水平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动 专项训练 -2026届高三物理三轮冲刺

**基本信息** 以“模型分类-临界分析-能量整合”为主线，系统构建水平面与竖直面圆周运动解题体系，强化科学思维中的模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |水平面内的圆周运动|3例+3变式|轨迹圆心确定→合力向心力→正交分解列方程→极值求解|从匀速圆周运动模型出发，通过受力分析建立向心力与运动参量关系，体现运动与相互作用观念| |竖直平面内的圆周运动|3例+3变式|模型分类→临界位置分析→临界速度判断→机械能守恒联立向心力公式|结合四类模型（轻绳/杆/内外轨），通过最高点/最低点临界条件，整合能量观念与运动规律|

水平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动专项训练 水平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动专项训练 考点目录 水平面内的圆周运动 竖直平面内的圆周运动 考点一 水平面内的圆周运动 解题思路点拨 1. 确定圆周轨迹、圆心与轨道半径，明确匀速圆周运动模型 1. 受力分析，找出合力充当向心力 1. 沿半径、垂直半径正交分解，列向心力方程 1. 套用公式： 1. 联立方程求解线速度、角速度、周期、受力极值 例1．（2026·四川德阳·三模）如图1所示，一内壁光滑高度为d的圆柱形导热汽缸竖直放置在水平面上，质量为m、厚度不计、面积为S的活塞将一定质量的理想气体封闭在汽缸中，活塞距汽缸底部距离为。现在光滑水平面上用长为L（L远大于d）的轻绳一端固定于O点，另一端连接汽缸底部，使汽缸绕O点做匀速圆周运动，如图2。已知重力加速度大小为g，外界大气压为（忽略空气流动对气压的影响），环境温度不变，求： (1)汽缸竖直放置时，封闭气体的压强p1； (2)汽缸绕O点做圆周运动的最大角速度ω大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对活塞受力分析，活塞静止，受力平衡，向下的力为活塞重力与大气压力，向上的力为封闭气体的压力，由平衡条件 代入已知 整理得 （2）当角速度最大时，活塞移动到汽缸口，封闭气体长度为，气体做等温变化，由玻意耳定律 初始体积 末态体积 代入得 解得此时气体压强 对活塞受力分析，匀速圆周运动的向心力由合力提供，指向圆心，因，活塞做圆周运动的半径近似为，由向心力公式 代入、 整理得 解得 例2．（2026·北京东城·二模）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω=4 rad/s绕过圆盘中心O的轴匀速转动。圆盘上任意一点到O的距离用r表示，0<r≤0.2 m区域粗糙，r>0.2 m区域光滑且范围足够大。在r=0.2 m处的P点（在粗糙区域内）有一质量m=2 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。小物体与圆盘粗糙区域间的动摩擦因数μ=0.5，设小物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，小物体可视为质点。 (1)小物体除重力和弹力外，还受到什么力？求该力的大小； (2)让圆盘的角速度缓慢增大，当角速度增大到ω0时，小物体恰好被甩出粗糙区域并在光滑区域内运动，圆盘也从此刻开始以ω0的角速度匀速转动。 a．求ω0的大小； b．小物体被甩出粗糙区域后的一小段时间内，小物体与O的连线扫过的角度为α，P点与O的连线扫过的角度为β，试比较α和β的大小，并说明理由。 【答案】(1)静摩擦力，6.4N (2)a. ；b. 见解析 【详解】（1）小物体随圆盘做匀速圆周运动，相对于圆盘有向外滑动的趋势，受静摩擦力f，静摩擦力f提供向心力，即 （2）a.圆盘的角速度缓慢增大，所需向心力变大，当角速度增大到时，有 解得 b.小物体离开粗糙区域后，只受重力和支持力，以速度v做匀速直线运动，路程为x，则有， 如图所示 则 P点以线速度v做匀速圆周运动，路程 如图所示 则 联立可知 小物体和P点运动情况如图所示 由数学知识可知。 例3．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间动摩擦因数为，桌面上表面距地面高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (2)当圆盘转动的角速度为，绳子恰好断裂，求物体A落到地面时距O点的水平距离。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由得 可知 可判断随着圆盘角速度的增大，物体A先达到最大静摩擦力，设当角速度为时，物体A刚好达到最大静摩擦力，则： 则： 因为，则物体A受到的摩擦力达到最大值，且绳子有拉力，则：， 解得： A受到的摩擦力达到最大值： （2）两物体都将相对转盘滑动时，对A有 对B有 解得： 故当圆盘转动的角速度为时，两物体都相对于圆盘静止，物体A的线速度： 绳断后，物体A滑至桌面，在桌面上做匀减速运动，则： ，， 解得： 物体A离开桌面后做平抛运动，则：， 解得： 物体A落到地面时距O点的水平距离为： 代入数据解得： 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，光滑圆锥桶固定在地面上，桶底中心为为过底面的一条直径，顶点有一光滑的小孔，一根长的细轻绳穿过点处小孔，一端拴着静止在桶外表面、质量的小球，另一端拴着静止在点、质量的小球，现让小球在水平面内做匀速圆周运动.已知，圆锥桶高，不计一切摩擦，小球均可视为质点，重力加速度取，求： (1)小球对桶外表面恰好无压力时，小球的角速度大小； (2)小球对地面恰好无压力时，小球的线速度； (3)当小球由静止到线速度大小时，外界对小球做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球P对桶外表面恰好无压力时，有 解得 （2）小球Q对地面恰好无压力时，有 设此时轻绳与竖直方向的夹角为，对小球P受力分析，竖直方向有 解得 水平方向有 解得 （3）因，故Q会上升，分析可知小球P做匀速圆周运动时始终不变，设小球P到点的距离为，根据牛顿第二定律有 解得 由能量守恒定律有 联立解得 变式2．（2025·河南新乡·模拟预测）公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 (1)求轻绳的长度L； (2)若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 【答案】(1)0.25m (2)4N 【详解】（1）轻绳拉力充当向心力，有 代入数据可得，轻绳的长度 （2）此时小球做圆周运动的半径 绳拉力的水平分力充当向心力 竖直方向上受力平衡，有 可求得， 根据牛顿第三定律 变式3．（2025·陕西西安·模拟预测）某同学利用如图所示装置研究离心现象，装置中水平轻杆OA固定在竖直转轴OB的O点，质量为m的小圆环P和轻质弹簧套在OA上，弹簧两端分别固定于O点和P环上，弹簧原长为。质量为2m小球Q套在OB上，用长为L的细线连接，装置静止时，细线与竖直方向的夹角θ=37°。现将装置由静止缓慢加速转动，直至细线与竖直方向的夹角增大到53°。忽略一切摩擦。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6。求： (1)弹簧的劲度系数k； (2)当时装置转动的角速度ω； (3)上述过程中装置对P、Q做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，两环静止时，细线与竖直方向的夹角，设此时绳子的拉力为，弹簧的弹力为，分别对两环受力分析，如图所示 由平衡条件有， 解得 由几何关系可知，此时弹簧的长度为 由胡克定律有 联立解得 （2）当细线与竖直方向的夹角增大到时，细线的拉力为 由几何关系可知，此时弹簧的长度为 则弹簧被拉伸，此时弹簧的弹力为 由牛顿第二定律有 联立解得 （3）当时，P的速度大小为 由上述分析可知，此过程初、末位置弹簧的形变量相同，则弹簧做功为零，由动能定理有 联立解得 考点二 竖直平面内的圆周运动 解题思路点拨 1. 区分轻绳、轻杆、外轨、内轨四类模型 1. 最高点、最低点为临界位置，单独受力分析列向心力式 1. 抓临界速度，判断能否完成完整圆周运动 1. 多用机械能守恒结合向心力公式联立求解 1. 计算各点弹力、速度，分析受力变化与极值情况 例1．（2026·安徽合肥·三模）如图所示，水平面上放有小球A、B和半圆形轨道C，两小球的质量均为m，可看作质点。轨道质量未知，圆弧面的半径为R，与水平面平滑连接。小球A以某一速度向右运动并与静止的小球B发生正碰，碰后两球的相对速度与碰前相对速度之比为0.5。所有接触面均光滑，重力加速度为g。 (1)求小球A、B碰撞后的速度大小之比； (2)若轨道C固定，小球B进入轨道后，在与圆心等高的D点时对轨道的压力为2mg，求小球B脱离轨道的位置距水平面的高度； (3)若轨道C不固定，小球B仍以（2）问中的速度进入轨道，最终能到达的最高点为D，求轨道C的质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可得 碰后两球的相对速度与碰前相对速度之比满足 代入数据得， 因此 （2）小球B在D点时对轨道的压力与轨道对小球的弹力大小相等，根据牛顿第二定律，在D点有 解得 设小球脱离位置为E，EO连线与水平方向成角，则有 从D到E点，由机械能守恒定律得 联立解得， 小球B脱离轨道的位置距水平面的高度为 （3）由（2）得小球B刚进入轨道时速度满足 且 解得 轨道不固定，当小球到D点时，二者速度均为v，设轨道C质量为M，由水平方向动量守恒得 根据系统机械能守恒得 解得 例2．（2026·福建龙岩·三模）如图所示，竖直平面内固定的圆弧轨道BCD和圆管轨道DE在D处平滑连接，O为圆弧圆心，半径均为，C点和E点分别是轨道的最低点和最高点，OB和OD连线与竖直直径的夹角分别为60°和37°，BF是与轨道共面的倾角为α（α未知）的直线，在该直线上某点A将一质量为的小球以某一初速度水平抛出，恰好从B点沿圆弧轨道的切线进入轨道，经过C点时速度大小为4m/s。已知小球直径略小于圆管内径，且远小于圆弧半径，不计轨道摩擦和空气阻力，，，。求： (1)小球经过C点时对轨道压力的大小； (2)小球平抛初速度的大小； (3)若从直线BF上水平抛出的小球均能从圆弧轨道的B点沿切线进入轨道，且小球能够到达E点，则抛出点到B点的竖直高度h的最小值是多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）球经过点时，由牛顿第二定律有    解得 由牛顿第三定律，小球对轨道的压力 （2）从到，由动能定理有   根据几何关系有   解得 （3）小球经过D点的最小速度满足   设小球恰能通过时，平抛初速度为，经过点时速度的竖直分量为，则，   从抛出点到点，根据动能定理，有   解得 设小球到达E点时速度为，从到E由动能定理，有   解得 即小球能够到达E点，故抛出点到点的竖直距离的最小值 例3．（2026·河南·三模）如图所示，倾角的光滑倾斜轨道与半径R=0.6m的竖直光滑圆轨道在切点P平滑连接，圆轨道在最低点略错开。一物块A从倾斜轨道与圆心O等高处以初速度沿轨道释放，沿倾斜轨道运动至P点进入圆轨道，物块A经过圆轨道最高点C时对圆轨道的压力等于A的重力大小，经过圆轨道最高点C后继续运动到圆轨道最低点D时水平抛出，落在传送带上时速度恰好和传送带平行，传送带倾角、长度l=4.3m，以v=6m/s的速度顺时针转动，物块B通过约束装置静止在传送带顶端。物块A与B发生碰撞前瞬间约束装置解除，A、B粘在一起沿传送带向下运动。已知物块A、B的质量均为2kg，A、B碰撞时间极短，组合体AB与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，，不计空气阻力，物块均可视为质点。求： (1)物块A释放时的初速度大小； (2)物块A、B由于碰撞损失的机械能； (3)组合体AB沿传送带滑到底端所用的时间。 【答案】(1) (2)5J (3)0.6s 【详解】（1）物块A在C点时， A从释放开始运动到C点的过程中，由动能定理得 解得 （2）物块A由C运动到D的过程中有 解得 物块A做平抛运动，物块A与B碰撞时 物块A与B碰撞过程沿传送带方向动量守恒 解得 物块A与B碰撞损失的机械能 解得 （3）AB与传送带共速前，有 解得加速度 共速前运动的位移 共速前运动的时间 之后对AB有 以的加速度继续加速，第二段加速位移 解得 A、B一起沿传送带滑到底端所用的时间 变式1．（2026·山东淄博·二模）如图用质量为的物块A和质量为的物块B将一定量弹药封装在装载台圆筒内，装载台与水平轨道等高。物块C静止在水平轨道PM上，水平轨道上有一半径为的光滑圆轨道MDN固定于竖直平面内，D点为圆轨道的最高点，圆轨道上的M、N两点分别与左侧光滑水平轨道PM和右侧长为的粗糙水平轨道NO平滑连接。以O点为坐标原点，在水平和竖直方向上建立平面直角坐标系xOy，O点右侧有一曲线轨道，其曲线方程为。现引爆弹药，其释放的能量完全转化为A和B的动能，极短时间后B与C发生弹性碰撞，碰后C沿轨道MDN运动并恰好经过D点，接着C从N点进入轨道NO，最后从O点做平抛运动落在右侧曲线轨道上。整个过程发生在同一竖直面内，不计空气阻力及B、C碰撞时间，物块A、B、C均可看作质点，重力加速度大小。 (1)求爆炸后瞬间B的速度大小； (2)求C的质量； (3)改变物块C与轨道NO间的动摩擦因数，使C落到右侧曲线轨道上的动能最小，求C落到轨道上的最小动能及对应的值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）爆炸过程中，、系统动量守恒和能量守恒，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 联立解得 （2）C恰好经过点，重力提供向心力有 可得 从碰撞后到点，由机械能守恒定律得 解得 与发生弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒有、 联立解得 代入、、 解得 （3）到达点速度仍为，从到，由动能定理有 解得 因为 故 从点平抛，满足， 结合曲线方程 整理得 落到曲线的动能 代入化简得 令 可得 由基本不等式 等号成立时有 可得 即 代入 解得 故最小动能 变式2．（2026·西藏拉萨·二模）如图所示，从离地面高处的点沿水平方向抛出一个质量的物体，物体恰好无碰撞地沿圆弧切线从点进入竖直光滑圆弧轨道。、为圆弧的两端点，且在同一水平线上，圆弧半径，轨道最低点为，圆弧对应的圆心角，物体离开点后恰好能无碰撞地沿缓冲斜坡滑至点，并自动锁定。已知物体与缓冲斜坡间的动摩擦因数，取，，，求： (1)物体到达点时的速度大小； (2)在点物体对圆弧轨道的压力； (3)缓冲斜坡上、间的距离。 【答案】(1) (2)  方向竖直向下 (3) 【详解】（1）物体由点到点做平抛运动，在竖直方向上有 在点速度分解 联立解得 （2）物体从点运动到点的过程中，根据机械能守恒定律有 根据牛顿第二定律有 联立解得 根据牛顿第三定律，在点物体对圆弧轨道的压力 方向竖直向下 （3）圆弧光滑，由机械能守恒定律可得 物块沿斜面上滑时，加速度方向平行于斜面向下，有 由运动学公式 联立解得，缓冲斜坡上、两点之间的距离 变式3．（2026·湖南株洲·一模）一个固定在竖直平面内的光滑四分之一圆弧，轨道半径，下端恰好与光滑水平面平滑连接，质量为的铁球（可视为质点）由圆弧轨道顶端无初速度释放，后从A点冲上倾角为的光滑斜面且无机械能损失，铁球在斜面上运动后在B点冲出斜面。（，，重力加速度取）求： (1)铁球运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小； (2)斜面的长度； (3)在B点左侧1.2 m处放置一足够高的竖直挡板，铁球与挡板碰撞时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设铁球运动到圆弧轨道最底端时速度的大小为。铁球从圆弧轨道顶端滑到轨道底端的过程，根据机械能守恒定律得 解得 铁球在圆弧轨道最底端时，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律知，铁球对轨道的压力大小。 （2）设铁球在斜面上的加速度大小为，由牛顿第二定律得 解得 铁球在段做匀速直线运动，到达点的速度等于，铁球运动到点的速度 解得 根据运动学公式可得斜面的长度为 解得。 （3）将铁球在点的速度沿着水平和竖直方向分解有， 从抛出到与挡板碰撞时间内，铁球在水平方向，有 解得 竖直方向上，以竖直向下为正方向，有 解得 则铁球与挡板碰撞时的速度大小为 解得。 2 学科网（北京）股份有限公司 $水平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动专项训练 水平面内的圆周运动、竖直平面内的圆周运动专项训练 考点目录 水平面内的圆周运动 竖直平面内的圆周运动 考点一 水平面内的圆周运动 解题思路点拨 1. 确定圆周轨迹、圆心与轨道半径，明确匀速圆周运动模型 1. 受力分析，找出合力充当向心力 1. 沿半径、垂直半径正交分解，列向心力方程 1. 套用公式： 1. 联立方程求解线速度、角速度、周期、受力极值 例1．（2026·四川德阳·三模）如图1所示，一内壁光滑高度为d的圆柱形导热汽缸竖直放置在水平面上，质量为m、厚度不计、面积为S的活塞将一定质量的理想气体封闭在汽缸中，活塞距汽缸底部距离为。现在光滑水平面上用长为L（L远大于d）的轻绳一端固定于O点，另一端连接汽缸底部，使汽缸绕O点做匀速圆周运动，如图2。已知重力加速度大小为g，外界大气压为（忽略空气流动对气压的影响），环境温度不变，求： (1)汽缸竖直放置时，封闭气体的压强p1； (2)汽缸绕O点做圆周运动的最大角速度ω大小。 例2．（2026·北京东城·二模）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω=4 rad/s绕过圆盘中心O的轴匀速转动。圆盘上任意一点到O的距离用r表示，0<r≤0.2 m区域粗糙，r>0.2 m区域光滑且范围足够大。在r=0.2 m处的P点（在粗糙区域内）有一质量m=2 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动。小物体与圆盘粗糙区域间的动摩擦因数μ=0.5，设小物体所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，小物体可视为质点。 (1)小物体除重力和弹力外，还受到什么力？求该力的大小； (2)让圆盘的角速度缓慢增大，当角速度增大到ω0时，小物体恰好被甩出粗糙区域并在光滑区域内运动，圆盘也从此刻开始以ω0的角速度匀速转动。 a．求ω0的大小； b．小物体被甩出粗糙区域后的一小段时间内，小物体与O的连线扫过的角度为α，P点与O的连线扫过的角度为β，试比较α和β的大小，并说明理由。 例3．（2026·安徽·模拟预测）如图，半径为的餐桌中心有一个半径为的圆盘，沿半径方向放置物体A和B，，，它们分居在圆心两侧，A恰在圆盘边缘，与圆心距离为，B与圆心距离，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为，A与桌面间动摩擦因数为，桌面上表面距地面高度。现从静止开始缓慢增大圆盘的角速度，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，圆盘厚度及圆盘与桌面的间隙都不计，物体A和B均可视为质点。求： (1)当圆盘转动的角速度为时，物体A和B所受的摩擦力大小； (2)当圆盘转动的角速度为，绳子恰好断裂，求物体A落到地面时距O点的水平距离。 变式1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，光滑圆锥桶固定在地面上，桶底中心为为过底面的一条直径，顶点有一光滑的小孔，一根长的细轻绳穿过点处小孔，一端拴着静止在桶外表面、质量的小球，另一端拴着静止在点、质量的小球，现让小球在水平面内做匀速圆周运动.已知，圆锥桶高，不计一切摩擦，小球均可视为质点，重力加速度取，求： (1)小球对桶外表面恰好无压力时，小球的角速度大小； (2)小球对地面恰好无压力时，小球的线速度； (3)当小球由静止到线速度大小时，外界对小球做的功。 变式2．（2025·河南新乡·模拟预测）公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 (1)求轻绳的长度L； (2)若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 变式3．（2025·陕西西安·模拟预测）某同学利用如图所示装置研究离心现象，装置中水平轻杆OA固定在竖直转轴OB的O点，质量为m的小圆环P和轻质弹簧套在OA上，弹簧两端分别固定于O点和P环上，弹簧原长为。质量为2m小球Q套在OB上，用长为L的细线连接，装置静止时，细线与竖直方向的夹角θ=37°。现将装置由静止缓慢加速转动，直至细线与竖直方向的夹角增大到53°。忽略一切摩擦。重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6。求： (1)弹簧的劲度系数k； (2)当时装置转动的角速度ω； (3)上述过程中装置对P、Q做的功W。 考点二 竖直平面内的圆周运动 解题思路点拨 1. 区分轻绳、轻杆、外轨、内轨四类模型 1. 最高点、最低点为临界位置，单独受力分析列向心力式 1. 抓临界速度，判断能否完成完整圆周运动 1. 多用机械能守恒结合向心力公式联立求解 1. 计算各点弹力、速度，分析受力变化与极值情况 例1．（2026·安徽合肥·三模）如图所示，水平面上放有小球A、B和半圆形轨道C，两小球的质量均为m，可看作质点。轨道质量未知，圆弧面的半径为R，与水平面平滑连接。小球A以某一速度向右运动并与静止的小球B发生正碰，碰后两球的相对速度与碰前相对速度之比为0.5。所有接触面均光滑，重力加速度为g。 (1)求小球A、B碰撞后的速度大小之比； (2)若轨道C固定，小球B进入轨道后，在与圆心等高的D点时对轨道的压力为2mg，求小球B脱离轨道的位置距水平面的高度； (3)若轨道C不固定，小球B仍以（2）问中的速度进入轨道，最终能到达的最高点为D，求轨道C的质量。 例2．（2026·福建龙岩·三模）如图所示，竖直平面内固定的圆弧轨道BCD和圆管轨道DE在D处平滑连接，O为圆弧圆心，半径均为，C点和E点分别是轨道的最低点和最高点，OB和OD连线与竖直直径的夹角分别为60°和37°，BF是与轨道共面的倾角为α（α未知）的直线，在该直线上某点A将一质量为的小球以某一初速度水平抛出，恰好从B点沿圆弧轨道的切线进入轨道，经过C点时速度大小为4m/s。已知小球直径略小于圆管内径，且远小于圆弧半径，不计轨道摩擦和空气阻力，，，。求： (1)小球经过C点时对轨道压力的大小； (2)小球平抛初速度的大小； (3)若从直线BF上水平抛出的小球均能从圆弧轨道的B点沿切线进入轨道，且小球能够到达E点，则抛出点到B点的竖直高度h的最小值是多少。 例3．（2026·河南·三模）如图所示，倾角的光滑倾斜轨道与半径R=0.6m的竖直光滑圆轨道在切点P平滑连接，圆轨道在最低点略错开。一物块A从倾斜轨道与圆心O等高处以初速度沿轨道释放，沿倾斜轨道运动至P点进入圆轨道，物块A经过圆轨道最高点C时对圆轨道的压力等于A的重力大小，经过圆轨道最高点C后继续运动到圆轨道最低点D时水平抛出，落在传送带上时速度恰好和传送带平行，传送带倾角、长度l=4.3m，以v=6m/s的速度顺时针转动，物块B通过约束装置静止在传送带顶端。物块A与B发生碰撞前瞬间约束装置解除，A、B粘在一起沿传送带向下运动。已知物块A、B的质量均为2kg，A、B碰撞时间极短，组合体AB与传送带间的动摩擦因数，重力加速度，，不计空气阻力，物块均可视为质点。求： (1)物块A释放时的初速度大小； (2)物块A、B由于碰撞损失的机械能； (3)组合体AB沿传送带滑到底端所用的时间。 变式1．（2026·山东淄博·二模）如图用质量为的物块A和质量为的物块B将一定量弹药封装在装载台圆筒内，装载台与水平轨道等高。物块C静止在水平轨道PM上，水平轨道上有一半径为的光滑圆轨道MDN固定于竖直平面内，D点为圆轨道的最高点，圆轨道上的M、N两点分别与左侧光滑水平轨道PM和右侧长为的粗糙水平轨道NO平滑连接。以O点为坐标原点，在水平和竖直方向上建立平面直角坐标系xOy，O点右侧有一曲线轨道，其曲线方程为。现引爆弹药，其释放的能量完全转化为A和B的动能，极短时间后B与C发生弹性碰撞，碰后C沿轨道MDN运动并恰好经过D点，接着C从N点进入轨道NO，最后从O点做平抛运动落在右侧曲线轨道上。整个过程发生在同一竖直面内，不计空气阻力及B、C碰撞时间，物块A、B、C均可看作质点，重力加速度大小。 (1)求爆炸后瞬间B的速度大小； (2)求C的质量； (3)改变物块C与轨道NO间的动摩擦因数，使C落到右侧曲线轨道上的动能最小，求C落到轨道上的最小动能及对应的值。 变式2．（2026·西藏拉萨·二模）如图所示，从离地面高处的点沿水平方向抛出一个质量的物体，物体恰好无碰撞地沿圆弧切线从点进入竖直光滑圆弧轨道。、为圆弧的两端点，且在同一水平线上，圆弧半径，轨道最低点为，圆弧对应的圆心角，物体离开点后恰好能无碰撞地沿缓冲斜坡滑至点，并自动锁定。已知物体与缓冲斜坡间的动摩擦因数，取，，，求： (1)物体到达点时的速度大小； (2)在点物体对圆弧轨道的压力； (3)缓冲斜坡上、间的距离。 变式3．（2026·湖南株洲·一模）一个固定在竖直平面内的光滑四分之一圆弧，轨道半径，下端恰好与光滑水平面平滑连接，质量为的铁球（可视为质点）由圆弧轨道顶端无初速度释放，后从A点冲上倾角为的光滑斜面且无机械能损失，铁球在斜面上运动后在B点冲出斜面。（，，重力加速度取）求： (1)铁球运动到圆弧轨道底端时对圆弧轨道的压力大小； (2)斜面的长度； (3)在B点左侧1.2 m处放置一足够高的竖直挡板，铁球与挡板碰撞时的速度大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $