河北沧州市名校联盟2026届高三下学期考前模拟检测数学试题

**基本信息** 高三数学三模试卷覆盖复数、统计、向量等主干知识，以抛物线重心、Sigmoid函数、集合新定义等创新情境，考查数学抽象、几何直观与创新意识，适配高考冲刺阶段综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数实部、百分位数、向量夹角|基础层考查数学眼光，如第5题抛物线重心结合中点性质，体现几何直观| |多选|3/18|正态分布、椭圆、Sigmoid函数|能力层关联AI情境，第11题激活函数分析，培养应用意识与推理能力| |填空|3/15|二项式系数、匹配概率、函数零点|创新层设计排列组合问题，第13题错位匹配考查数学思维严谨性| |解答|5/77|三角函数、立体几何、导数、双曲线、集合新定义|综合层突出探究性，第19题数集运算结合等比数列，发展创新意识与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

高三数学参考答案及解析 0205G302 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C 0 B A 0 A B ACD BC ACD 1C【懈标】计-》7安的实部为故透C 2.B【解析】该组数据是按照从小到大顺序排列的，一共10个数据，，10×30%=3，∴.第30百分位数为 第3个数据和第4个数据的平均数，为4士6-15.放选B 3.D【解析】因为向量e1,e2为单位向量，且e1-2e2=√7， 所以(e1-2e2)2=7, 即e-4e,e:+4e=5-4ee,=7,所以e6,=-, 放oeee,)-ef62, e1·e2 又因为0°≤(e1,e2)≤180°，故(e1,e2）=120°，即e1,e2的夹角大小为120°，故选D. 4B【解析】由等差数列a,}的前n项和公式，得S,-9a1,十ag）_9X2a:=54,故选B 2 5.A【解析】设A(x1,y),B(xy),C(x3,y),:点F(1,0)是△ABC的重心，.++=1， 3 ∴a+,+,=3,AN+BP+CM=CAF+BF+CF)=r十1+，+1++1D=.故选A 6.D【解析】设该圆台的上、下底面的圆心分别为O1,O2,在上底面圆周上任取一点为A,可求得O2A= √(2√3)2+22=4，等于下底面圆的半径，所以外接球的球心为O2,外接球的半径为4，所以外接球的体积 为红-25故选D 3 7.A【解析】因为f(x一1)为奇函数，所以f(x一1)=一f(一x一1)，即f(x)=一f(一2-x). 又因为f(x)为偶函数，故f(x)=-f(一2-x)=一f(x十2)， 所以f(x十4)=-f(x十2)=-[-f(x)]=f(x), 故f(x)是周期函数且周期为4，而log21024=10<1og22026<1og22048=11, 故f(1og22026)=f(1og22026-12)=-f(10-10g22026)=-f(10g22026-10)=-(2,202s-10-2)= -202+2=品放选A 210 8.B【解析】圆心C(-2,1)到直线1：y=2x-1的距离d=12×(-2)-1-1_65 √22+12 5 若r≥5，即直线L与圆C有公共点，则在圆C上一定存在满足题意的两点M,Ny 若<65 ,即直线1与圆C相离，如图，过圆心C作直线1的垂线，垂足为D,过点D作圆C的两条切线， 切点分别为M',N',连接M'C, 高三数学参考答案第1页（共7页） 若圆C上总存在两点M,N,使得以MN为直径的圆与直线1有交点，则只需∠M'DN'≥2，即 ∠MDC≥T,所以d≤2r, 即2，≥65，解得r≥3V10 5 5 所以3而≤<85 5 棕上的取值范围为月，+小放选品 9.ACD【解析】对于A,因为随机变量~N(1,o2),所以随机变量：服从正态分布，该正态曲线关于直线 x=1对称，则P(≤0)=P(≥2)，故A正确； 对于B,因为随机变量~B(6,》,所以D()=6X分×(-)=号，故B错误， 对于C,由题意可得元-80+90+100+10+120-10，y=120+140+a+165+180_605+0 5 5 又因为经验回归方程为立=1.45x十7，所以05+4-1,45X10+7,解得a=15,故C正确； 5 对于D,因为P(B|A)=1一P(B|A)=1-0.6=0.4, 所以P(BA)A50.4PAB)=0,.4X0.7=0,28 即P(A∩B)=0.28,故D正确. 故选ACD. 10.BC【解析】由已知条件可知OA=2λ，(W6一√2)A<OP<2λ，若AP=AO, 根据余弦定理可知cos∠AOP=OP+0A2一AP一OP 2OA·OP =20A’ 所以52<as∠A0p<2, 4 s5π-6-2 又因为0s12=4 所以<∠AOP<径，义因为∠F,OP=-∠A0P, 所以径∠F,OP<至，即直线OP的倾斜角的范围为径，)， 故选BC. 高三数学参考答案第2页（共7页） 11.ACD【解析】对于A,因为函数y=ex为定义域R上的减函数，所以函数y=1十ez为定义域R上 的减函数，所以函数S(x)=1十e=为定义域R上的增函数，由指数函数性质可知e>0,则1十e4> 1,进而可得0<1十。1，即S()的值蚊为0,1).故A正确 对于B,因为S(x)= 1十。所以S(2x)= 1+ea,又因为T(x)=ee-1-e24 2 e+e1+ea=-1 1十e-2z, 所以T(x)=2S(2x)-1,所以存在常数a=2,b=一1，使得T(x)=aS(2x)十b,所以B错误； 对于C,假设存在常数a∈R,使得G(x)=(a一S(x)·T(x)的图象是轴对称图形， 则存在常数t,使得G(2t-x)=G(x),即(a一S(2t-x))·T(2t-x)=(a-S(x)·T(x), 易知S(x)+S(-x)=1,T(-x)=-T(x), 所以(a-S(2t-x)·T(2t-x)=[a-(1-S(x-2t)]·(-T(x-2t)=[(1-a)-S(x-2t)]· T(c-2)=a-S(x》·Tx),当1-a=a,2=0,即a=2t=0时，上述等式显然成立，所以存在常 数a=2满足题意，此时函数G(x)=(a一S(x)》·T(x)是偶函数，对称轴为y轴，所以C正确； 对于D,由题意可知g)1十。一由于y=e“在R上单调递减，故：(r堤R上的增两数 3 3 3 33e-1 3 对任意x,有gx)+g2-x)=1+e十1十ea可-e-+十e-i+1十e可 e2-1+1=3, 已知x1+x2>2,即x2>2-x1,由g(x)是增函数得g(x2)>g(2-x1), 所以g(x1)十g(x2)>g(x1)+g(2-x1)=3,即g(x1)十g(x2)恒大于3. 对任意x1,x2∈R,且x1十x2>2,不等式g(x1)+g(x2)>m2+2m恒成立，等价于3≥m2+2m, 整理得m2十2m-3≤0，即(m-1)(m+3)≤0， 解得一3≤m≤1，即m的取值范围是[-3,1].故D正确， 故选ACD. 12.【答案】100 【解折】(+)°的展开式的通项为T-1-Cx()厂-C52x， 令6-2r=0,解得r=3;令6-2r=2,解得r=2. 所以2-1(+2)° 的展开式中含x2项的系数为1×C%×23一1×C%X2=100. 1a【答案品 【解析】将1,2,3,4,5,6六个数字随机填在标号为1,2,3,4,5,6的六个空格内，每个空格内只填一个数 的方法数为6！=720.设事件A表示“1,2,3号格子均“匹配不成功”，其对立事件A表示“1,2,3号格子 至少有一个格子“匹配成功”.1号格子“匹配成功”的方法数为5！=120，同理2号格子“匹配成功”的方 法数为5！=120,3号格子“匹配成功”的方法数为5！=120.1,2号格子均“匹配成功”的方法数为 4!=24,同理2,3号格子均“匹配成功”的方法数为4！=24,1,3号格子均“匹配成功”的方法数为 4!=24.1,2,3号格子均“匹配成功”的方法数为3！=6.结合容斥原理得P（A)= 720-(3×120-3×24+6)71 720 120 高三数学参考答案第3页（共7页） 14.【答案】（是o) 【解析】f(x)=ae-x3+2x2,令f(x)=0,得ae-x3+2x2=0, 分离参数得a一2令g(红)云一2x则间题等价于y=a与y=g)的图象有三个不同的 交点， g(x)=3x-4r)e-（3-2x)e-x-5x2+4x=xe-1Dz-40 (e)2 e 当x∈(-∞，0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(1， 4)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(4，十∞)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 且当x-时ga-,g0-0,g=g④-2+o时g)≥0，且ge）0, g(x)的大致图象如下： 321 5 所以要使y=a与y=g(x)的图象有三个不同的交点，则一】<a<0. 5.解】(IDf(z)=-sin cosw一+sin os=sin7 COS+ 2 sin wx 十sinωxc0Sωx= 2 sin wxcos wx十 4sin 1-o2ar)-号--）+ 6 4 …4分 该暖数图象的两条对称轴之间的放小距离为了-受T=…一 =π，∴.w=1. …6分 ②)由1可得了x)-sn2x）+ …7分 :f-sm(eA-）+-35siml(eA-）-=1, 2A--A= 31 …9分 由a2-6+e3-2%6asA,得12=6+e2-e=6+e)-36≥6+e)-6+e月， 即b+c≤4V3,当且仅当b=c=2V3时，等号成立， 又由b+c>a得b+c>23,所以2W3<b+c≤4√3， …12分 所以△ABC的周长的取值范围为(43,6√3].…13分 16.【解】(1)连接BD交AC于点O,连接PO, ,四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,且O是AC,BD的中点，…2分 又PA=PC,PO LAC.…4分 又PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD,∴.AC⊥平面PBD,又.EFC平面PBD,.EF⊥AC.· …6分 高三数学参考答案第4页（共7页） (2)由(1)可知O为BD中点，又，PB=PD,∴.PO⊥BD,又，PO⊥AC,AC∩BD=O,AC,BDC平面 ABCD,PO⊥平面ABCD.…8分 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为之轴，建立如图所示的空间 直角坐标系： AC=6,∴.OA=3. 又，AD=√13，∠AOD=90°，∴.OD=2,则OP=√AP2-OA2=√52-32=4， 可知A(3,0,0),B(0,2,0),C(-3,0,0),D(0,-2,0),P(0,0,4). 则AP=(-3,0,4),PB=(0,2,-4),PC=(-3,0,-4), 点F为PD的中点，.F(0,-1,2),AF=(-3,-1,2). :点E为PB上的-点，BE-BP,PE-店-(o,青，-》， 应=-+P吃=(-3,04+o,专，）=(3青，) …11分 设PG=λPC=(-3x,0,-4以)(0≤入≤1)， .AG=A户+PG=(-3-3入，0,4-4). m1·A它=0， 3x++号=0， ,4 设平面AEF的法向量为n1=(x,y,z),. 即 m1…A=0, -3x-y+2z=0, 令y=2,则x=4,之=7，n1=(4,2,7) &AGm,=0,即4-3=3)+74-4)=0，a号 ∴=(0，》 13分 易知平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1), 设直线AG与平面ABCD所成的角为0， 12 5 则sin0=|cos(AG,n2)l 4√65 √(+ 65 所以直线AG与平面ABCD所成的角的正弦值为465. 65· …15分 17.【解)(1)当a=2时，f(x)=21nx-x-4,f'(x)=2-1,f'(1)=2-1=1,f(1)=-1-4=-5.… …2分 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=f'(1)(x-1)+f(1)=x-6,即y=x-6.…4分 高三数学参考答案第5页（共7页） (2)由题意得f(x)的定义域为(0，十∞)， 由f)=aln s--a,可得f)-是-1= 若a=0,则f(x)=一x,显然f(x)≤-2不恒成立；…6分 若a<0,则f'(x)<0在(0，十∞)上恒成立， 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递减，x→0时，f(x)→十∞，所以f(x)≤-2不恒成立；…8分 若a>0,则当x∈(0，a)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(a,十∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)的最大值为f(a)=alna-a一a2,… …10分 要满足题意，则elha-a-a2<-2,即1na-1-a≤-名，即a-lha-名+1≥0.…12分 令gx)=x-1nx-2+1r>0),则g'(x)=1-1+2-x2-+2, x 22 因为-x+2=(-》+>0恒成立. 所以g'(x)>0恒成立，则g(x)在(0，十∞)上单调递增。 又g(1)=0,则由g(x)≥0，得x∈[1，+∞)，即a∈[1，+∞)， 故a的取值范围为[1，十0∞).… 15分 18.【解】(1)设双曲线E的右焦点为F2,连接DF2,CF2, 由题意知，四边形DFCF2是平行四边形，∴.|DF2=|CF1, .2a=DF1|-|DF2|=lDF1-CF1|=4,.a=2, :双曲线的一条渐近线方程为)y=2, 22b1,…32分 E的方程为y21. …4分 (2)()由题可知，直线l的方程为y=k(x一2)+1(k≠0)， y=k(x-2)+1, 联立x y2=1, 消去y,得（号-k2）z2-(2k一42）z-42+4一2=0.…5分 则有一k2≠0,4=(2-4级2)2-4（日-八（一4极2+4锁-2》=2-4>0，即<2，且质≠-2 设P(x1y1),Q(x2y2), -42+4k-2 则x1十x2= 2k-4k2 ，x1x2= 4√2-4k 所以x2-x1=√a2+x1)=4x2x1=1-4k1 …7分 所以SaAe-2×ABX1:-x1-×1X42-2v2, 、|1-4k2 即k(8k3-4k+1)=0,即k(2k-1)(4k2+2k-1)=0, 又k≠0,2k-1<0,所以4k2+2k-1=0, 解得k=1,5或k=-1十5 4 4 10分 高三数学参考答案第6页（共7页） (i设M0,m),N0,n),不妨设m>.则直线AM:y=受(z-2, 与双曲线方程联立，消去y,得(1一m2)x2+4m2x-4m2-4=0, 则△=(4m2)2+4(1-m2)(4m2+4)=16,xAxp= 4(m2+1) m2-1 则xp=2(m2+1) m-1yp=2m m2-19 同理。202 13分 则i-）a-2出1》 又P,B,Q三点共线，则有PB/QB 化简得m十n十2=0，…16分 所以MN的中点为定点(0，一1).…17分 19.【解】(1)A={1,2,4,8},A十A={2,3,4,5,6,8,9,10,12,16},…3分 f(A十A)=10.…5分 (2)()先证明集合A中任意两个元素（可以相同）的和不同. 利用反证法：假设存在n1≥m1,n2≥m2,(n1,m1)≠(n2,m2),使得am1十am1=am,十am2, 设等比数列a,}的公比为qg>0),且g=,其中5，t∈N,且s,t互为质数，则(）”+（任）”- ()产+(）产。 显然n1≠n2[n1=n2时，m1=m2,此时(nm1,m1)=(n2,m2),与已知相矛盾]， 不妨设n1>n2,则s”1十s1·t”1-m1=s”t”1-十gm”1m2 若n1>m1,则方程左边不是t的倍数，右边是t的倍数，显然矛盾 若=m>≥m,显然(：)”+（任）广”和(：）”+(：）”之间存在大小差异，具体方向取决于和 1的大小关系 所以假设不成立，…9分 所以集合A中任意两个元素（可以相同）的和不同， 所以f(A+A)=n+C2=nn+1) 2 …11分 ()由(i)知集合A中任意两个元素（可以相同）的和均不同，所以若i≠k,且方≠l,i,j,k,l∈{1,2，…， n},则a:十a;≠a.十a,即a:一a。≠a,一a,也即集合A中任意两个不同元素的差均不相同.对于集合 A十B,其可能最多有n2个元素，要使f(A十B)最小，必须让这n2个元素中重复元素尽可能多.任取 A十B中两个元素a:十b,a十b,若其相等，即a:十b,=ak十b1,即a:一a=b,-b;,在A十B中每一组 相等的元素都对应着一组a:一a6=b,一b,因为集合A,B均满足元素差值不相同， 所以重复元素个数最多为C=n(-1), 2 …15分 故fA十B的最小值为m2_n,1)_n,+,当A=B时取最小值， 2 2 因此f(A十B)的最小值为”n+1) 2 …17分 高三数学参考答案第7页（共7页） 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数 (i为虚数单位)的实部为 A. B. C. D. 2.一组数据8,12,14,16,21,23,33,34,38,40的第30百分位数是 A.14 B.15 C.16 D.33.5 3.已知向量e₁，e₂为单位向量，且 则e₁,e₂的夹角大小为 A.30° B.45° C.60° D.120° 4.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn，且则 A.27 B.54 C.60 D.108 5.已知A,B,C是抛物线 上不同的三点,点 F(1,0)是△ABC 的重心,M,N,P 分别是AB,BC,CA 的中点,则AN+BP+CM= A.9 B.12 C.15 D.18 6.已知某圆台的上、下底面半径分别为2，4，高为2 ，则该圆台外接球的体积为 A.64π 7.已知函数f(x-1)为奇函数,且 f(x)为偶函数,当0≤x≤1时,有 则f(log₂2026)= A. B. C. D. 8.已知直线l:y=2x-1,圆( C: 若圆C上总存在两点M，N，使得以MN 为直径的圆与直线l有交点，则r的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.下列说法正确的是 A.若随机变量ξ~N(1,σ²),则P(ξ≤0)=P(ξ≥2) B.若随机变量 则D(ξ)=3 C.若一组样本数据(80,120),(90,140),(100,a),(110,165),(120,180)的经验回归方程为 则a=155 D.若随机事件A，B满足P(A)=0. 则P(A∩B)=0.28 10.已知椭圆 的左顶点为A，O为坐标原点，P是椭圆上一点，P在第二象限内.若AP=AO，则直线OP 的倾斜角的可能取值为 A. B. C. D. 11.人工智能(AI)领域中，神经网络常用激活函数引入非线性.其中 Sigmoid函数是一种典型激活函数，定义为 另一种常用激活函数是 Tanh 函数(双曲正切)：T(x)= 则 A. S(x)在 R上单调递增,且值域为(0,1) B.不存在常数a,b∈R,使得T(x)=aS(2x)+b C.定义G(x)=(a-S(x))·T(x),则存在常数a∈R,使得G(x)的图象是轴对称图形 D.已知g(x)=3S(x-1),若对任意x₁,x₂∈R,且. 不等式 恒成立，则实数m的取值范围为[-3，1] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 的展开式中含x²项的系数为 .(用数字作答) 13.将1，2，3，4，5，6六个数字随机填在标号为1，2，3，4，5，6的六个空格内，每个空格内只填一个数.若填入的数字与格子的标号相同，则称该格子“匹配成功”，否则称“匹配不成功”.则1，2，3号格子均“匹配不成功”的概率是 . 14.若函数 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)已知函数 其图象的两条对称轴之间的最小距离为- (1)求ω的值; (2)在△ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 求△ABC 的周长的取值范围. 16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形ABCD 是边长为 的菱形,AC=6,PA=PC=5,PB=PD,点F 为PD 的中点,点E 为PB 上的一点,平面AFE 与棱PC 交于点G. (1)证明:EF⊥AC; (2)当 时，求直线AG 与平面ABCD 所成的角的正弦值. 17.(本小题满分15分)已知函数 (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若f(x)≤-2恒成立,求a 的取值范围. 18.(本小题满分17分)已知双曲线E的左焦点为 一条渐近线方程为 C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称， (1)求 E 的方程; (2)已知点A 为双曲线E 的右顶点,过点 B(2,1)且斜率为k(k≠0)的直线l与E交于P,Q两点,直线AP,AQ 分别与y轴交于M,N 两点. (i)若△APQ 的面积为 求k 的值； (ii)探究线段 MN 的中点是否为定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 19.(本小题满分17分)对于数集A,B,定义. 集合A 中元素的个数记作 f(A). (1)设 求A+A和f(A+A); (2)设 数列 为等比数列且各项为正有理数. (i)求f(A+A); (ii)若 数列 为等比数列且各项为正有理数，求.f(A+B)的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $