河北唐山市遵化市高级中学2025-2026学年第二学期学业水平测试高一数学试题

2025-2026学年度第二学期学业水平测试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求 1.在复平面内，向量AB对应的复数为-1+4i,向量AC对应的复数为-3+i,则向量 BC对应的复数的模为( ) A.-2-3i B.√41 C.√3 D.2+3i 2.若把一个高为10cm的圆柱的底面画在O'x'y'平面上，则圆柱的高应画成 A.平行于z'轴且大小为10cm B.平行于z'轴且大小为5cm C.与z'轴成45°且大小为10cm D.与z'轴成45°且大小为5cm 3.己知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为了，则该圆锥的表面积为 () A.元 B.2π C.3π D.4π 4.在四边形ABCD中，若DC=召AB,且AD1=BC,则这个四边形是() A.平行四边形B.菱形C.矩形D.等腰梯形 5.己知物体放在一个倾角为30°的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力 的大小之比为( A.1:1B.2:1C.2:V3D.√3：1 6.碌碡（碾子）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具. 如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄 时，碌碡在圆盘上滚动，若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆 柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为( A.3:1 B.3:2 C.1:3 D.2:3 7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证 明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一 个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，已知A正=3E正AB=冠，AD=,则 AE=( 号+是5 25 B.a+6 25 25 五+ C. + D. 高一数学第1页（共4页） 8.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+uBD,则X+ μ=( ) 4 B. C.5 D.2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中，正确的命题是( A.如果直线a和平面a满足a/d，那么a与平面a内的任何一条直线平行 B. 如果直线a,b满足al/a,b/a,则a/b C.如果直线a,b和平面a满足a/b,a/a,b丈a,那么b//a D.如果平面a的同侧有两点A,B到平面a的距离相等，则AB/α 10.设z1,z2是复数，则下列命题中的真命题有( A.若z1-z2l=0,则z=z2 B.若z1=22,则Z=22 C.若21l=22,则z1·2五=z2·z2D.若忆1l=z2,则z子=z 11.正余弦定理推导的向量法，是在△ABC中的向量关系AB+BC-AC的基础上平方 或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线1与△ABC的边 AB,AC分别相交于点D,E,设AB=c,BC=a,CA=b,∠ADE=0,则下列结论正确的有 A.a+b+c=2abcosC+2bccosA+2accosB B.ccosA+acosC=b C.asin (B-0)+bsin (A+0)=csin 0 D.acos (B-0)+bcos(A+0 )=ccos 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则该球的表面积是 13.若1+√2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则 C= 14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶 600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰 角为30°，则此山的高度CD= m 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) 向量冠=（-2,4)，5=(X,-2) (1)若1/(a+6),求5： (2)若a1(号a-5),求与b所成夹角的余弦值、 高一数学第2页（共4页） 16.(本小题15分) 己知复数z=-)2+31+y 2-i (1)求z的共轭复数2： (2)若az+b=1-i,求实数a,b的值. 17.(本小题15分) 如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2cm,底面三角形的边长 分别为3cm,4cm,5cm. (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V; (2)求该三棱柱的外接球的表面积. B B 高一数学第3页（共4页） 18.(本小题17分) 己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量m=(a,cosA),且 i=(sinB,√3b),且m1i. (1)求角A; (2)若a=√7，b+c=3,求ABC的面积. 19.(本小题17分) 如图，直三棱柱ABC-AB,C中，BC=AM=1,AB=V5,cos∠ACB= 3 ,P为线段BC 上的动点。 (1)当P为线段BC,上的中点时，求三棱锥B-PAC的体积： (2)当P在线段BC上移动时，求AP+CP的最小值. 高一数学第4页（共4页) 2025-2026学年度第二学期学业水平测试高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每个5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的。 1-4.CADD 5-8.BBAB 二、多项选择题：本题共3小题，每个6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.CD 10.ABC 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.8m 13.314.100v6 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 解：(1)a=（-2,4),6=(x,-2), .a+6=(x-2,2). …2分 /+) “-2×2=4(x-2),解得x=1, …4分 6=(1,-2)；… …5分 (2):1(2a-6,2a-6=(-1-x,4), ……7分 (a-=0,即-2(-1-x)+4×4=0, …9分 所以X=9,6=(-9,-2).…l1分 设向量与b夹角为0， COS0- -2×(-9)+4×(-2) √17 l6-c22+42.√-92+(-2 17 …13分 16.(本小题15分) 解：(1)z=-2+3+3=34 …3分 2-i 2-1 =3+02+D=1+i, …6分 5 z=1一i …7分 (2)由(1)得：a(1+)+b=1-i, 9分 即a+b+ai=1-i,… …11分 8+也1 …13分 解得a=-1,b=2 …15分 高一数学试卷参考答案 17.(本小题15分) 解：(1)因为底面三角形的边长分别为3cm,4cm,5cm, 由勾股定理逆定理可知： 底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，3cm,4cm,…1分 又因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为2cm, 所以VABC-A1B,G1=之×3×4×2=12(Cm3)3分 1 2SAABC 2×)×3×4 设圆柱底面圆的半径为r,则”=AB+BC+AC=3十4+5= ,…5分 圆柱体积Vo01=刀×12×2=2π(cm3),… …7分 所以剩下的几何体的体积V=(12一2π)cm3… …9分 (2)由(1)可得直三棱柱ABC-A1B1C1可补形为棱长分别为3cm,4cm,2cm的长方体，11分 它的外接球的球半径R满足2R=V32+42+2Z=√29，即R=罗cm…13分 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为S=4氧×(} =29πCm2…15分 18.(本小题17分) 解：(1)m⊥n,而，i=asinB+V3 bcosA=0… …2分 由正弦定理得sinAsinB+V3 sinBcosA=0,… …4分 B是三角形内角，sinB≠O, sinA+V3c0sA=0,tanA=-V3,…6分 A是三角形内角，“A= 3… …8分 (2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccosA,. …9分 又a=V7,b+c=3,A=分，所以 7=(b+C)2-2bc+bc, …12分 解得bC=2,… …14分 则△ABC的而积SE=besinA=×2×9= 21 2 …l7分 19.(本小题17分) 解： (1)）由已知可得sin∠ACB= …2分 3 由余弦定理有2=1+AC2-2 4C cos∠ACB,得到AC=√5.…4分 在△ACB中，有 高一数学试卷参考答案 a分4c8 AC8-5xk5-号 …6分 2 32 …8分 6212 (2)将△ABC绕BC旋转到与△CBC同一平面（如图所示），…l0分 连接AC交BC,于点，此时AP+CP取得最小值，最小值即AC长.…l2分 在△ABC中，BC=V2,AB=V2,AC=2, 故BC+AB2=AC,故AB⊥BC,即∠ABC=90°，…14分 又易知∠CBC=45°，故∠ABC=135°， 由余弦定理得AC2=1+2-2×V2x1×cos135°=5，所以AC=√5，…16分 故AP+CP的最小值为√5.…l7分 高一数学试卷参考答案