广东深圳市聚龙科学中学等校2025-2026学年第二学期高一第二阶段质量监测数学试题

2025-2026学年度高一第二学期第二次阶段考试 数学试题参考答案 《单选题多选》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A B D C A B B D ABC AC BCD 1.A 【详解】由复数模长公式可知：模长为5 2.B 【分析】根据向量垂直的坐标关系，代入求解，即可得答案 【详解】由aL6,得a万=61-42+0=0，解得1-方 3.D 【详解】由余弦定理可得b2=2+c2-2 c cos B, 放36=25+c22c×5x了，解得c=9或c-月 (舍). 9 故c=9. 4.C 【详解】该正因授锥的高为尽-子=4，则该正国棱罐的体积7一0片64仁4。 3 5.A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看， 【详解】A:若l⊥m,mlln,则l⊥n,故A正确： B:若l/1a,m⊥l,则m//a或mca或m与a相交，故B错误； C:若l⊥，⊥n,则l⊥n或l11n,故C错误； D:若l1/,c,则lca或l/a,故D错误」 故选：A 6.B 【分析】找到二面角的平面角为∠DCD,即可得到答案； 【详解】由BC⊥平面DDCC,DCc平面DDCC,所以DC⊥BC, 第1页，共10页 又DC⊥BC,可知∠DCD为二面角D-BC-D的平面角， 因为DCCD为正方形，所以∠DCD=45°， 所以二面角D-BC-D的大小是45°. 故选：B 7.B 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式计算即可. 【详解】向量ā与b上的投影向量为 ab B lacos 6 b 可 故选：B 8.D 【解析】 1.解：在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=6,AB·AD=6,动点P 0 在边BC上， "P 设BP=BC,(0≤λ≤1)，则P元=(1-)B元， 所以PA=BA-BP=-AB-BC=-AB-AD B PD=PC+CD=P元-D元=(1-)BC-AB=-AB+1-)AD, 所以PA·PD=(-AB-AD·[-AB+(1-)AD =AB+(21-1)AE·AD-1(1-)AD =4+6(21-1)-36(1-)=36(0-3)2-6, 又0≤≤1， 所以当入=时，PA·PD取最小值为-6， 当=1时，PA.PD取最大值为10， 则PA.PD的取值范围是[-6,10]· 第2页，共10页 9.ABC 【分析】利用复数的除法运算化简二， 【详解】复数z= 3-i3-i0(2-边_6-5i-1=1-i, 2+i(2+i)(2-1)5 所以三的实部为1，故A不正确： 二的虚部为-1，故B不正确： =V+(-1)2=2,故C不正确： 二的共轭复数为1+i,故D正确： 10.AC 【分析】利用异面直线的性质一一验证即可，选项D可以利用勾股定理验证. 【详解】：直线CC1C平面CCDD,Me面CCDD,AE面CCDD, .直线AM与CC是异面直线， A正确： 同理，直线MW与BD是异面直线， B错误： 直线BW与MB,是异面直线， C正确： 设正方体的棱长为2， :MN=NMC2+NC2=√2，BN=√BC2+CN=√5， BM=BB2+MB2=BB2+BNP =3, .BMP≠MN2+BN2, ∴.直线MW与BW所成角不是90° D错误； 故选：AC 【点睛】此题考异面直线的定义和性质，两条直线的夹角，属于简单题 11.BCD 第3页，共10页 【分析】对于A:利用余弦定理边角转化即可；对于B:利用正弦定理求三角形外接圆半径，即可得结果； 对于CD:根据选项A中结论，结合基本不等式运算求解. 【详解】对于选项A:因为2c-b=2 acosB, 由余弦定理可得2c-b=2ax+c2-a+c2-b 2ac 整理可得62+c2-a2=bc,则cos4-+c2-a-c1 2bc-2bc-21 且A∈(0)，所以A=背放A错误： a 对于选项B:由正弦定理可得△ABC外接圆的半径R= 2sin A 2x61 2 所以△ABC外接圆的面积为πR2=π，故B正确： 对于选项C:由b2+c2-a2=bc可得b2+c2=a2+bc=3+bc, 且b2+c2≥2bc,即3+bc≥2bC,解得bc≤3，当且仅当b=c=√3时，等号成立， 所以△ABC面积的最大值为)x3XV53√ ,故C正确： 24 对于选项D:由B+c2=3+be可得(b+c}'=3+3bc,即bc-b+c-3 3 且c≤b+c,即b+c-3sb+c 4 3 4 解得(b+c)≤12，即b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时，等号成立， 所以△ABC周长的最大值为25+√5=35，故D正确： 故选：BCD 12.5 【分析】转化1ā+√a+-√++2ai,利用数量积的定义及题干数据，即得解 【详解】由题意，1a+b√a+=Va+6+2a.i=V+1+2x1x1xcos60=V5 故答案为：5 【点睛】本题考查了向量模长、数量积的运算，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于 基础题 1.5行 【分析】根据题意求得母线长1及高h,代入圆台的体积公式求解. 第4页，共10页 【详解】圆台的上底面和下底面的半径分别是r=1和R=2,设母线长为1，高为h,侧面积是3√2π， 故π(R+r)1=π(2+1)l=3V2π， 所以l=2, 圆台的高为h=V2-(R-r=√2-(2-12=1， 所以图台体积为广-(R++r)h-4+2+1=红 3 故答案为：3 π π 14.6 【分析】如图所示：将四棱锥P-ABCD放入边长为a的正方体内，故∠BPM为直线PB与平面PCD所成的 角，根据长度关系得到答案。 【详解】如图所示：将四棱锥P-ABCD放入边长为a的正方体内. 连接BC1,B,C相交于M,易知：BC1⊥BC,BC1⊥CD故BC⊥平面CDPB1 故∠BPM为直线PB与平面PCD所成的角 RIABPM中：BP=a.BM=yE )a,故∠BPM=四 6 故答案为： 6 B C D B 【点睛】本题考查了线面角，将四棱锥P-ABCD放入边长为a的正方体内是解题的关键， 【答案】 15.(1)因为V2bc=b2+c2-a2, ...2分 所以由余弦定理，得cosA=b2+c2-a2=V2c=2 2bc 2bc-2 …..4分 第5页，共10页 因为A∈(O,),所以A= …….6分 (2)因为A=军a=2W2,B=3 …7分 所以由正弦定理，得品品。 b .9分 即22、b sn晕sim ....11分 所以b=2√3. ...13分 16.(1)设与a垂直的单位向量为e=(x,y): ………2分 5或 y=25y=25 …….4分 5 5 所以E=(5-9)成=(-99) ….6分 (2)因为a=(1,0),万=(1,1)，所以a+=(1+人，)， 因为a+b与垂直，所以(+b·a=0, …8分 所以(1+，)·(1,0)=0，即1+1=0，所以1=-1. ...10分 (3)a+kb与石-kb互相垂直的充要条件是a+kb)·(-k=0, 即-k262=0. ……….12分 因为a2=32=9,7=42=16,所以9-16k2=0. …....14分 解得k=±子也就是说，当k=±时，a+k3与五-k3互相垂直.…15分 17.解：(1)因为e,e是两个单位向量，其夹角为60， 则el=1,lel=1,g·e2=2 .2分 又d=(2e+e2)2=4e+4e·e2+e2=7, 所以=√7， ….5分 同理6=(-3e+2e2)2=9e2-12e·e2+4e22=7,所以=V√7. ·.7分 (2②由题得，a6=(2e+e7)-(-3i+28)-6g2+gig+202-7 .....10分 设a与的夹角为0，则cos0=a6= 2 1 17x7=-2 ....12分 第6页，共10页 因为9∈0，可所以0=号 …….14分 则a与的夹角为号元. ……..15分 18.(1)证明：延长A0,交BC于点M, 由△ABC为等边三角形，得O是△ABC的中心， 则AO⊥BC, ....….2分 易知P01平面ABC, 因为BCC平面ABC, 所以PO⊥BC, ….4分 又P0nA0=0,P0,A0c平面P0A, 所以BC1平面POA, ….5分 又BCC平面PBC, 所以平面POA⊥平面PBC. …….6分 D (2)连接PM,作AH1PM于H,由(1)知BC1平面POA, 因为AHc平面POA,所以BC L AH, 因为BC∩PM=M,BC,PMc平面PBC, 所以AHI平面PBC ….8分 故A到平面PBC的距离为AH的长. 易知AM=三A0=3,M0=A0=1, 又P0=2V2,所以PM=VP02+M02=3, ……….10分 所以PM=AM 第7页，共10页 又∠AMH=∠PMO, 所以Rt△AMH≌Rt△PMO, 故AH=P0=2V2, 所以点A到平面PBC的距离为2V2 ..12分 (3)存在外接球设球心为Q,由对称性可知球心在直线P0上， 由球心定义可知Q是直线PO和线段PA中垂线交点，下面为截面示意图 ...13分 设球半径为R,在直角三角形OAQ中，由勾股定理知： R2=(h-R)2+r2 R=3 2 ...15分 所以球表面积S=4πR2=18π …..17分 19.解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由∠A1CA=45°，得AA1=AC=6, 由AB=8,AC=6,∠BAC=90,得BC=10,SABC=7AB·AC=24, ….2分 所以直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S。ABc·AA1=144. …..4分 (2)连接A1B∩AB1=E,连接DE, 由矩形ABB1A1,得E是A1B的中点，而D是BC边的中点， 则DE/A1C,又A1C￠平面AB1D,DEC平面AB1D, ….6分 所以A1C/平面AB1D. ……….8分 第8页，共10页 B (3)当小虫从点A1沿△A1B1C1爬到点D,把矩形BCC1B1与△A1B1C1置于同一平面内，如图， B C DF 连接A1D,过A1作A1F⊥BC于F,交B1C1于点O, 由BC/B1C1,得A101B1C1,A10=41BA1C1= 8x6 B1C1 √82+62 =A,F=+6= 5 0G=o,c1B=A1G188=吕则DF=CD-0C=5-9-6 5-5 因此A1D=√A12+DF=V59+7元=V2965. ·.11分 当小虫从点A1沿正方形ACC1A1爬到点D, 把正方形ACC1A1与△ABC置于同一平面内， 或把正方形ACC1A1与矩形BCC1B1置于同一平面内，如图， C 在左图中，取AB中点G,连DG,显然B,A,A1共线， 则DG1/AC,DG=AC=3,DG⊥AB, 而A1G=AA1+AG=10,因此A1D=√A1G2+DG2=V102+32=V109, ....14分 在右图中，AD=AC+CD=11,A1D=√A1A2+AD2=V62+11Z=V157>V109: 当小虫从点A1沿矩形ABB1A1爬到点D, 把矩形ABB1A1与△ABC置于同一平面内， 或把矩形ABB1A1与矩形BCC1B1置于同一平面内，如图， 第9页，共10页 B B D D 在左图中，取AC中点H,连DH,显然C,A,A1共线， DH//AB,DH=AB=4,DH 1 AC, 而A1H=AA1+AH=9,因此A1D=√A1H2+DH=V92+4平=V97, 在右图中，AD=AB+BD=13,A1D=√A1A2+AD2=V62+132=V205>V97, 显然号V2965>V109>V97, 所以小虫爬行的最短距离√97. ..17分 第10页，共10页2025-2026学年度第二学期高一年级第二阶段质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必用，黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题 卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无 效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.复数z=3-4i的模长是() A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知平面向量a=(6,-4),b=1,1+1),若a1万，则2=() 5 A.-2 B. 1 c.3 3,在△ABC中，角4B,C的对边分别为ab,C·若a=5,b=6,cosB=,则c=(》 A.7 B号 C.8 D.9 4.已知正四棱锥的底面边长为32，侧棱长为5，则它的体积为() A.18 B.21 C.24 D.27 5.己知l,,是空间中三条不同的直线，&是空间中某平面，下列命题正确的是() A.若I⊥，/m,则l⊥n B.若llla&,⊥l,则m⊥o C.若l⊥，⊥n,则l/n D.若lI/,C,则1/1a 6.如图，已知棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，二面角D-BC-D的大小是() D A.30° B.459 C.60° D.90 7.已知向量ā与6的夹角为石同=2，同=1，则向量a与方上的投影向量为() A.b B.√5b C.a D.3 2 a 第1页，共4页 8.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=6,AB·AB=6,动点P在边BC上，则PA.PD的取值范围是() A.[-6,-2] B.[-2,10] C.[-2,6] D.[-6,10] 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， .已知复数2)一，则下列结论中错误的是（一 A.二的实部为-1 B.:的虚部为-i c.H=2 D.:的共轭复数为l+i 10.如图所示，在正方体ABCD-A,B,CD中，M,N分别为棱CD,CC的中点，则以下四个结论正确的 是() D M A.直线AM与CC是异面直线 B.直线MW与BD是共面直线 C.直线BW与MB,是异面直线 D.直线MW与BW所成角为90° D A B 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=√3，且2c-b=2 acosB,则下列结论正确的是() A.A=亚 B.△ABC外接圆的面积为T 6 C.4ABC面积的最大值为3V5 D.△ABC周长的最大值为3√3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,五的夹角为60°，且|a=b=1,则a+b= 13,己知某圆台的上底面和下底面的半径分别是1和2，侧面积是3√2π，则该圆台的体积为 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD.若PA=a,则直线PB与 平面PCD所成的角的大小为一· 第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且V2bc=b2+c2-a2. (1)求A: (2)若a=2W2,B-求b. 16.(本小题15分) (1)已知a=(4,2),求与a垂直的单位向量的坐标. (2)已知向量a=(1,0),b=(1,1),当为何值时，a+b与d垂直？ (3)已知a=3,=4,且与b不共线当k为何值时，向量a+k6与a-k6互相垂直？ 17.(本小题15分) 己知ei,e是两个单位向量，其夹角为60°，a=2e+e,b=-3e+2e: (1)求d,b: (2)求a与b的夹角. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 如图，P为圆锥顶点，O为底面圆心，A,B,C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形 (1)求证：平面POA⊥平面PBC, (2)若圆锥的底面半径为T=2,高为h=2V2,求点A到平面PBC的距离， (3)在(2)的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由. D B A 19.(本小题17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=8,AC=6,∠BAC=90°，D是BC边的中点，∠A1CA=45°. (1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积； (2)求证：A1C/面AB1D. (3)一只小虫从点A1沿直三棱柱表面爬到点D,求小虫爬行的最短距离. B C B D 第4页，共4页