第03讲 双曲线的中点弦（点差法）讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2026届高考数学二轮复习双曲线专题（新高考通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线中点弦（点差法）核心考点，涵盖求弦所在直线方程、斜率、离心率、轨迹方程等9类高考高频题型，按知识要点-解题策略-题型归纳逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破存在性验证等易错点，构建系统解题思路。 讲义突出双曲线与椭圆点差法差异，强调判别式验证虚弦的关键步骤，如在存在性问题中引导学生联立方程检验，培养推理意识。分层设计典型例题与变式训练，助力学生快速掌握“设点-代入-作差-验证”流程，提升数学思维与解题效率，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第03讲 双曲线中点弦（点差法） 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：求弦所在直线方程 6 题型02：直线倾斜角斜率 8 题型03：求双曲线离心率 11 题型04：求弦中点有关的轨迹方程 13 题型05：求弦中点存在性问题 16 题型06：求参数问题 20 题型07: 求弦中点有关的距离和面积问题 22 题型08：求弦中点有关的定定点定值最值 25 题型09：综合 28 一. 考查题型 选择填空高频小题、解答题第一问常规必考，常结合弦长、斜率、参数范围、存在性命题出题。 二. 命题角度 1.已知中点求直线斜率、直线方程 2.已知直线求弦中点坐标、中点轨迹 3.判断中点弦是否真实存在（双曲线独有易错点） 4.与离心率、渐近线、韦达定理综合混搭 3. 难度定位 中等基础题型，套路固定，但检验存在性是失分重灾区；高考常考陷阱题。 4. 易错坑点 双曲线中点弦不能直接套用椭圆结论，求出直线后必须联立判别式验证，极易算出虚弦。 1. 熟记双曲线点差法标准推导步骤，能30秒列式求斜率。 2. 区分椭圆、双曲线点差法异同，掌握双曲线虚弦判定方法。 3. 熟练求解：中点→斜率→直线方程、中点轨迹两类核心题型。 4. 结合判别式、定义域，判断中点弦是否存在，规避答题扣分。 5. 能联立韦达、弦长公式完成综合计算。 直线与双曲线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与双曲线的交点，而是利用根与系数的关系或“点差法”求解。特殊地，若是双曲线上的两点，的中点为，则弦所在直线的斜率. 关于中点弦问题的注意事项 若已知点在双曲线内部,则中点弦一定存在;若已知点在双曲线外部,中点弦可能存在也可能不存在,所以对所求直线必须进行检验，以免出现增根,只需对求出的k检验判别式是否成立. 利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 / 联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。 步骤 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 步骤 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 步骤 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 步骤 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 知识点1：弦长公式 设直线，则A，B两点间距离为： ； ； 特殊情况（焦点弦）： 椭 圆：；其中为直线的倾斜角。 双曲线：；其中为直线的倾斜角。 抛物线：；其中为直线的倾斜角。 注意：以上情况为焦点在x轴情况，若焦点在y轴，则与互换 知识点2：圆锥曲线点差法 其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。 椭 圆：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 双曲线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 抛物线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以： 知识点3：弦中点性质 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点4：弦中点坐标或斜率求离心率 椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 核心解题策略 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 题型01：求弦所在直线方程 【典型例题1】直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 【变式训练1-1】已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 . 【变式训练1-4】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【变式训练1-5】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【变式训练1-6】已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【变式训练1-7】已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【变式训练1-8】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【变式训练1-9】设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【变式训练1-10】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 【变式训练1-11】双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【变式训练1-12】已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 题型02：直线倾斜角斜率 【典型例题1】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【典型例题2】已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【详解】   设双曲线的半焦距为，，根据题意得． 又，∴． 在中，由余弦定理得，， 即，解得，则． 设，，则，， 两式相减可得， 所以． 设，因为是线段的中点，所以，， 又，所以． 故答案为：. 【典型例题3】已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式训练2-1】已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 【变式训练2-3】设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【变式训练2-4】已知双曲线. (1)求的取值范围. (2)已知的渐近线方程为. ①求的值； ②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率. 【变式训练2-5】 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 题型03：求双曲线离心率 【典型例题1】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【典型例题2】已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 【变式训练3-1】过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【变式训练3-3】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【变式训练3-5】已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【变式训练3-6】已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率 . 【变式训练3-7】斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 . 题型04：求弦中点有关的轨迹方程 【典型例题1】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 【典型例题2】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线方程为，， 则，两式相减得， 所以， 为线段中点，则，， 又， 所以，即， 而是焦点，所以，，则， 经验证双曲线符合题意， 所以双曲线方程为，故选：B． 【典型例题3】已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    【变式训练4-1】已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 【变式训练4-4】已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为 若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【变式训练4-6】已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【变式训练4-7】已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【变式训练4-8】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 题型05：求弦中点存在性问题 【典型例题1】设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知为线段AB的中点，设出，两点坐标，及AB的中点坐标，直线方程为：，应用点差法求得，根据此关系式求出直线斜率，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点是否合适. 【详解】由题可得点为线段AB的中点， 选项A：数形结合可知，直线为直线时，点为AB的中点， 故可以作为点的坐标； 已知双曲线，直线斜率存在时设直线方程为： 与双曲线交于，两点，AB的中点为， 则，，两式相减可得 ，得 选项B：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项C：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项D：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 不能作为点的坐标． 故选：D 【典型例题3】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2． (1)求M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程； （2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可. 【详解】（1）设，则， 由得 整理得 所以，点M得轨迹方程为． （2）设，，可得 两式相减得 由题意，，，所以 直线AB方程为 代入得，． ∵， ∴不存在这样的直线l． 【变式训练5-1】双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练5-2】设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【变式训练5-3】已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【变式训练5-4】直线和双曲线的左支交于A，B两点，直线l过点和线段AB的中点． （1）求的取值范围； （2）是否存在值，使l在轴上的截距为1，若存在，求值；若不存在，说明理由． 【变式训练5-5】已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 题型06：求参数问题 【典型例题1】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 【典型例题2】若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 【典型例题3】斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【解析】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 【变式训练6-1】已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式训练6-5】已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（    ） A．0或 B．0 C． D． 【变式训练6-6】已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为 . 【变式训练6-7】已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【变式训练6-8】已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【变式训练6-9】已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 题型07:求弦中点有关的距离和面积问题 【典型例题1】过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为. （2）由题意可得：， 显然直线的斜率不为0，设直线：， 联立方程，消去x整理得， 则，且， 因为，可得， 因为直线的方程为， 令，得， 因为，可得， 所以直线过定点， 由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为， 则， 令，则， 则， 因为函数在区间内单调递减， 所以当时，的面积取得最小值，最小值为. 【变式训练7-1】设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-31】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【变式训练7-4】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【变式训练7-5】已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1． (1)求双曲线的方程； (2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值． 题型08：求弦中点有关的定定点定值最值 【典型例题1】已知是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点． (1)求E的方程； (2)设分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）设，代入方程利用点差法得，联立求解即可 （2）直线AB的方程为，联立方程，根据题意结合韦达定理可证均在直线上，求的坐标，利用向量的坐标运算可得，结合几何知识即可得的值. 【详解】（1）因为右焦点，所以， 设， 因为直线过点时，C恰为的中点， 由中点坐标公式得，， 又在双曲线上， 所以①，②，两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为， 又，所以，所以， 故双曲线E的方程为. （2）由（1）知，且分别为E的左、右顶点，可知， 由题意可知：直线AB的斜率可以不存在，但不为0， 设直线AB的方程为，此时直线AB必与双曲线相交， 设，可知， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 可得，则，即， 同理可得，即均在直线上， 则，， 可得 ， 可知，即， 可知，所以. 【典型例题2】已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由焦距得，又，得. 则的标准方程为. （2）（i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则. 因为，所以. 依题设，，同理得，则， 则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为， 则 得，同理. 假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则. 由得， 化简得，得，则恒过定点. 【变式训练8-1】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．    【变式训练8-2】已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 题型09：综合 【典型例题】（多选）已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 【变式训练9-1】黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【变式训练9-2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 双曲线中点弦（点差法） 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 3 解题策略 5 题型归纳 6 题型01：求弦所在直线方程 6 题型02：直线倾斜角斜率 17 题型03：求双曲线离心率 23 题型04：求弦中点有关的轨迹方程 28 题型05：求弦中点存在性问题 36 题型06：求参数问题 43 题型07: 求弦中点有关的距离和面积问题 50 题型08：求弦中点有关的定定点定值最值 56 题型09：综合 62 一. 考查题型 选择填空高频小题、解答题第一问常规必考，常结合弦长、斜率、参数范围、存在性命题出题。 二. 命题角度 1.已知中点求直线斜率、直线方程 2.已知直线求弦中点坐标、中点轨迹 3.判断中点弦是否真实存在（双曲线独有易错点） 4.与离心率、渐近线、韦达定理综合混搭 3. 难度定位 中等基础题型，套路固定，但检验存在性是失分重灾区；高考常考陷阱题。 4. 易错坑点 双曲线中点弦不能直接套用椭圆结论，求出直线后必须联立判别式验证，极易算出虚弦。 1. 熟记双曲线点差法标准推导步骤，能30秒列式求斜率。 2. 区分椭圆、双曲线点差法异同，掌握双曲线虚弦判定方法。 3. 熟练求解：中点→斜率→直线方程、中点轨迹两类核心题型。 4. 结合判别式、定义域，判断中点弦是否存在，规避答题扣分。 5. 能联立韦达、弦长公式完成综合计算。 直线与双曲线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与双曲线的交点，而是利用根与系数的关系或“点差法”求解。特殊地，若是双曲线上的两点，的中点为，则弦所在直线的斜率. 关于中点弦问题的注意事项 若已知点在双曲线内部,则中点弦一定存在;若已知点在双曲线外部,中点弦可能存在也可能不存在,所以对所求直线必须进行检验，以免出现增根,只需对求出的k检验判别式是否成立. 利用中点弦求解圆锥曲线问题的核心思路是通过 “点差法” 或 “韦达定理法” 建立中点坐标与直线斜率的关系，进而推导所需结论。无论何种中点弦问题（求直线方程、轨迹、存在性等），均遵循 “设点→代入→作差 / 联立→推导关系→验证” 的基本流程，关键是建立中点坐标与弦所在直线斜率的联系。 步骤 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 步骤 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 步骤 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 步骤 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 步骤 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 知识点1：弦长公式 设直线，则A，B两点间距离为： ； ； 特殊情况（焦点弦）： 椭 圆：；其中为直线的倾斜角。 双曲线：；其中为直线的倾斜角。 抛物线：；其中为直线的倾斜角。 注意：以上情况为焦点在x轴情况，若焦点在y轴，则与互换 知识点2：圆锥曲线点差法 其本质是利用圆锥曲线的对称性和方程的整体性：设弦的两端点在曲线上，代入方程后作差，可通过平方差公式分解出含中点坐标和直线斜率的表达式，直接搭建二者的桥梁。 椭 圆：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 双曲线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以得：，即 抛物线：设圆锥曲线与直线AB交于，弦AB中点为。 则。将A,B两点代入得：， 两式作差得： 所以： 知识点3：弦中点性质 椭 圆：则弦的斜率之积为定值，即： 双曲线：则弦的斜率之积为定值，即： 抛物线：则弦的斜率之积为定值，即： 知识点4：弦中点坐标或斜率求离心率 椭 圆：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 双曲线：已知中点坐标和所在弦的斜率求离心率：则 核心解题策略 1：明确已知条件与目标 确定圆锥曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线）及其标准方程；明确中点坐标（或中点满足的条件）、待求量（直线方程、轨迹方程、参数范围等）。 2：设点与表示中点 设弦的两个端点为； 根据中点坐标公式，得到： 3：代入曲线方程并作差（点差法核心） 代入方程：将两点坐标代入圆锥曲线方程，进行作差化简。 4：结合条件求解目标 求直线方程：已知中点，用点斜式写出直线方程（斜率由步骤 3 得）； 求中点轨迹：设中点为，用斜率关系（如直线过定点、斜率满足某条件）消去参数，得到轨迹方程； 存在性判断：求出直线方程后，联立曲线方程，通过判别式验证是否有实根。 5：验证特殊情况与范围 检查直线斜率不存在的情况（如垂直轴的直线是否符合条件）； 限制轨迹范围：确保中点对应的弦与曲线有两个交点（利用判别式或曲线范围）。 题型01：求弦所在直线方程 【典型例题1】直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：A. 【典型例题2】已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 【变式训练1-1】已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【解析】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 【变式训练1-2】若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 【变式训练1-3】过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 . 【答案】 【详解】设，， 则，，所以， 即. 因为，所以P为线段AB的中点，所以，， 所以. 因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴， 所以，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 联立可得，， 该方程有两个不等的实数解，故直线与双曲线有两个交点，满足条件， 故答案为：. 【变式训练1-4】已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 . 【答案】 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 【变式训练1-5】已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 【变式训练1-6】已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    【变式训练1-7】已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1)2 (2)3 (3)或 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的离心率. （2）根据题意易得直线的斜率存在，设， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3. （3）由题意得双曲线的右焦点为. 若以线段为直径的圆经过坐标原点，则. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据对称性不妨设，则，， 所以直线的斜率存在， 则可设直线的方程为. 由，得， ， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以直线的方程为，即或. 而，故， 所以直线AB过定点. 【变式训练1-8】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求C的离心率； (2)若，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当时，点的横坐标为， 代入C的方程，得，故，即 因，所以，故，解得， 故C的离心率为． （2）由（1）知，设，， 因为P，Q是C上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为， 【变式训练1-9】设圆：，圆：，已知动圆与其中一个圆内切，与另一个圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若，是上的两点且线段的中点为，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）可化为，圆的圆心为，半径； 可化为，圆的圆心为，半径． 设动圆的半径为．若动圆与圆内切，与圆外切，则，， 可得； 若动圆与圆内切，与圆外切，则，，可得． 故．可知点的轨迹是以，为焦点的双曲线，且，， 则，故动圆圆心的轨迹的方程为． （2）设，，易得，则 ， 两式作差得，整理得到， 因为线段的中点为，且在双曲线内部，所以， 则直线的斜率， 故所求直线方程为，即． 【变式训练1-10】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线交于不同的两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对于双曲线，其渐近线方程为， 设双曲线的方程为，由题意可得， 消化简得，此方程无解； 设双曲线的方程为，由题意可得， 解得所以双曲线的方程为. （2）设，因为两点在双曲线上，， 两式相减得， 因为为的中点，所以，则， 因此直线的斜率． 直线的方程为，即． 经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 【变式训练1-11】双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)存在，. 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可； （2）利用点差法计算即可. 【解析】（1）令，所以， 又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离， 所以双曲线的标准方程为：； （2）假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为， 则，， 又有，， 两式相减得，即 即，所以，解得， 所以直线的方程为，即， 联立直线与双曲线方程得： ， 即直线与双曲线有两个交点，满足条件， 所以存在直线，其方程为. 【变式训练1-12】已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【解题思路】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【解答过程】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 题型02：直线倾斜角斜率 【典型例题1】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【典型例题2】已知为坐标原点，双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过左焦点作斜率为的直线与双曲线交于，两点（在第一象限），是的中点，若是等边三角形，则直线的斜率为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【详解】   设双曲线的半焦距为，，根据题意得． 又，∴． 在中，由余弦定理得，， 即，解得，则． 设，，则，， 两式相减可得， 所以． 设，因为是线段的中点，所以，， 又，所以． 故答案为：. 【典型例题3】已知双曲线的虚轴长为，分别是的左、右焦点． (1)求的渐近线方程． (2)若是的右支上一点，且，求． (3)是否存在直线，使得直线与交于，两点，且弦的中点为？若存在，求的倾斜角；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为双曲线的虚轴长为，所以，所以， 所以的渐近线方程为，即； （2）因为双曲线定义及是的右支上一点，所以， 又因为，所以； （3）假设存在直线l，设，则， 两式相减得， 由的中点为， 得， 因此直线的斜率， 双曲线的渐近线方程为，而，则直线与双曲线相交， 所以存在直线满足要求，直线的斜率为，的倾斜角为. 【变式训练2-1】已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率. 【解析】设, 由均在上，为的中点， 得，则， ∴， ∴， 设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角， ∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则. ∴， ∴，解得， ∴由对称性知直线的斜率为. 故选：D 【变式训练2-2】已知直线交双曲线于点，点，若的重心恰好落在双曲线的左焦点上，则直线的斜率为 ． 【答案】 【解析】设，， 因为，，由重心坐标公式得，， 所以弦的中点坐标为，，即． 又，在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则， 故，作差得， 将中点坐标代入得． 【变式训练2-3】设是双曲线上的两点，且线段的中点是，则直线的斜率为 ． 【答案】1 【详解】设，则的中点 在双曲线上，，两式相减得， 则，则． 此时，即，联立方程，消去y得， 此时，故直线与双曲线有两个交点. 故答案为：1 【变式训练2-4】已知双曲线. (1)求的取值范围. (2)已知的渐近线方程为. ①求的值； ②若过点的直线与交于两点.且为的中点，求的斜率. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由题意得， 得，所以的取值范围为. （2）①由，得，则， 所以的渐近线方程为，得. ②由①得.设，则. 由 得，得， 得，所以的斜率为. 因为在上支的上侧，的斜率，所以与必定相交于两点. 第（2）②问还可以这样解答： 由①得.易知的斜率必定存在，设，）. 由得， 得，解得. 此时，所以的斜率为. 【变式训练2-5】 已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 题型03：求双曲线离心率 【典型例题1】已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是的中点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可求得，结合可得出双曲线的离心率的值. 【详解】设点、，由题意可得， 因为点是的中点，则， 因为，这两个等式作差可得， 所以，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：D. 【典型例题2】已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 【变式训练3-1】过双曲线内一点斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被M平分，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入双曲线方程作差，结合，利用斜率公式列式可得，即可求解离心率. 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 【变式训练3-2】已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 【变式训练3-3】已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，根据易知确定坐标值，再应用点差法及直线斜率的两点公式得到，进而得到双曲线参数的齐次方程求离心率. 【详解】设中点为，由题设易知，故， 因为，故， 所以，而，故， 故，故. 故选：A 【变式训练3-4】已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【解析】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 【变式训练3-5】已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【详解】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ， 即，可得， 所以，即. 故答案为：. 【变式训练3-6】已知双曲线：（，），倾斜角为45°的直线与双曲线相交于，两点，的中点是，则双曲线的离心率 . 【答案】 【详解】设，由题意可得，且， 又因为，所以， 即有，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式训练3-7】斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意，取的中点，根据中点弦结论、三角形重心和外心的定义以及离心率公式进行求解即可. 【详解】不妨取的中点. 因为的重心为，且在中线上， 所以. 由中点弦结论知，， ， ， 因为， 所以， ， 又由，可得的外心为的中点， 于是由中点弦结论知，又， 所以，即. 由得，， 解得， 所以双曲线的离心率.    故答案为：2. 题型04：求弦中点有关的轨迹方程 【典型例题1】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 【典型例题2】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于M，N两点，且的中点为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设双曲线方程为，， 则，两式相减得， 所以， 为线段中点，则，， 又， 所以，即， 而是焦点，所以，，则， 经验证双曲线符合题意， 所以双曲线方程为，故选：B． 【典型例题3】已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    【变式训练4-1】已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【变式训练4-2】已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的方程为，，，，，运用点差法，以及中点坐标公式和直线的斜率公式，可得，的方程，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到所求双曲线的方程． 【详解】解：设双曲线的方程为， 由题意可得，① 设，，，， 可得，， 两式相减可得， 由题意可得的中点坐标为，直线的斜率为， 则，② 由①②解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：A． 【变式训练4-3】若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是圆锥曲线中点弦问题，运用点差法求解双曲线方程. 【详解】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，且，， 由已知条件易得直线的斜率为，则有， 变形可得，因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得，又因为的中点为， 所以，，化简得， 又因为，所以，解得，， 则双曲线的方程为：. 故选：B. 【变式训练4-4】已知双曲线的右焦点为F，圆M的方程为 若直线l与圆M切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线l的斜率为k，则，求得，由点在圆上，可求出，设点，，则，，两式相减化简可得，从而可求出的值，进而可得双曲线C的方程. 【详解】设直线l的斜率为k，则，所以， 因为点在圆上， ，即， 设点，，则，. 两式相减，得 则，即， 所以双曲线C的方程为. 故选：B. 【变式训练4-5】已知双曲线经过点，离心率为． (1)求的方程． (2)已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点，若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为． （2）设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为． 【变式训练4-6】已知双曲线的实轴长为2，点 到双曲线的渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点 M 的轨迹方程． 【答案】(1)；(2)，其中或． 【分析】（1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可； （2）利用点差法进行求解即可. 【解析】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则． 因为双曲线的一条渐近线为． 点到双曲线的渐近线的距离为， 所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为； （2）设，中点，则：， 因为在双曲线，故， 两式相减（点差法）：， 因式分解得：， 两边除以（直线斜率显然存在），代入： ， 又直线过和，故斜率，因此：， 整理得轨迹方程（将换为）：， 所以点的轨迹方程为，其中或． 【变式训练4-7】已知为坐标原点，双曲线经过点，左、右焦点分别为. (1)求的离心率； (2)一组平行于的直线与相交，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解法一：依题意，得解得，所以的离心率. 解法二：因为两焦点分别为，所以，，即，所以的离心率. （2）解法一：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线方程为， 与交于点，线段的中点为. 由 得，即， ， 所以，因为， 所以，即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上. 解法二：由（1）知的方程为. 直线的斜率，设平行于的一组直线与交于点， 线段的中点为. 由两式相减得：， 显然，所以， 所以，即， 即这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上.    【变式训练4-8】已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程． 【答案】 【分析】 设双曲线的方程为，利用点差法求出的关系，再结合，求出，即可得解. 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得， 设，， 由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为， 得的中点为，则， 由且， 两式相减得， 则，即， 所以，联立，解得，， 故所求双曲线的方程为． 题型05：求弦中点存在性问题 【典型例题1】设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则的中点， 可得， 点在双曲线上，则， 相减得，则. 对于选项A：可得，则， 联立方程，消去得， 此时， 所以直线与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：点在双曲线上，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D，则， 联立方程，消去得， 此时，故直线与双曲线有两个交点，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】已知双曲线，直线与双曲线交于A，B两点，为坐标原点，若点在直线上且直线OP把分成面积相等的两部分，则下列不能作为点的坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知为线段AB的中点，设出，两点坐标，及AB的中点坐标，直线方程为：，应用点差法求得，根据此关系式求出直线斜率，联立直线方程与双曲线方程，验证判别式求直线与双曲线交点个数即可判断选项作为点是否合适. 【详解】由题可得点为线段AB的中点， 选项A：数形结合可知，直线为直线时，点为AB的中点， 故可以作为点的坐标； 已知双曲线，直线斜率存在时设直线方程为： 与双曲线交于，两点，AB的中点为， 则，，两式相减可得 ，得 选项B：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项C：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 可以作为点的坐标； 选项D：可得直线的斜率，故直线的方程为， 联立得，得，， 不能作为点的坐标． 故选：D 【典型例题3】在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为2． (1)求M的轨迹方程； (2)记M的轨迹为曲线，过点能否作一条直线l，与曲线交于两点D、E，使得点P是线段DE的中点？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设，根据所给条件，列出方程化简即可得出轨迹方程； （2）利用“点差法”求出直线方程，再联立椭圆方程，利用判别式检验即可. 【详解】（1）设，则， 由得 整理得 所以，点M得轨迹方程为． （2）设，，可得 两式相减得 由题意，，，所以 直线AB方程为 代入得，． ∵， ∴不存在这样的直线l． 【变式训练5-1】双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意，设， 则，相减得， 因为点为线段的中点，所以， 所以，所以， 因为的中点为，结合， 所以的中垂线斜率为， 由题意，即，解得，即的横坐标为3. 故选：C 【变式训练5-2】设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 【变式训练5-3】已知双曲线，过点作直线l. (1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ (2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先由点差法求出直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程，判断判别式是否大于0即可； （2）联立直线与双曲线方程，根据题意列出的不等式即可求解. 【详解】（1）当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为， 又双曲线，右顶点为在直线l上， 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率，                所以直线l的方程为，即，     验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. （2）设直线l的方程为:， 将其代入双曲线方程得， 依题意有，解得. 【变式训练5-4】直线和双曲线的左支交于A，B两点，直线l过点和线段AB的中点． （1）求的取值范围； （2）是否存在值，使l在轴上的截距为1，若存在，求值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【分析】（1）联立直线与双曲线方程，消去，设直线和双曲线的交点为），．依题意可得解得即可； （2）设线段AB的中点为M，则点．假设存在直线，则M在直线上，由l在轴上的截距为1，即可求出，再与（1）中的取值范围检验即可； 【详解】解：（1）由方程消去y，整理得． 设直线和双曲线的交点为），． 由题意知即，解得． （2）设线段AB的中点为M，则点． 假设存在直线，则M在直线上， 故， 即，代入， 得 ． 令则， 解得或，而 ，故不存在． 【变式训练5-5】已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【分析】（1）根据双曲线的实轴长和离心率求出、，进而求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程，然后联立直线与双曲线方程，通过判别式判断直线与双曲线是否有交点，从而确定是否存在满足条件的直线； 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． 题型06：求参数问题 【典型例题1】过双曲线右焦点的直线与交于两点．若的中点为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，由的中点为，得， 由共线，得， 由，两式相减，得， 则，而双曲线右焦点为，故， 所以. 故选：D 【典型例题2】若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 【典型例题3】斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【解析】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 【变式训练6-1】已知双曲线（，），斜率为1的直线l与双曲线C的两支分别交于M，N两点，且M，N的中点为，若右顶点A在以线段为直径的圆内，则此双曲线的实半轴a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求双曲线的实轴、虚轴、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先应用点差法计算得出，再应用为直径应用数量积公式计算求解范围. 【详解】设，，则，， ，N两点均在双曲线C上，， 由①-②得， 知，，即，即，， 设直线MN的方程为，即， 联立得， 消去y并整理得，， 则，． ， 令，解得或，因为故． 故选:C． 【变式训练6-2】椭圆与直线交于M，N两点，连接原点与线段中点所得直线的斜率为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可推出，设线段中点为，结合题意推出，，代入化简，即可得答案. 【详解】设，则， 两式相减得， 由已知椭圆与直线交于M，N两点，可知， 故，即， 设线段中点为，则，而， 连接原点与线段中点所得直线的斜率为，即， 故，即， 故选：A 【变式训练6-3】斜率为1的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法来求得正确答案. 【详解】设， 则， 两式相减并化简得， （负根舍去）. 故选：B 【变式训练6-4】已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解； 【详解】解：设、，则，， 两式相减可得， 为线段的中点，，， ，又，， ，即，， 故选：D. 【变式训练6-5】已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为（    ） A．0或 B．0 C． D． 【答案】A 【解析】设，，的中点，根据点M，N在双曲线上，且P为中点，利用点差法得到，再由M，N关于直线对称，得到，则，又点在直线上，得到，联立求得点P,代入抛物线方程求解. 【详解】设，，的中点， 因为， 所以； 又因为， 所以； 又因为M，N关于直线对称， 所以，即； 又因为点在直线上，所以； 由，可得， 所以， 即或， 故选：A. 【变式训练6-6】已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为 . 【答案】3 【详解】设，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点， 则此直线一定存在斜率，设过点的直线的方程为， 整理得到，代入双曲线得到， 整理得， 则有，为弦中点， ，，， 又， ，，， 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，成立； 正整数的最小值为3. 故答案为：3. 【变式训练6-7】已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为 . 【答案】 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：.    【变式训练6-8】已知双曲线，其中一条渐近线的倾斜角为，点，坐标原点 (1)求的值； (2)直线经过点，与的两条渐近线分别交于点.若的面积为，求直线的方程； (3)如图，直线交双曲线的右支于不同两点，，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倾斜角计算出斜率，由此可求的值； （2）联立直线与渐近线方程，得到的坐标并表示出，由求得结果； （3）设出以及的中点的坐标，通过点差法得到的坐标与的关系，结合在双曲线的右支内部以及在直线上求解出的范围. 【详解】（1）因为渐近线的倾斜角为，所以， 所以. （2）由题意可知直线的斜率存在，设，由（1）可知渐近线方程为， 联立，可得，不妨取，所以， 同理可得，所以， 所以，解得， 所以. （3）设，的中点为， 由题意可知的斜率绝对值大于渐近线斜率的绝对值，所以， 联立，可得，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 将代入双曲线方程中，可得，因为在双曲线的右支内部，所以， 又因为，所以，所以， 即. 【变式训练6-9】已知双曲线：的离心率为，实轴长为2． (1)求双曲线的方程； (2)若直线被双曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，写出关于的方程组，即可求解； （2）直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【解答过程】（1）由条件可知，，所以，，， 所以双曲线的方程为； （2）联立，得， 设直线被双曲线交于点， 恒成立， ，， ， ， 解得：. 题型07:求弦中点有关的距离和面积问题 【典型例题1】过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    【典型例题2】已知双曲线的右焦点为，直线与的右支交于两点. (1)若线段的中点坐标为，求直线的方程； (2)当过点时，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，且直线，交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，直线的斜率， 因为在椭圆上，则，两式相减得， 整理可得，即， 可得直线的方程为，即，经检验符合题意， 所以直线的方程为. （2）由题意可得：， 显然直线的斜率不为0，设直线：， 联立方程，消去x整理得， 则，且， 因为，可得， 因为直线的方程为， 令，得， 因为，可得， 所以直线过定点， 由对称性可知直线过定点，即直线与的交点为， 则， 令，则， 则， 因为函数在区间内单调递减， 所以当时，的面积取得最小值，最小值为. 【变式训练7-1】设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 【变式训练7-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【解答过程】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 【变式训练7-31】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且. (1)求的标准方程； (2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由且得，根据勾股定理即可求出，再由双曲线的定义即可求出，最后利用即可求出； （2）设过的直线为， 与双曲线方程联立根据韦达定理有，由弦长公式，最后由即可求出. 【解答过程】（1）因为且，所以焦点，即，， 所以， 根据双曲线的定义有，所以， 所以双曲线. （2）根据题意过的直线斜率为0显然不满足题意，可设过的直线为， 由， 当时，有， 设，则由韦达定理有， 所以， 因为，所以，即点和点到直线的距离相等， 则有，解得， 所以. 【变式训练7-4】已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长和点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为.    【变式训练7-5】已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1． (1)求双曲线的方程； (2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点差法可求得，结合，求出，即可求出双曲线的方程； （2）直线与双曲线方程联立，求出点坐标，因为直线与垂直，所以用替换，得到点的坐标，求出直线的方程，即可得出恒过定点，即可得出与的面积之比 【详解】（1）依题意可知，设，， 则两式作差可得， 即，又当时，直线的斜率为1， 所以．又，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）联立直线与双曲线方程，得 消去整理得，则，， 则所以，，所以． 又因为直线与垂直，所以用替换，得到． 当，即时，直线的方程为，直线过点． 当且，时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得，所以直线过点． 综上，直线恒过点． 所以与的面积之比为． 题型08：求弦中点有关的定定点定值最值 【典型例题1】已知是双曲线的右焦点，过点F的直线与E交于两点（不同于E的顶点），当直线过点时，C恰为的中点． (1)求E的方程； (2)设分别为E的左、右顶点，与交于点与交于点Q，若D为的中点，证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）设，代入方程利用点差法得，联立求解即可 （2）直线AB的方程为，联立方程，根据题意结合韦达定理可证均在直线上，求的坐标，利用向量的坐标运算可得，结合几何知识即可得的值. 【详解】（1）因为右焦点，所以， 设， 因为直线过点时，C恰为的中点， 由中点坐标公式得，， 又在双曲线上， 所以①，②，两式相减得， 所以， 因为直线的斜率为， 又，所以，所以， 故双曲线E的方程为. （2）由（1）知，且分别为E的左、右顶点，可知， 由题意可知：直线AB的斜率可以不存在，但不为0， 设直线AB的方程为，此时直线AB必与双曲线相交， 设，可知， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 因为直线AM的方程为，直线BN的方程为， 则， 可得，则，即， 同理可得，即均在直线上， 则，， 可得 ， 可知，即， 可知，所以. 【典型例题2】已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【详解】（1）由焦距得，又，得. 则的标准方程为. （2）（i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则. 因为，所以. 依题设，，同理得，则， 则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为， 则 得，同理. 假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则. 由得， 化简得，得，则恒过定点. 【变式训练8-1】已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【难度】0.65 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    【变式训练8-2】已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 题型09：综合 【典型例题】（多选）已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（   ） A．双曲线C的实轴长为 B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上 C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离 D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上 【答案】ABD 【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1， 则，（舍去），故实轴长为，故A正确； 由A知，，，即双曲线焦点为， 存在圆， 设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：， 所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确； 因为直线与双曲线的渐近线平行， 而两条平行线间的距离为， 所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误； 设，则由，相减可得： ，所以，即， 所以D在一条定直线上，故D正确. 故选：ABD 【变式训练9-1】黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点．设为坐标原点，双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与双曲线的一条渐近线垂直 D． 【答案】ACD 【详解】对于 A，由题得离心率，故A正确； 对于B，设，，则点， 则，，两式作差得， 则，故B不正确； 对于C，易知，，则，双曲线的一条渐近线的斜率， 所以， 所以直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确； 对于D，，， 由C选项可知有，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练9-2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、讨论双曲线与直线的位置关系、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $