7.5 正态分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦正态分布核心知识点，系统梳理基本概念（均值、标准差、概率密度曲线）、核心性质（曲线位置与面积、标准化变换）、3σ原则及对称结论，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料亮点在于高频考点清晰，解题思路结构化（定参数、画对称轴等步骤），例题与变式训练丰富。通过产品质量、成绩统计等实际问题培养数学眼光，对称转化与概率计算训练数学思维，正态分布模型应用提升数学语言表达能力。课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

随机变量及其分布：正态分布讲义 随机变量及其分布：正态分布讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基本概念 · 记作： · ：均值（对称轴），决定左右位置； · ：标准差，决定曲线胖瘦，越大图像越矮胖，数据越分散。 · 概率密度曲线：正态曲线，关于直线对称。 2. 核心性质 1. 曲线在轴上方，与轴围成总面积为； 1. 对称轴，左右两侧面积相等，； 1. 离对称轴越近，取值概率越大； 1. 正态分布可标准化变换： · 服从标准正态分布。 3. 3σ原则（必考） 绝大多数数据落在内，之外概率极小。 4. 对称常用结论 二、高频考点 1. 判断：由对称轴、最值位置求均值与标准差； 1. 利用对称性求概率（最常考）； 1. 套用 3σ原则计算区间概率； 1. 正态分布实际应用：产品质量、成绩、身高、产量等统计问题； 1. 标准正态转化 + 查表求值； 1. 已知概率反求参数或。 三、解题原理 利用正态曲线轴对称性分割面积概率，结合固定概率值，把所求区间概率转化为已知区间概率进行加减运算。 四、通用解题思路 1. 定参数 从题干读出（对称轴）、（标准差）； 1. 画对称轴 标出，分清左右区间； 1. 巧用对称转化 把陌生区间概率，转化为对称轴同侧、对称区间概率； 1. 套用 3σ数值 遇到、、直接代入固定概率； 1. 面积加减运算 利用总面积为 1、左右各占列式计算； 1. 实际应用题 算出概率后，结合总数：。 五、常用速记结论 1. 1. 1. 超出概率几乎为 0，做题可忽略 1. 求人数/个数：总数量 × 对应区间概率 六、易错点 1. 混淆与，看清题干给的是方差还是标准差； 1. 不会用对称转换，硬算导致出错； 1. 记错对应三组小数； 1. 实际问题忘记用总数×概率求具体数量。 例题分析 例1．（2026·山西大同·三模）为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中·多选）若随机变量且，则下列选项正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．的最小值为50 例4．（25-26高二下·广东惠州·期中·多选）已知随机变量，且，，则给出的下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高二下·安徽六安·期中）机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 例6．（25-26高二下·上海·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 例7．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 例8．（25-26高二下·江苏盐城·期中）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 变式训练 变式1．（25-26高二下·福建福州·期中）工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（   ）（附：若，则，，） A．2718 B．1359 C．430 D．215 变式2．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）随机变量，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）已知某AI智能设备的运行温度（单位：℃）服从正态分布，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．从该批设备中任选1台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5 B．从该批设备中任选1台，其运行温度不低于110℃的概率是0.7 C．从该批设备中任选2台，这2台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18 D．从该批设备中任选1台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等 变式4．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（2026·江苏苏州·模拟预测）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 变式6．（25-26高二下·天津武清·期中）若随机变量且，则________. 变式7．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 变式8．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． (1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； (2)一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （i）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95  10.12  9.96  9.96  10.01  9.92  9.98  10.04 10.26  9.91  10.13  10.02  9.22  10.04  10.05  9.95 经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则， ，． 实战演练 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京·期中）随机变量服从正态分布，若，则________ 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 6．（2026·山西临汾·一模）已知随机变量X服从正态分布，，则______. 7．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）某大型公司进行新员工招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为笔试，已知应聘者的初试成绩．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功． (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小明已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小明在复试中总闯关次数为5次的概率． 附：若随机变量，则． 8．（25-26高二下·河北衡水·月考）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取n件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为X. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率p； (2)若n，k（）为定值，求取最大值时的值； (3)当n足够大时，（2）中的近似服从.设，，当时，求证：. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：正态分布讲义 随机变量及其分布：正态分布讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 基本概念 · 记作： · ：均值（对称轴），决定左右位置； · ：标准差，决定曲线胖瘦，越大图像越矮胖，数据越分散。 · 概率密度曲线：正态曲线，关于直线对称。 2. 核心性质 1. 曲线在轴上方，与轴围成总面积为； 1. 对称轴，左右两侧面积相等，； 1. 离对称轴越近，取值概率越大； 1. 正态分布可标准化变换： · 服从标准正态分布。 3. 3σ原则（必考） 绝大多数数据落在内，之外概率极小。 4. 对称常用结论 二、高频考点 1. 判断：由对称轴、最值位置求均值与标准差； 1. 利用对称性求概率（最常考）； 1. 套用 3σ原则计算区间概率； 1. 正态分布实际应用：产品质量、成绩、身高、产量等统计问题； 1. 标准正态转化 + 查表求值； 1. 已知概率反求参数或。 三、解题原理 利用正态曲线轴对称性分割面积概率，结合固定概率值，把所求区间概率转化为已知区间概率进行加减运算。 四、通用解题思路 1. 定参数 从题干读出（对称轴）、（标准差）； 1. 画对称轴 标出，分清左右区间； 1. 巧用对称转化 把陌生区间概率，转化为对称轴同侧、对称区间概率； 1. 套用 3σ数值 遇到、、直接代入固定概率； 1. 面积加减运算 利用总面积为 1、左右各占列式计算； 1. 实际应用题 算出概率后，结合总数：。 五、常用速记结论 1. 1. 1. 超出概率几乎为 0，做题可忽略 1. 求人数/个数：总数量 × 对应区间概率 六、易错点 1. 混淆与，看清题干给的是方差还是标准差； 1. 不会用对称转换，硬算导致出错； 1. 记错对应三组小数； 1. 实际问题忘记用总数×概率求具体数量。 例题分析 例1．（2026·山西大同·三模）为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以．故C正确． 例2．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，则正态曲线关于直线对称， 因为，则， 根据对称性得到， 则. 例3．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中·多选）若随机变量且，则下列选项正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．的最小值为50 【答案】CD 【分析】先根据正态分布 的对称性，由 推出 ；再利用期望的线性性质判断选项A，通过正态分布的对称性计算区间概率判断选项B，结合正态曲线的对称性与单调性比较概率大小判断选项C，最后利用均值不等式求解 的最小值判断选项D. 【详解】因为已知 ，则正态曲线关于直线 对称，且 ， 由条件 ，根据对称性可得 ，即 ， 选项A：根据期望的线性性质： ，A选项错误； 选项B：因为 ，由对称性 ， 所以 ， 因此 ，B选项错误； 选项C：根据正态分布的对称性：， 又因为 ，且正态分布的累积分布函数是增函数， 所以， 即 ，C选项正确； 选项D：因为，由均值不等式：， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为50，D选项正确． 例4．（25-26高二下·广东惠州·期中·多选）已知随机变量，且，，则给出的下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线关于对称轴对称的性质，先求解均值，再结合正态分布的概率特征、期望方差的定义逐一判断各选项的正误. 【详解】∵ 随机变量，且， 正态曲线关于对称，故. 对于选项B：正态分布的期望，故B正确. 对于选项D：正态分布的方差，故D错误. 对于选项C：∵ 正态分布曲线关于对称，对称轴左侧的概率为，故，故C正确. 对于选项A：∵ 与关于对称，故， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，故A错误. 例5．（25-26高二下·安徽六安·期中）机床是工业母机，是一切制造之母，五轴联动数控机床是最高端的数控机床之一．某企业用五轴联动数控机床生产的高精密零件的壁厚d（单位：）近似的服从正态分布，若时，高精密零件合格，从该企业生产的此高精密零件中随机抽取1个，则此高精密零件合格的概率约是____________，该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是，则最大时，____________． （参考数据：若，则，，） 【答案】 0.954 1907或1908 【分析】根据正态分布的性质，结合题目所给的参考数据，可求出第1空的概率；易判断合格品数服从二项分布，进而求出合格品的概率，列出最大的不等式组，即可求出第2空的值. 【详解】解：因为，则，， 所以，，， 因此，此高精密零件合格的概率约是0.954． 由该企业某月生产了1999个此高精密零件，其中有k个合格品的概率是， 设生产1999个零件，合格品数为，则， 则，若最大，则， 即， 即，解得， 又，所以或1908． 例6．（25-26高二下·上海·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则__________． 【答案】/ 【详解】由题意正态分布曲线关于对称， 故. 例7．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【详解】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 例8．（25-26高二下·江苏盐城·期中）一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【答案】(1) (2)（i）万人（ii） 0 1 2 3 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 变式训练 变式1．（25-26高二下·福建福州·期中）工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（   ）（附：若，则，，） A．2718 B．1359 C．430 D．215 【答案】B 【详解】由，得，则 ， 所以任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为． 变式2．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正态密度曲线知，故A错误． 由正态密度曲线的对称轴方程为，可知，故B错误． 因，故C错误． 因，故D正确． 变式3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）已知某AI智能设备的运行温度（单位：℃）服从正态分布，且满足，则下列说法正确的是（   ） A．从该批设备中任选1台，其运行温度不低于120℃的概率是0.5 B．从该批设备中任选1台，其运行温度不低于110℃的概率是0.7 C．从该批设备中任选2台，这2台设备运行温度都高于130℃的概率为0.18 D．从该批设备中任选1台，其运行温度超过110℃与不超过130℃的概率相等 【答案】ABD 【详解】因为运行温度（单位：℃）服从正态分布，所以，所以，所以A正确； 因为正态分布曲线关于对称，从该批设备中任选1台，其运行温度低于110℃的概率为， 故其运行温度不低于110℃的概率为，所以B正确； 从该批设备中任选2台设备，这2台设备运行温度都高于130℃的概率为，所以C错误； 由，，可得D正确． 变式4．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 因为，且， 所以，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 变式5．（2026·江苏苏州·模拟预测）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】 【分析】先确定正态分布的均值与标准差，将合格品区间转化为均值加减若干倍标准差的形式，利用正态分布的对称性结合参考数据计算概率． 【详解】依题意，设活塞销的直径为随机变量，则， 其中，，即 合格品直径范围为，将端点变形为，， 即求 由正态分布的对称性可得： , 所以． 变式6．（25-26高二下·天津武清·期中）若随机变量且，则________. 【答案】0.6 【分析】利用正态分布对称性求解. 【详解】因为随机变量且， 所以， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以. 变式7．（25-26高二下·河南许昌·期中）某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为. (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)经统计，该校学生体测得分近似服从正态分布，若得分则为“优秀”等级.现从全校抽取50名学生，记为这50名学生中“优秀”的人数，求的数学期望及方差（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . (3)数学期望为8，方差为7. 【分析】（1）根据全概率公式进行计算； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，3，再分别求出对应概率得到分布列并计算期望； （3）由题意得，，利用正态分布得到，再结合二项分布求解． 【详解】（1）设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”，则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，知， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）的可能取值为0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 随机变量服从超几何分布，且，，，所以； （3）由题意得，， ， ，，， 所以的数学期望为8，方差为7． 变式8．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并检测其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． (1)假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望； (2)一天内检验零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （i）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95  10.12  9.96  9.96  10.01  9.92  9.98  10.04 10.26  9.91  10.13  10.02  9.22  10.04  10.05  9.95 经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）． 附：若随机变量服从正态分布，则， ，． 【答案】(1)，数学期望为0.0416； (2)（i）理由见解析；（ii）需检查；的估计值为10.02，的估计值为 【分析】（1）根据题意得出，即可求解； （2）（i）根据出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小即可说明理由；（ii）由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外,则需要检查；再根据公式分别计算和即可． 【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之间的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故， 因此， 的数学期望为． （2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026， 一天内的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的． ②由=9.97，，得的估计值，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为，因此的估计值为10.02， ．剔除之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为． 实战演练 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为， 所以. 2．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以. 3．（25-26高二下·江苏盐城·期中）在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性求出概率，再由独立重复试验的概率计算公式求解 【详解】因为在内的概率为，所以，故， 记“任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85”为事件，则 4．（25-26高二下·北京·期中）随机变量服从正态分布，若，则________ 【答案】0.2/ 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布，现调查统计三个年级共1000名男生，按照该校学生处的统一规定：校国旗班男生身高不低于190cm．估计可以备选的男生人数约为_____人．（四舍五入取整数） 参考数据：若，则， 【答案】23 【分析】根据正态分布特殊区间的概率求解即可. 【详解】因为高中男生身高（单位：cm）近似服从正态分布, 所以男生身高不低于190cm的概率为, 所以估计可以备选的男生人数约为人. 6．（2026·山西临汾·一模）已知随机变量X服从正态分布，，则______. 【答案】3 【详解】因为随机变量X服从正态分布，且， 所以根据对称性可得. 7．（25-26高二下·浙江绍兴·期中）某大型公司进行新员工招聘，共有来自全国各地的10000人参加应聘．招聘分为初试与复试．初试为笔试，已知应聘者的初试成绩．复试为闯关制：共有三关，前两关中的每一关最多可闯两次，只要有一次通过，就进入下一关，否则闯关失败；第三关必须一次性通过，否则闯关失败．若初试通过后，复试三关也都通过，则应聘成功． (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数； (2)若小明已通过初试，在复试时每次通过第一关、第二关及第三关的概率分别为，且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响，求小明在复试中总闯关次数为5次的概率． 附：若随机变量，则． 【答案】(1)214 (2) 【分析】（1）由，利用正态分布三段区间的概率值公式算出概率，即可估计初试成绩位于区间内的人数； （2）根据规则分别计算，复试时，小明通过第一关，第二关，第三关的概率，再利用独立事件的概率乘法公式计算即得． 【详解】（1）因为，， ， ，， 所以， 则可估计10000名应聘者中，初试成绩位于内的人数约为 ． （2）总闯关次数恰好为5次，意味着无论最终成功还是失败， 只要在复试中总共尝试了5次即可．根据规则，前两关最多各2次，第三关仅1次， 所以次数构成只能是：第一关2次 + 第二关2次 + 第三关1次 ． 这就要求第一关第一次失败、第二次通过，第二关第一次失败、第二次通过， 然后进入第三关并尝试一次（这一次无论通过与否都算1次闯关）． 设复试时小明第一关闯关2次且通过的概率为，第二关闯关2次且通过的概率为， 由题意可得 因每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响， 即复试通过第一关，通过第二关，进入第三关相互独立， 故小明在复试中总闯关次数为5次的概率． 8．（25-26高二下·河北衡水·月考）某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取n件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为X. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率p； (2)若n，k（）为定值，求取最大值时的值； (3)当n足够大时，（2）中的近似服从.设，，当时，求证：. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）因为单件产品检测合格包含真实合格且检测合格、真实不合格但误判合格两个互斥事件，所以用全概率公式计算，将两个事件的概率相加. （2）因为X服从二项分布，所以先写出的表达式，将其看作关于的函数，再利用求函数最值的方法，比如求导或者利用组合数的性质分析函数的单调性，找到取最大值时的值. （3）因为近似服从，所以先将通过正态分布的标准化转化为标准正态分布的概率不等式，结合参考数据得到关于的不等式，即可证明结论. 【详解】（1）设“单件产品实际为合格品”为事件A，记“单件产品检测为合格品”为事件D， 则由全概率公式知， ， 即单件产品的检测结果为合格的概率为. （2）因为每件产品的检测结果相互独立， 所以件产品中检测结果为合格的件数X服从二项分布. 当时，. 令，其中， 则 令，得，且， 所以当时，， 所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值.因此. （3）由于为随机变量，由（2）可设. 且，所以，. 因为，，所以 所以， 因为，所以， 由题知，近似服从， 因为，所以， 所以， 所以，故， 由参考数据，故，解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $