河南省开封高级中学2026届高三下学期学情调研（三）数学试题

秘密★启用前 学情调研（三） 数学 注意事项： ) 1.答卷前、考生务必将自已的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2、回答选择题时、选出每小题答策后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 ) 如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.复数≈满足：x(1十2i)=5i,i为虚数单位，z为z的共轭复数，则z= A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i 2.已知集合A={xx2-x<12},B={1,3,5,7,9},则A∩B= A.(1,3,5,7} B.(1,3,5) C.1,3) D.{1 3.一组数据：1,1,2,1,2,3,1,2,3,4，则关于这组数据的结论错误的是 A.平均数为2 B.众数为1 C.极差为3 D.中位数为号 4.已知向量a=(1,2),a一2b=(一3,6)，则a·b= A.2 B.-2 C.3 D.-3 5.过原点作曲线f(x)=(x一4)e-1的一条切线，则此条切线的斜率为 A.e B.-e D.-3 e 6.已知圆Mz+D牛(y-2=(>0)与椭圆名十名1交于A,B两点，线段 AB恰好为圆M的直径，则r2= A.2 B c 125 D.96 7.已知a,b∈R,满足：2a2-4ab十5b2=m,a2十b2的最大值为n,则 A.m=n B,m =2n C.m=3n D.m=4n 数学试题（三）第1页（共4页） 8.在等比数列(am}中，a1>0,公比g>0,bn=a1a…d也是{an}中的项(n>l),当n最 小时，an=16,bn=1024,则(an)的通项公式为an= 参考公式：1+22+…+n2=后n(m+1D(2m十1)。 A.(2)" B.(2)"- C.2” D.2m-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少有两 项是符合题目要求的。若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。 9、在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=2,M为线段AB的中 点，则下列正确的有 A.直线AC1∥平面B1MC B.AB1⊥A,C C.直线A,M与直线BC1所成的角为45 D.C到平面A1MC距离为23 10.已知函数f(x)=si女一看)十sime+引，则下列正确的有 Af(x)的一个周期为分 B.f(x)的图象关于点（经，0）中心对称 C.x=吾是f(x)图象的一条对称轴 D.f(x)的值域为[1，√2] 11.已知等差数列(an}满足：a1>0,公差d>0,其前n项和为Sn,且a1a3a5= 3Sg,则下 列正确的有 A.若a1=1,则d=1 B.若a1>d,则d<1 C.a1十a2的最小值为2 D.a1的取值范围是(0,2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x十m)3=a十a1x十a2x2+a3x3,a1十a2十a3=19,则实数m的值为 13.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AA1=A1B1=2,AB=4,M为线段CC1的中点， 则三棱锥A1-BDM的体积为 14.如图，过S(4,0)作两条不同的直线l1,l2,且L1,l2分别交抛物线y2=4x于A,B,C, D四点，AC,BD分别交x轴于P,Q两点，以PQ为直径作圆M,过原点O作⊙M的 切线，则切线段的长度为 D 数学试题（三）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置A,B,C,D在对岸处，下面得到了一些参数， 已知：AB=2、BC=3,∠ABC=∠BAD=120°，c0sC=7 (1)求AC的长度； (2)求tan∠DBC的值. 16.(15分) 在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=1,BC=2,M为线段CC1的中点，B,C⊥AM. (1)求CC1的长度； (2)求直线B,M与平面B1AC所成角的正弦值 17.(15分) 甲，乙两人进行投篮，两人每次投进的概率分别为？， (1)若甲，乙两人各投篮一次，X=“两人总投进次数”，求E(X)的值； (2)若甲投篮3次，乙投篮2次，比较两人所投进的球数，进球多者胜出，求甲胜出的 概率。 数学试题（三）第3页（共4页） 18.(17分) 已知双曲线-1(a>0,6>0)的离心率为2，有焦点为P,M是双曲线上一 MF⊥x轴，MF=√2. (1)求双曲线的标准方程. (2)过点F作斜率为√7的直线交该双曲线于A,B两点，且A京=FB(>1). (1)求λ的值； (ⅱ)若点P不在直线AB上，且点P满足：PF平分∠APB,求△PAB面积的最大值. 19.(17分) 已知函数f(x)=(4x十2)lnx一（x2十4x一5) (1)证明：f(x)≤0， (2)对于任意的1<m<,,求解下列问题. (1)已知函数g(x)=lnx一x十m,证明：g(x)=0有两个不同的实数根：x1x2: (1)若z,<z,证明：x&-x,<号4m+10m-4。学情调研（三） 数学 参考答案 5i=5i(1-21=2+i,故2= 1.D【解析】z=1十2 2a2- 4ab十5b2=m整理得：r2= 5 m m 2-i. 2cos0-4sin Ocos 0+5sin07 5 故选D. 2-2sin(20+p) 2.C【解析】A={x-3<x<4},故A∩B= m 75 =m,即r2的最大值为m,即m=n. {1,3 22 故选C. 故选A. 3.D【解析】平均数：0×(1X4+2X3+3×2+ 8.D 【解析】a,2=a1·g3-1,bn=[a· 4)=2,A正确；众数为1，B正确；极差：4一1=3，C g13+2++3-]京-a1·g+2+》-1,由题意可 正确；将10个数排列：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4，可 知：6(n十1)(2m十1)-1为自然数， 知：中位数为2，故D错误. 故选D. 因为2n十1为奇数，故n十1为偶数，又n>1,取 n=3,5,7…检验知：n=5时符合题意，a5=16, 4.B【解析】a·(a-2b)=1×(-3)+2×6=9,而 a2=5,a·b=-2. b5=a1q°=1024与a1g=16相除得：g°=64，则 故选B. 可得q=2,a1=1,故am=2m-1. 5.B【解析】设切点坐标为(xo,yo),切线的斜率为 故选D. ,显然x0=0不合题意，x0≠0时，f'(x)=(x一 9.ABD【解析】连接B,C与BC1,两条线交于点D, 则MD是△ACB的中位线，故AC1∥MD,又 3)e-1,f(c)==(x。-3)e。1= xo MDC平面B1MC,故AC1∥平面B,MC,A正确； ,一40e,解得=2，放=∫2）=-e 易知CM⊥AB,则CM⊥平面ABB1A1,又AB,C 平面ABB1A1,故CM⊥AB1,连接A,M,则 故选B. tan∠A,MA=√2=tan∠A1AB1,故AB1⊥A1M, 6.C【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的 又AB1⊥CM,故AB1⊥平面A1MC,又A1CC平 斜率为AB,则x1十x2=-2,y1十y2=2,4 面A1MC,故AB1⊥A1C,B正确； 取AB1的中点为N,连接C1N,易得CN⊥ 3+y—y2. 的L,+号1，两式相破整理得和 3 A1B1,则CN⊥平面ABB1A1,∠NBC1即为异 十2-0，故可得：ka-是，设AB的倾斜角为 面直线所成角，Rt△C1NB中，C1N=√2，BN= x1十x2 √6，C1N≠BN,故C错误； 0,则c0s0=号，n0=子，将x1=-1十r0s9 连接AC1,A1C,两线交于点E,由AE=C1E可 知：C1到平面A1MC的距离等于A到平面A,MC 台-1=1计号代人椭圆方匙，解得产-密 4 的距离，作AH⊥A1M于H,则AH⊥平面 故选C. A1MC,由AM·AA1=AH·A1M,解得AH= 7.A【解析】2a2-4ab+2b2+3b2=2(a-b)2+ 3b2≥0，令a2+b2=r2,a=rcos0,b=rsin0,代入 -准D正确 ·数学（三）答案（第1页，共4页）· 13.82 3 【解析】连接AC交BD于点O,则OC 2W2=A1C1,且OCA1C1,故四边形A1OCC1为 平行四边形，故CC1∥A1O,故CC1∥平面A1BD, V40=VcD,Sacm-号×4X4=8,四边形 ACC1A1中，作A1H⊥AC于H,Rt△A1AH中， AH=√2，A1A=2,故A1H=√2，所以VA,-BDM= 故选ABD. Vcw-3X8X/Z-8/2 1 31 10.ACD 【解析】f(x)= sin()t os(e-r(e+号)-os(e-)中 sin(e-),放A正确； 4- (昏=sn(g-)+os(晋- 14.4【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), D(x4,y4),AB方程设为x=t1y+4,代入y2= f(x),故C正确； 4x,得y2=4(t1y+4)→y2-4t1y-16=0→ 在[晋，]上，令4=x-石则f()=8) y1y2=-16,同理y3y4=-16,设P(p,0),Q(q, 0),AC方程设为x=my+p代入y2=4x,得 Isin+cos小，而t=z-晋∈[o,],故 y2=4(my+p),得y2-4my-4p=0→y1y3= 一4p,同理y2y4=一4g,两式相乘得：y1y2y3y4= g(u)=sint+cost的值域为[1，V2],由其中 16q,又y1y2y3y4=256,故g=16, 设⊙M:(x-a)2十(y-b)2=r2,切线段长 个周期T=交，可知D正确； 为：Wa2+b2-r2, 由D正确可知：f(x)的图象上没有函数值小于0 将P(p,0)代入圆M的方程得：(p一a)2+b2= 的点，故B错误. r2→p2-2ap十a2+b2=r2(￥)， 故选ACD. 同理g2-2ag十a2十b2=r2(**),两式相减得： 1.AB【解析1，aa,=言S,=3a故aa,=3,即 (p2-q2)-2a(p-q)=0,故2a=p十q,代入 (*)得：a2+b2-r2=2ap-p2=(p十q)p a1(a1十2d)=3,a1=1时，d=1,故A正确； p2=q=16, 若a1>d,则d(d+2d)<3,故d<1,故B正确； 故所求切线段的长度：√a2+b2-r2=4. antas-aita.td-2a+ilg-a)-gart 15.解：(1)在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB· 2a1 BC·cos120°=4+9-2X2X3×(-号）=19， ≥3，当且仅当a1=1时，等号成立，放C (3分) 错误； .AC=19! (5分) a1(a1+2d)=3,故2d=3-a1>0,故0<a1< (2)延长DA,CB交于点E,则∠EAB=∠EBA= 60°，所以△ABE为等边三角形，BE=2,EC=5, √3，故D错误. (6分) 故选AB. 12.一3或2【解析】令x=1,则(1十m)3=a。+19, 由cosC=7,得sinC=4y3 7, (7分) 而a0=m3,故3m2+3m-18=0,解得m=-3 或2. 在△EDc中，sin∠EDC=sin(6o'+C)=5. 2 ·数学（三）答案（第2页，共4页)· +安9- 设平面B1AC的法向量为m=(x,y,之)， 14 (9分) m·AC=0, 1-2x十y=0, CD 则有 可得 取之=1， 在△CDE中，由正弦定理可得， sin 60 m·AB1=0, y+2√2z=0, EC sin∠EDC,则CD=7, 则m=(-√2，-2√2,1)， (12分) (10分) 所求线面角的正弦值等于|cos<m,B1M>|= m·B1M 2W2-√2 =V33 |m·|B1M √I·√6 33 (15分) 17.解：(1)易知X的可能取值为0,1,2， (1分) 1、,11 则P(X=0)=2×3=6’ (2分) 121 11 P(X=1)=2×3+2×3-2' (3分) BC 在△BDC中，设∠DBC=0,由 sin(0+C) Px-2)-2×号-g (4分) sin0,可得3sin0=7sin(0+C)=7(号sin9+ CD 分布列如下： 4√3 X 0 1 2 7cos0八，则tan0=23. 1 1 故tan∠DBC的值为2√5. (13分) 16.解：(1)因为AB⊥平面BCC1B1,且B1CC平面 (5分) BCC1B1,所以AB⊥B1C, (1分) 1,27 故E(X)=2十3=6： (7分) 又B1C⊥AM,又AB∩AM=A,AB,AMC平面 (2)甲胜出的情况如下： ABM,所以B,C⊥平面ABM, (2分) 甲投进1次，乙投进0次的情况： 又BMC平面ABM,则B1C⊥BM, (3分) 易知∠MBC=∠B,CC1, c(合)'()c((》=a (9分) 故tan∠MBC=tan∠B,CC1, (4分) 甲投进2次，乙投进0次或1次的情况： 22 设CC,-x,则2-，则x=2E,故CC,的长 c()()[()°()+c()'()] 5 度为2√2 (6分) 24 (11分) (2)如图，以D为原点，分别以DA,DC,DD1的 甲投进3次的情况： 方向为x,y,之轴的正方向建立空间直角坐标系 (13分) D-xyz, G(2)广()x1= 故甲胜出的概率P=4+县十g一 1 45 3 D (15分) 18.解：(1)设F(c,0),将x=c代人双曲线方程得 (2分) 又C=√2，b2=c2-a2得a=b=√2，即双曲线的 标准方程为后-苦-1 (4分) 则A(2,0,0),C(0,1,0),B1(2,1,2√2)，M(0,1, (2)易知AB方程：y=√7(x-2),即x=兰+2， √2)，AC=(-2,1,0),AB1=(0,1,2√2)，B1M (-2,0,-√2) (9分) 代入双曲线方程整理得：6y2-4√7y-14=0, ·数学（三）答案（第3页，共4页）· 即(2y-2√7)(3y+√7)=0， -2(x-1)2 (2分) x2 ≤0， 解得1=7y=冬， (6分) 故f'(x)是减函数，当x∈(0,1)时，f'(x)> f'(1)=0,故f(x)在(0,1)上单调递增，(3分) 放A3w7),B(,-智） (7分) 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<f'(1)=0,故f(x) (1)因为AF=λFB,则-y1=λy2,即-√7=λ· 在(1，十∞)上单调递减， (4分) 故f(x)≤f(1)=0. (5分) (）可得=3. (10分) 21x=士1- PA_IFA=3,则 t, (6分) (i)设P(xoy,由题意PB-FB 在x∈(0,1)上g'(x)>0,在x∈(1，+∞)上， 1PA|2=9|PB2,即(x。-3)2+(y0-√7)2= g'(x)<0, (7分) g(1)=m-1>0, 9x[(,-)》+(+)门，化简得(， x→0时，g(x)<0,x→+∞时，g(x)<0,(8分) 易知在区间(0,1)与(1，+∞)上，g(x)各有一个 》+(.+)=2。 (13分) 零点， 故g(x)=0有两个不同的实数根：x1,x2·(9分) 故P的轨迹是一个圆除去两点，其圆心为(， -)满足AB的方程y=7(x-2),故当 1-m=加<+25化为3 (4m+2)x1+5-2m<0, (11分) △PAB面积最大时，高为半径2， (15分) 此一元二次不等式的解集为 2m+1-√/4m2+10m-14 而aB1=√(3-》+(7+9-82 3 3 (16分) 2m+1+√/4m2+10m-14 (13分) 3 枚△PAB商积的最大值为方×8×厅-号 3 同理， 2m+1-√4m2+10m-14 <x2< (17分) 19.证明：1)y(x)=41nx+4+2-(2z十4)= 2m+1+√4m2+10m-14 (15分) 3 (1分) 故，-<号m+10m-1A得证。 (17分) 正-2 令p(x)=f'(x),p'(x)=4-名 ·数学（三）答案（第4页，共4页)·