角三角形 3. 结合特殊角度，判定特殊三角形类型 题型01：焦点三角形与离心率 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的左支交于，两点，若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，即可求解． 【解答】解：如图所示，根据题意可知，， 又，，， 离心率， 故选：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属基础题． 【典型例题2】设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且△的最小内角为，则的离心率为　　． 【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 【解答】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足， 不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 所以，，， △的最小内角，由余弦定理， ， 即， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力． 【变式训练1-1】如图，F1、F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的右左两支分别交于点A、B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c＝a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率． 【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a， ∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|＝|AB|， ∴|BF1|﹣|BF2|＝2a，即|BF1|﹣|AB|＝|AF1|＝2a， 又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝|AF1|+2a＝4a， ∵△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°， ∴|F1F2|2＝|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos120°， 即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，解之得c＝a， 由此可得双曲线C的离心率e＝＝． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 【变式训练1-2】双曲线方程为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，以为直径的圆恰好经过点，且，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆的性质，双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，即可求解． 【解答】解：以为直径的圆恰好经过点， ，又， 设，则，， 又，， ， ，， ，， 又，且， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式训练1-3】设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】由于椭圆的定义，结合已知条件中，解得和的值，再利用，得到，的关系，代入离心率公式即可求得所要答案． 【解答】解：设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，， 因为，，解得，， 所以，则，则， 所以离心率为：． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 【变式训练1-4】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率 【解答】解：设的内切圆在边，上的切点分别为，， 则，，， 又由，， ， ， 又，则，， 又，，， 双曲线的离心率， 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属中档题． 【变式训练1-5】双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】设直线与直线相交于点，由，可得，，再过作于点，进而得和的长，然后根据双曲线的定义，推出，然后求解离心率． 【解答】解：设直线与直线相交于点，则， 直线的斜率为，即， 又，，， 过作于点，则， 为的中点，，， 在中，由，知，， 由双曲线的定义知，， ，化简得， ． 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题． 【变式训练1-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【分析】设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则，即可求解，又因为点位于点与点之间，所以，利用正切值即可求解离心率范围． 【解答】解：设为上顶点，点位于第一象限，作交椭圆与点，则， 如图所示，则由题可得， 依题意可得点位于点和点之间，故， 所以，则，整理可得， 解得， 故答案为：，，． 【变式训练1-7】设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【分析】分类讨论，若或为直角顶点时，若为直角顶点时，求得，即可求得椭圆的离心率； 同理，若或为钝角顶点时，且，为钝角顶点，则，即可求得离心率的取值范围． 【解答】解：由题意可知，若或，则，即， 所以，同除以，可得，解得， 若，即位于上下顶点时，则， 所以椭圆的离心率， 若为钝角顶点，则，则，， 所以，， 若或为钝角顶点时，需要满足且，即， 解得，， 综上可知，的取值范围 故答案为或；． 【点评】本题考查椭圆的标准方程的应用，考查椭圆离心率的求法，椭圆的简单几何性质，考查分类讨论思想，属于中档题． 【变式训练1-8】是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是△的内切圆，设圆与，分别切于点，，若圆的半径为2，直线的斜率为 　　． 【分析】设圆与轴相切于点，利用双曲线的定义、直线与圆相切的性质可得，解得，可得坐标．设直线的斜率为，则方程为，利用点到直线的距离公式可得． 【解答】解：设圆与轴相切于点，则， 解得，， 设直线的斜率为，则方程为，即， 由题意可得：，，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 题型02：焦点三角形的周长问题 【典型例题1】已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【解答过程】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 【变式训练2-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【解答过程】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C. 【变式训练2-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【解题思路】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【解答过程】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D. 【变式训练2-3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解析】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式训练2-3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示： 在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 【变式训练2-4】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义，结合勾股定理求出三角形周长. 【解析】双曲线的实半轴长，焦点，， 由点在双曲线上，得，由，得， ， 因此，所以的周长是. 故答案为： 题型03：面积问题 【典型例题1】已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【解答过程】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 【典型例题2】过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 【典型例题3】已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则实数的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，即可得出答案． 【解答】解：由题意得， ，△的面积为9， ，即，且， ，即， ，解得， 故选：． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想和房产思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【典型例题4】已知椭圆为的左、右焦点，，，为上一点，且△的内心，若△的面积为，则的值为　　 A． B． C． D．3 【分析】由题意可知，△的内心到轴的距离就是内切圆的半径，由，，为上一点可得，，，再结合离心率公式和椭圆的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，△的内心到轴的距离就是内切圆的半径， ，，为上一点， ， ， 又， ， ， ，即， ，解得或（舍去）， ，， 又， ，解得． 故选：． 【变式训练3-1】如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线的定义，可得，，由三角形面积公式，即可求出的面积． 【解答过程】在双曲线中：，所以， 根据双曲线的定义，可得， 是等边三角形，即 又， ， 的面积为． 故选：C． 【变式训练3-2】已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建立方程组，求得，即可求的面积. 【解答过程】设双曲线的半焦距为，由题意，圆的圆心在坐标原点，半径， 点即双曲线的左右两焦点，故有①， 且因为圆的直径，可得，则有②， 将①式两边取平方，， 解得，故的面积为. 故选：B. 【变式训练3-3】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】C 【解题思路】利用焦点三角形的性质结合题设条件可得，从而可得焦点三角形为直角三角形，从而可求其面积. 【解答过程】点P在双曲线右支上， 由双曲线的定义可得， 又，两式联立得. 又， 所以，即为直角三角形， 所以. 故选：C. 【变式训练3-4】过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 【变式训练3-5】已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【解答过程】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 【变式训练3-6】如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【解答过程】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 【变式训练3-7】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解题思路】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【解答过程】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 【点评】本题主要考查椭圆的简单性质，以及三角形面积公式的应用，属于中档题． 【变式训练3-8】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 【变式训练3-9】已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线的左焦点为，,如图： 由双曲线， 所以周长为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图： 所以,得，即——①. 又因为离心率为，所以——②，将②代入①得，， 解得或（舍去）所以，所以双曲线方程为. 此时，直线的方程为，联立方程，消去y， 得，解得，再代入直线方程得，所以的坐标为. 所以. 故选：B. 【变式训练3-10】已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 在双曲线上，设①， 由，在中， 根据余弦定理可得，， 故，即②， 由①②可得， 得到的面积 故选：C. 【变式训练3-11】设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【变式训练3-12】已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． (1)求双曲线的方程及的面积； (2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 【答案】(1)，的面积为 (2) 【分析】（1）根据对称以及锐角三角函数可得，进而利用双曲线定义即可求解， （2）联立直线与曲线方程得韦达定理，进而根据点斜式直线方程求解的坐标，利用垂直平分线的性质，结合韦达定理即可化简求解. 【详解】（1）由于，故， 又，且关于对称，所以,因此， 在中，， 取椭圆左焦点,连接，根据对称性可得， 由椭圆定义可得,即， 由于，所以，进而可得， 故双曲线方程为， （2）设，，,， 由（1）知,即， 联立与的方程可得 则， ， 则直线方程为，令，则， 故 同理可得, 由于，所以在线段的垂直平分线上，故， 故， ，， 化简得 代入韦达定理可得 即，故， 故，或， 若，此时直线经过定点，该点与重合，不满足题意， 故 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值. 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 题型04：长度距离 【典型例题1】已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点（不同于双曲线的顶点）．在线段上取一点，使，作的平分线，交线段于点，则　　 A． B．2 C．4 D．1 【分析】根据可知为的中点，于是． 【解答】解：由双曲线定义可知， 由可得， 又，平分， 为的中点， 又是的中点， ． 故选：． 【变式训练4-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为△，△的内心，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用平面几何图形的性质可得、的横坐标相等为，得到轴且过双曲线右顶点，设的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围． 【解答】解：记边、、上的切点分别为、、， 有、横坐标相等，则，，， 由， 即，得， 即，记的横坐标为，则，， 于是，得， 同样内心的横坐标也为，则有轴， 设直线的倾斜角为，则，， 在△中， ， 双曲线的，，， 可得，由于直线为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为， 可得，即， 可得的范围是，． 故选：． 【变式训练4-2】设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义和余弦定理得，在和中，由余弦定理得，求解即可. 【解析】由题意得，，所以①， 在中，由余弦定理得， 即②，联立①②，解得， 因为， 所以在和中，由余弦定理，得， 结合，可得， 所以， 所以， 所以，得， 所以， 所以，解得． 故选：A 【变式训练4-3】已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【答案】/ 【解析】由双曲线方程知：实轴长，虚轴长，焦距； 设，，由双曲线定义可知：， 在中，由余弦定理得， ，则，又， ，解得：， 点到轴的距离为. 【变式训练4-4】已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 题型05：内切圆问题 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 【典型例题2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 【变式训练5-1】是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是△的内切圆，设圆与，分别切于点，，若圆的半径为2，直线的斜率为 　　． 【分析】设圆与轴相切于点，利用双曲线的定义、直线与圆相切的性质可得，解得，可得坐标．设直线的斜率为，则方程为，利用点到直线的距离公式可得． 【解答】解：设圆与轴相切于点，则， 解得，， 设直线的斜率为，则方程为，即， 由题意可得：，，解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的定义与标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式训练5-2】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【分析】先利用切线长定理求得双曲线的半实轴长，再由求得双曲线的半焦距长，进而求得双曲线的离心率 【解答】解：设的内切圆在边，上的切点分别为，， 则，，， 又由，， ， ， 又，则，， 又，，， 双曲线的离心率， 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，属中档题． 【变式训练5-3】椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【分析】由已知内切圆半径，从而求出面积，再由面积，能求出． 【解答】解：椭圆的左右焦点分别为，，，，， 过焦点的直线交椭圆于，，，两点， 的内切圆的面积为， 内切圆半径． 面积； 面积， 得． 故答案为：6；3． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查了椭圆的定义、三角形内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题． 【变式训练5-4】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 【分析】第一空，直接套入“黄金椭圆”的定义即可；第二空，从内切圆入手，找到等量关系，进而得到，求解即可． 【解答】解：已知椭圆：是“黄金椭圆”， 则， 解得； 如图：连接，，设△的内切圆半径为． 则， 即， ， ， ， ， ． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查新定义，考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 题型06：正余弦定理求参数问题 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则， 则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 【典型例题2】已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】首先可以结合题意作出双曲线的图象，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果． 【解答】解：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在轴上， 设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 过点作于点， 因为， 所以， 所以点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可知，，所以， 因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且， 所以， 故， 因为，所以， 将代入双曲线中， 即， 化简得， 又， 所以， ， 解得或（舍去），， 则该双曲线的渐近线方程为， 故选：． 【变式训练6-1】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 【变式训练6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解 【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得. 【详解】由于，则由双曲线定义知，所以． 如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则， 结合， 所以， 解得， 又为锐角，故，则. 在中，由余弦定理可知，则， 所以． 故选：B 【变式训练6-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到直线的方程为，设，根据的面积为，列出方程，求得，得到，由，结合双曲线的定义，即可求解. 【解析】由双曲线，可得，所以， 过点且倾斜角为的直线的方程为， 设，因为的面积为，所以， 因为点在第一象限，所以，可得， 又由，可得，所以， 又因为，所以， 可得. 故选：A.    【变式训练6-4】已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）先得到，由圆到直线距离公式得到方程，求出，，得到双曲线方程； （2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，得到的值. 【详解】（1）由题意得，解得， ∵双曲线的渐近线为， ∴，解得，所以，故双曲线方程为：； （2）由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积. 设， 联立方程：，得， ， 三角形面积， 整理得，解得或， 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或， 画出图象如下： 此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，. 题型07：几何性质 【典型例题1】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 【变式训练7-1】双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【答案】 【分析】由、直线的斜率为得，再由的面积为8，解得、，由双曲线的定义求出、勾股定理求出可得答案. 【解析】因为以为直径的圆与C在第一象限相交于点P， 所以 在中，由直线的斜率为， 得，即 由的面积为8， 根据三角形面积公式， 将代入上式，可得， 即，解得， 由双曲线的定义知，故 在中，， 即， 故，即 所以， 所以双曲线C的方程为 故答案为： 【变式训练7-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据题干，利用双曲线的定义和的周长为24可得，，利用，可得，最后利用勾股定理算出的边长，即可在中计算. 【详解】由题知，， ， 的周长为， ，， 由得， 即，， 故，， ，，， 在中，，解得，焦距为.    故答案为： 【变式训练7-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【答案】/0.6 【详解】由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 【变式训练7-4】已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，得，设，则，利用双曲线定义得，再利用求出可得答案. 【解析】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则， 由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 题型08：最值问题 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 【变式训练8-1】设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】利用双曲线性质、焦半径的范围将所求转换为对勾函数的最小值即可得解. 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 【变式训练8-2】已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 　　． 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解． 【解答】解：已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、， 不妨设为第一象限的点，为左焦点，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以，，， 在△中，，由余弦定理得， 化简得，即， 所以， 从而，当且仅当，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查椭圆、双曲线的定义，利用余弦定理求解焦点三角形问题，由基本不等式求最值，属于难题． 【变式训练8-3】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，利用定义可得：，，解出，．利用余弦定理可得关于，的等式，再由基本不等式求得当取最小值时，，的值． 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，， 设，．． 则，， ，． ， 化为：． ， ， ，则，即，当且仅当，时取等号． 故选：． 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 【变式训练8-4】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　 A． B． C．3 D．2 【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论． 【解答】解：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为， ， 由余弦定理可得，① 在椭圆中，①化简为， 即，② 在双曲线中，①化简为， 即，③ 联立②③得，， 由柯西不等式得， 即 即，当且仅当时取等号， 法2：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，，， 椭圆和双曲线的离心率分别为， ， 由余弦定理可得， 由，得， ， 令， 当时，， ， 即的最大值为， 法3：设，，则， 则， 则， 由正弦定理得， 即 故选：． 【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大． 题型09：多选题综合练 【典型例题1】如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 【典型例题2】已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列结论正确的是（    ） ①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为. A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】对于①，双曲线中，故. 左焦点，右焦点，. 设，则， 所以，将代入到双曲线方程中得， ，得到，即，负根舍去，故①正确. 对于②，计算的周长，由双曲线定义得， ， 故周长为，故②正确. 对于③，由余弦定理 ， 因为余弦函数在单调递减，故，故③正确. 关于④，设三角形内切圆半径为，周长为，由三角形面积公式，则， 故④正确. 故选： 【典型例题3】已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 【答案】BD 【详解】依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD.    【典型例题4】已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 【变式训练9-1】已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 【变式训练9-2】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【答案】ABC 【详解】对于A：双曲线，则，，故渐近线方程为，即， 双曲线，，，故渐近线方程为，即，A正确； 对于B：由题意得，，，由双曲线的定义得，， ，，，故的周长为，B正确； 对于C：对称性不妨设在右支上，设，则，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以的面积为，故C正确； 对于D：若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率必须介于两条渐近线的斜率之间，即，D错误， 故选：ABC． 【变式训练9-3】已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（   ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 【答案】ACD 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，由题知，，故A正确； 当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为， 当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误； 由题意的方程为，与联立得，所以， 所以，故C正确； 因为为的右支上两点，所以或，故D正确． 故选：ACD． 【变式训练9-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【答案】BCD 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 【变式训练9-5】已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C． D．的周长为 【答案】CD 【详解】 由题意得，由双曲线定义得 所以． 由，得，即． 即解方程组得 所以． 由，得，得，， 所以的焦距为，渐近线方程为，，故A、B错误，C正确； 又的周长为，故D正确； 故选：CD 【变式训练9-6】已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABC 【详解】A项，由题意知，设焦距为，则. 设椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的实轴长为，虚轴长为， 根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点在第一象限， 由椭圆的定义知，则， 由双曲线的定义知，则， 由两式相加化简得， 因为点在圆上，所以，所以， 则，则，又，联立解得，，故A项正确； B项，由A项可知，解得，则，所以椭圆的方程为，故B项正确； C项，由，，则， 所以的面积，故C项正确； D项，的周长为，故D项错误. 故选：ABC 【变式训练9-7】已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【解析】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 【变式训练9-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【答案】ABC 【分析】A根据渐近线方程并结合图形；B利用双曲线的定义以及余弦定理即可；C根据双曲线的定义计算圆心距和半径之差的绝对值，即可判断两圆的位置关系；D根据圆的切线段性质以及双曲线的定义可得出点的横坐标，再根据勾股定理计算，再利用等面积得出半径即可. 【解析】因渐近线方程为，故结合图形可知A正确； 因，则， 在中由余弦定理可得， 即， 由于，，则，得， 由于，故，故B正确； 设以为直径的圆圆心为，则， 是线段的中点，则圆与圆的圆心距， 又，则， 则两圆半径之差的绝对值为，故圆心距等于两圆的半径之差的绝对值， 则以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确； 如图，设圆与三边相切于，则， 则， 因，则， 则，故点的横坐标为， 记，则， 因，则，则，解得（负值舍去）， 则， 则 的面积为， 设的内切圆半径为，则，所以， 故或，D错误. 故选：ABC． 【变式训练9-9】已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 【分析】根据椭圆的简单几何性质即可分别求解． 【解答】解：椭圆方程为：， ，，， △的周长为，正确； △面积的最大值为，正确； 的最小值为， 又为椭圆上异于长轴端点的动点，错误； 椭圆的焦距为，错误． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，属基础题． 【变式训练9-10】设，是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是　　 A．到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C．△的外接圆半径为 D．△的面积为9 【分析】根据题意可知，是的中点，因此可得，为△的中位线，可求到直线的距离判断选项； 利用双曲线的定义，即可求得，和的值，求得双曲线的离心率，可判断选项； 求得，利用正弦定理即可求得△的外接圆半径，可判断选项； 利用三角形的面积公式，即可求得△的面积，可判断选项． 【解答】解：由题意，到准线的距离， ， ，如图过向作垂线，垂足为， 由，为中点， 则为△的中位线， 所以，即是的中点， 因为，，，，， 因此到直线的距离为，故错误； 在中，， 又，得到，解得，，， 所以双曲线的离心率，故正确； ，设△的外接圆半径， 因此，所以，故错误； △的面积，故错误． 故选：． 【变式训练9-11】（多选）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】由题意得的齐次方程，从而求得离心率，判断选项A；由不可能为等边三角形，判断选项B；分析可得当，的外接圆的面积取到最小值，据此求得的面积，判断选项C；求出内心所在的直线，求得斜率之比为定值，可判断选项D. 【详解】因为点为双曲线右支上一点，所以，且. 若为等腰直角三角形，则. 由，得，即. 对于A，因为离心率，所以，所以选项A正确； 对于B，因为，所以不可能为等边三角形，所以的内心与外心不可能重合，所以选项B不正确； 对于C，设的外接圆的半径为R，则，即. 当，即时，半径R取得最小值c，的外接圆的面积取到最小值. 此时，，所以的面积为.所以选项C正确； 对于D，设点是的内心，过点分别作的垂线，垂足为， 则，所以. 所以点是双曲线的右顶点，点在直线上. 设，则直线的斜率之比为，为常数.所以选项D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-12】（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】利用点到直线的距离公式结合题意建立方程，求解基本量，进而得到双曲线方程判断A，作出符合题意的图形，利用角平分线定理判断B，结合题意与双曲线定义得到，，再利用余弦定理求出，利用向量中线定理得到，再结合向量数量积的定义求出，最后求解判断C，先点到轴的距离，再利用等面积公式建立方程求解距离判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 设到的距离为，由点到直线的距离公式得， 由题意得到的距离为，得到，解得， 又渐近线方程为，则，而， 联立方程组，解得， 则双曲线的方程为，故A错误． 对于B，如图，作出符合题意的图形，    因为为的平分线，所以由角平分线定理得2，故B正确， 对于C，由已知得，由双曲线定义可得， 而为在第一象限的点，可得， 则，解得，，而， 在中，由余弦定理得， 因为是的中点，所以， 则，可得， 而， 可得，解得，故C错误， 对于D，在中，由同角三角函数的基本关系得， 设点到轴的距离为，由等面积公式得， 得到，解得，故D正确． 故选：BD 【变式训练9-13】如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断； 由余弦定理计算判断，； 由余弦定理、二倍角的余弦计算判断作答． 【解答】解：对于，椭圆，双曲线， 由椭圆、双曲线的定义可知，，解得，，故错误； 对于，令，由余弦定理得， 当时，，即，因此，故正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故错误；，， ，解得， 而，因此，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题． 题型10：以双曲线为背景的重心问题 【典型例题1】双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为. （1）若，求的面积； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设， ，解得， .. （2）设，则.设的内切圆半径为，则 ， 于是，. 由知，，即. 又，可得.因此，， 又点在第一象限，解得，（舍负），故. 【典型例题2】已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②不存在，理由见解析 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）    ①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 【变式训练10-1】已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， 代入双曲线方程得，又， 所以， 所以，所以双曲线的方程为； （2）设，直线：，与双曲线联立得 ， ， 所以， 由韦达定理得，， 所以重心坐标为， 代入双曲线方程得，合题意， 所以直线的方程为. 【变式训练10-2】若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. (1)证明； (2)当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； (3)已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)过多边形的重心，理由见解析 (3) 【详解】（1）不妨设在渐近线上，在渐近线上. 联立与，得到，， 同理，得到，， 进而有，， 故为线段中点，即. （2）设多边形有个顶点，分别为. 不妨设顶点在上方，在下方. 令方程为，且顶点到距离为， 于是，， 由题知，，故有， 即，故过多边形的重心. （3）设三角形、、的重心分别为、、，四边形的重心为. 易知，可得，进而、、三点共线. 由（2）知必过、，于是为直线. 又因为四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上， 故在直线上，故、、、共线. 可得直线且过点，则， 于是直线为，故，. 于是切线为，与轴交点为. 由（1）知，， 故. 【变式训练10-3】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【详解】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 【变式训练10-4】已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 【变式训练10-5】已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不存在；理由见解析 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 【变式训练10-6】已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点 (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)9 (3)存在，理由见详解. 【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得. 因此，存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲：双曲线的焦点三角形 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：焦点三角形与离心率 6 题型02：焦点三角形的周长问题 8 题型03：面积问题 9 题型04：长度距离 13 题型05：内切圆问题 14 题型06：正余弦定理求参数问题 17 题型07：几何性质 19 题型08：最值问题 20 题型09：多选题综合练 21 题型10：以双曲线为背景的重心问题 28 一. 考查题型 选择题、填空题高频压轴小题，解答题常结合定义、离心率、最值综合设问，分值占比稳定，属于双曲线核心重难点。 二. 命题常见角度 1.利用定义求焦点三角形边长、周长 2.结合余弦定理、面积公式求顶角、边长、面积 3.求解离心率取值范围、最值问题 4.判断角度大小、三角形形状 5.与渐近线、点差法、弦长问题交叉综合考查 三. 难度定位 中等偏上，公式体系固定，但边角转化、范围推导易出错；多选、填空压轴题高频出题，是拉开分数的考点。 四. 核心易错点 1. 混淆椭圆与双曲线焦点三角形边长关系，记错定义差值 2. 顶角最值、离心率范围推导忽略自变量取值限制 3. 面积公式混用，无法灵活切换不同计算形式 4. 角度与边长比例转化逻辑混乱 1. 牢记双曲线第一定义，熟练写出焦点三角形三边数量关系 2. 掌握焦点三角形面积三类计算公式，按需灵活选用 3. 能结合余弦定理、基本不等式求解角度、边长、离心率最值 4. 精准推导离心率取值范围，规避边界取值错误 5. 可解决形状判定、周长面积定值、综合复合型考题 知识点一：求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积． （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 知识点二：双曲线中的焦点三角形的性质 在 . 性质1：； 性质2：； 性质3：P是椭圆或双曲线上一点，若该椭圆焦点三角形左右旁心A或双曲线焦点三角形内心A的横坐标为 性质4：P是上除去左右顶点外一点， 的内心轨迹为，且该双曲线实轴与原双曲线实轴比为原双曲线离心率e. 性质5：P是或上一点，若该椭圆的内切圆或双曲线的旁切圆半径为r, 性质6：P是或上一点，若该椭圆的内心A或双曲线旁心A的纵坐标为m, 注 意 ： 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合，运用平方的方法，建立与的联系. (1) 有关焦点三角形的常用结论 令， ①。 ②由余弦定理得：。 ③。 ④。 (2) 有关焦半径的常用结论 ①若为双曲线上任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，(i)当点P在双曲线的左支上时，，；(ii)当点P在双曲线的右支上时，，(左加右减). ②双曲线的焦半径同侧最小为，异侧最小为(实轴两端点取到). 策略1：边长、周长基础计算 1. 依据双曲线定义，设定两条焦半径长度 2. 结合已知边长，列方程求解单条焦半径 3. 周长=两焦半径和+焦距，直接代数运算 策略2：角度、面积求解 1. 已知夹角：直接套用S=cot快速算面积 2. 已知点纵坐标：用S=c||最简计算 3. 求夹角大小：联立定义式与余弦定理，整体代换求值 4. 技巧：利用|P|-|P|=2a的平方变形，简化平方项计算 策略3：角度最值问题 1. 核心规律：动点P趋近双曲线顶点时，顶角θ达到最大值 2. 结合余弦函数单调性，余弦值越小角度越大 3. 搭配基本不等式，分析焦半径乘积最值，推导角度范围 策略4：离心率范围求解 1. 利用三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边 2. 结合顶角限制条件，转化出a,c的不等关系 3. 式子同除a，化为关于离心率e的不等式求解 4. 牢记双曲线固有范围 策略5：三角形形状判定 1. 边长等量关系判断等腰三角形 2. 余弦值正负判定锐角、直角、钝角三角形 3. 结合特殊角度，判定特殊三角形类型 题型01：焦点三角形与离心率 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的左支交于，两点，若，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】根据双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，即可求解． 【解答】解：如图所示，根据题意可知，， 又，，， 离心率， 故选：． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属基础题． 【典型例题2】设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且△的最小内角为，则的离心率为　　． 【分析】利用双曲线的定义求出，，，然后利用最小内角为结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 【解答】解：因为、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且满足， 不妨设是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 所以，，， △的最小内角，由余弦定理， ， 即， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力． 【变式训练1-1】如图，F1、F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的右左两支分别交于点A、B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　） A．4 B． C． D． 【变式训练1-2】双曲线方程为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点和点，以为直径的圆恰好经过点，且，则该双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【变式训练1-3】设，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在一点使得，，则该椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【变式训练1-4】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【变式训练1-5】双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 　　． 【变式训练1-6】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，直线与轴交于点，点在线段上，的内切圆的圆心为，若△为正三角形，则　　，的离心率的取值范围是 　　． 【变式训练1-7】设，为椭圆的两个焦点，点在上，为的离心率．若△是等腰直角三角形，则　　；若△是等腰钝角三角形，则的取值范围是　　． 【变式训练1-8】是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是△的内切圆，设圆与，分别切于点，，若圆的半径为2，直线的斜率为 　　． 题型02：焦点三角形的周长问题 【典型例题1】已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【解答过程】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 【变式训练2-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式训练2-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【变式训练2-3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线上一点，若，则的周长是 ． 题型03：面积问题 【典型例题1】已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【解题思路】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【解答过程】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 【典型例题2】过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】设双曲线的左焦点为，连接、，根据双曲线的对称性得到，设，，结合双曲线的定义及余弦定理求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】设双曲线的左焦点为，连接、，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，，又， 由双曲线的定义可得， 在中由余弦定理可得，， 即，解得， 所以. 故选：D. 【典型例题3】已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且．若△的面积为9，则实数的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，即可得出答案． 【解答】解：由题意得， ，△的面积为9， ，即，且， ，即， ，解得， 故选：． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想和房产思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 【典型例题4】已知椭圆为的左、右焦点，，，为上一点，且△的内心，若△的面积为，则的值为　　 A． B． C． D．3 【分析】由题意可知，△的内心到轴的距离就是内切圆的半径，由，，为上一点可得，，，再结合离心率公式和椭圆的性质，即可求解． 【解答】解：由题意可知，△的内心到轴的距离就是内切圆的半径， ，，为上一点， ， ， 又， ， ， ，即， ，解得或（舍去）， ，， 又， ，解得． 故选：． 【变式训练3-1】如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点、，若为等边三角形，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为（   ） A． B．6 C．3 D． 【变式训练3-4】过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【变式训练3-5】已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-6】如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【变式训练3-7】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练3-8】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3-9】已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-10】已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-11】设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【变式训练3-12】已知双曲线的焦距为8，右焦点为，直线与双曲线在一､三象限的交点分别为，且． (1)求双曲线的方程及的面积； (2)直线与双曲线交于两点，若直线与轴分别交于点，且．证明：为定值． 题型04：长度距离 【典型例题1】已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点（不同于双曲线的顶点）．在线段上取一点，使，作的平分线，交线段于点，则　　 A． B．2 C．4 D．1 【分析】根据可知为的中点，于是． 【解答】解：由双曲线定义可知， 由可得， 又，平分， 为的中点， 又是的中点， ． 故选：． 【变式训练4-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限）．设点，分别为△，△的内心，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-2】设O为坐标原点，，为双曲线的两个焦点，点P在C上，，则（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练4-3】已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ． 【变式训练4-4】已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 题型05：内切圆问题 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点分别为，， ，且直线为内切圆的一条切线，则内切圆的半径为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】已知双曲线，则， 因为，即， 所以点在双曲线左支上， 因为直线为内切圆的一条切线， 而也是内切圆的一条切线， 所以可设内切圆的圆心为，半径为， 设与轴的切点为， 由内切圆切线长性质可知，， 而，即，解得. 故选：C 【典型例题2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，，， 则，，， 所以，所以， 从而可知内切圆的圆心在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线，所以直线的倾斜角为， 方程为，将代入，得， 所以，即圆的半径为， 得圆的面积为.    故选：C 【变式训练5-1】是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，为右顶点，如图圆是△的内切圆，设圆与，分别切于点，，若圆的半径为2，直线的斜率为 　　． 【变式训练5-2】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是双曲线右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率是 　　． 【变式训练5-3】椭圆的左、右焦点分别为，，过焦点的直线交该椭圆于，两点，若的内切圆面积为，，两点的坐标分别为，，，，则的面积　　，的值为 　　． 【变式训练5-4】定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆：是“黄金椭圆”，则　　若“黄金椭圆” 两个焦点分别为，，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是△的内心，连接并延长交于点，则　　． 题型06：正余弦定理求参数问题 【典型例题1】已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则， 则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 【典型例题2】已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】首先可以结合题意作出双曲线的图象，然后根据得出，根据双曲线的定义得出，再然后根据得出以及，根据得出，最后将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果． 【解答】解：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在轴上， 设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点， 过点作于点， 因为， 所以， 所以点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义可知，，所以， 因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且， 所以， 故， 因为，所以， 将代入双曲线中， 即， 化简得， 又， 所以， ， 解得或（舍去），， 则该双曲线的渐近线方程为， 故选：． 【变式训练6-1】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练6-2】已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（   ） A．48 B．96 C．144 D．192 【变式训练6-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 题型07：几何性质 【典型例题1】已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由可得，， 由余弦定理得， ， 即，所以， ， 则双曲线的焦距等于4. 故选：C. 【变式训练7-1】双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限相交于点若直线的斜率为，的面积为8，则双曲线C的方程为 . 【变式训练7-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，直线过且与双曲线的左支交于，两点.若，且的周长为24，则双曲线的焦距为 . 【变式训练7-3】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则 . 【变式训练7-4】已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则 ． 题型08：最值问题 【典型例题】已知双曲线的左、右焦点分别为是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】不妨设点在双曲线的右支，令， 则，得，而， 则， 令，得 而函数在上单调递增，得， 故的最小值为． 故答案为： 【变式训练8-1】设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【变式训练8-2】已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为 　　． 【变式训练8-3】已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【变式训练8-4】已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　 A． B． C．3 D．2 题型09：多选题综合练 【典型例题1】如图，已知双曲线的焦距为8，点P为双曲线右支上一点（位于第一象限），且，Q为的平分线上一点，满足，，则（   ） A． B． C．离心率 D．的面积为12 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据直角三角形的性质计算判断A；延长交于点H，结合直角三角形的性质，根据正弦定理及两角差的正余弦公式求解，进一步求解，判断B，利用双曲线定义求出，进而求出离心率判断C，利用直角三角形面积求解面积判断D. 【详解】对于A，因为，O为中点，所以． 已知双曲线焦距为8，即，所以，A正确. 对于B，因为，Q为的平分线上一点，所以， 记，则，在中，由正弦定理得， 所以，从而，延长交于点H， 则，且H为线段的中点，在中，， 所以， 所以，B错误. 对于C，由B可得，， 所以，所以，所以， 所以离心率，C正确． 对于D，的面积，D正确． 故选：ACD 【典型例题2】已知点是双曲线：的右支上一点，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列结论正确的是（    ） ①点的横坐标为；②的周长为；③小于；④的内切圆半径为. A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】对于①，双曲线中，故. 左焦点，右焦点，. 设，则， 所以，将代入到双曲线方程中得， ，得到，即，负根舍去，故①正确. 对于②，计算的周长，由双曲线定义得， ， 故周长为，故②正确. 对于③，由余弦定理 ， 因为余弦函数在单调递减，故，故③正确. 关于④，设三角形内切圆半径为，周长为，由三角形面积公式，则， 故④正确. 故选： 【典型例题3】已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 【答案】BD 【详解】依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD.    【典型例题4】已知点P是双曲线 左支上一点，分别为双曲线的左右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ） A．点P的横坐标为 B．的周长为 C．大于 D．的内切圆半径为 【答案】BD 【详解】如图，由可得，双曲线的离心率为. 对于A，因，则的面积为， 解得，代入，因，则，故A错误； 对于B，因，， 又的周长为.故B正确； 对于C，由余弦定理可得，， 因，则，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为， 则，解得，故D正确. 故选：BD. 【变式训练9-1】已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ） A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【变式训练9-2】已知点分别为双曲线的左、右焦点，点为上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线与双曲线有相同的渐近线 B．若，则的周长为 C．若，则的面积为2 D．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 【变式训练9-3】已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（   ） A．的离心率为 B．若，则的周长为 C．若的斜率为1，则的面积为 D．若为的右支上两点，则直线的斜率 【变式训练9-4】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【变式训练9-5】已知分别是双曲线的上、下焦点，过的直线与双曲线的上支交于两点，的长等于实轴长的2倍，且，则（    ） A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C． D．的周长为 【变式训练9-6】已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，点是它们的一个公共点，且在圆上，椭圆和双曲线的离心率分别为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆的方程为 C．的面积为 D．的周长为 【变式训练9-7】已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（  ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【变式训练9-8】已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于两个不同的点，为的右支上一点（异于右顶点），的内切圆圆心为，则以下结论正确的是（　　） A．直线的斜率 B．若，则 C．以为直径的圆与圆相切 D．若，则点坐标为 【变式训练9-9】已知，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是　　 A．△的周长为10 B．△面积的最大值为 C．的最小值为1 D．椭圆的焦距为6 【变式训练9-10】设，是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是　　 A．到直线的距离为 B．双曲线的离心率为 C．△的外接圆半径为 D．△的面积为9 【变式训练9-11】（多选）已知双曲线的左右焦点为，点为双曲线右支上一点，存在点使得为等腰直角三角形，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的离心率为 B．的内心与外心可能重合 C．当的外接圆的面积取到最小值时，的面积为 D．设点是的内心，则直线的斜率之比为常数 【变式训练9-12】（多选）已知分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线．则下列正确的是（   ） A．双曲线的方程为 B． C． D．点到轴的距离为 【变式训练9-13】如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论不正确的是　　 A．， B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 题型10：以双曲线为背景的重心问题 【典型例题1】双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为. （1）若，求的面积； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设， ，解得， .. （2）设，则.设的内切圆半径为，则 ， 于是，. 由知，，即. 又，可得.因此，， 又点在第一象限，解得，（舍负），故. 【典型例题2】已知双曲线的离心率为2，其右焦点到一条渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且以线段为直径的圆经过点． ①证明：直线过定点； ②已知点，判断双曲线上是否存在点，使为的重心，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②不存在，理由见解析 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为， 所以右焦点为到渐近线的距离为， 因为双曲线的离心率为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为． （2）    ①设，， 联立，得， 则，，， 所以， ， 因为以线段为直径的圆经过点，所以， 所以，即， 所以， 化简得，即， 因为，，所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②假设双曲线上存在点，使为的重心， 则，即， 由①知，， 所以，又，所以， 因为点在双曲线上，所以，即， 化简得，即， 所以，或(舍)， 又因为，所以假设不成立， 故双曲线上不存在点，使为的重心． 【变式训练10-1】已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【变式训练10-2】若直线将多边形分为两部分，且使得多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等距线”.为坐标原点，、为双曲线的左、右焦点.为上一动点，过作的切线为，该切线分别交两条渐近线于点、.已知四边形与三角形有相同的“等距线”. (1)证明； (2)当“等距线”斜率存在时，探究是否过多边形的重心，并说明理由； (3)已知四边形的重心在三角形与三角形的重心连线上，若方程为，求三角形的面积. 【变式训练10-3】已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【变式训练10-4】已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【变式训练10-5】已知是以为焦点的抛物线是离心率为，以 为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点. (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上? 若存在，求出的值: 若不存在，请说明理由. 【变式训练10-6】已知是以为焦点的抛物线，是离心率为，以为焦点的双曲线，且与在第一象限有两个公共点 (1)求双曲线的标准方程； (2)求的最大值； (3)是否存在，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $