2025-2026学年北师大版八年级数学下册期末模拟测试卷（三）

**基本信息** 立足北师大版八年级下册核心知识，以生活情境与动手操作为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，如“脆红李”电商购进问题、新能源汽车费用对比及图形变换实践。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|多边形内角和、分式性质、平行四边形性质|第5题结合电商购进情境，考查分式方程建模| |填空题|5/15|分式方程解、不等式参数、因式分解|第13题以四边形对角线为载体，综合全等与平行四边形判定| |解答题|7/61|几何作图（18题）、实际应用（17题）、图形变换（20题）|20题通过拼接平移旋转，培养空间观念；19题配方法探究“完美数”，渗透数学思想|

2025-2026学年八年级数学下册期末模拟测试卷（三）北师大版 一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的） 1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2． 若 mn=−2，m−n=3，则代数式 m2n−mn2 的值是（　　)    A．−6 B．−5 C．1 D．6 3．如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A．扩大到原来的9倍 B．扩大到原来的3倍 C．不变 D．缩小到原来的 4．如图，▱ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O，作射线BO交AD于点G，交CD的延长线于点H，若AB=3，BC=5，则DH的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 5．某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12 000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别是线段DM，MN的中点。若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（　　)。 A．5 B． C．2.5 D．3 7．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（　　） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC， BD交于点O， AB=2， BC=4， ∠ABC=60°，直线EF过点O，连接DF，交AC于点G，连BG， △DCF的周长等于6，下列说法正确的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分） 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是　 　. 10．若不等式（m为常数，且）的解集为 ，则m的取值范围是　 　． 11．如果 因式分解的结果为　 　. 12．如图，在中，，，，点、分别在线段、上，且，连结，若平分，则的长为　 　． 13．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形。其中正确的结论是　 　（填序号)。 三、解答题（共7题；共61分) 14．把下列各式因式分解 （1） （2） 15．（1）解不等式，并写出最大整数解； （2）解不等式，利用数轴确定不等式的解集． 16．某学生在化简时出现了错误，其解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该生的解答过程是从第　 　步开始出现错误的； （2）请你写出此题的正确解答过程． 17．综合与实践：某数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）：，每千米行驶费用：元；新能源车电池电量：，综合电价：1元/（），续航里程：，每千米行驶费用：_________元． 素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其他费用） 18．如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程． 要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只要证 = ， = （2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）． （3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由． 19．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式________； 探究问题： （2）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x、y满足，求的最值． 20．综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。 （1）【活动一】拼接 将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长； （2）【活动二】平移 在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。 ①求证：四边形AMDN是平行四边形； ②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 。 （3）【活动三】旋转 在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°=2×360， 解得：n=6． 即这个多边形为六边形． 故选：B． 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：m2n−mn2=mn(m-n)=-2×3=-6， 故答案为：A. 【分析】先提取公因式分解因式，然后整体代入解答即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：同时把x，y扩大3倍得：， 即把分式的值缩小到原来的． 故选：D． 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键。根据分式的基本性质进行分析解答。 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意是∠ABC的平分线， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故答案为：B． 【分析】根据作图可得，然后根据平行四边形的性质得到，即可得到，再根据等角对等边得到，利用线段的和差解答即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得， ， 故答案为：A． 【分析】由题设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，单价比第一批每件便宜了5元，则第二批为(x-5)元，由总价除以单价等于件数，表示出第一批的件数，第二批的件数，再根据：第二批的件数比第一批多购进了40件，列出分式方程． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点E， F分别是线段DM， MN的中点， ∴DN最大时， EF最大， ∵线段EF的最大值为2.5， ∵N与B重合时DN最大， 此时. =5， 故答案为：D. 【分析】根据三角形的中位线定理得出 从而可知DN最大时，EF的最大值为2.5，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB解答即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数过一，二，四象限， ∴、， ∴，故①符合题意； ∵， ∴y随x增大而减小， ∵，是直线上不重合的两点， 当，则，则；当，则，则，故②不符合题意； 当、、， 由函数图象可得，两函数的交点的横坐标为3， ∴当时，，即，故④符合题意； 则， 即， ∵， ∴， 则 ∴ 即，故③符合题意； 由函数图象可得：当时，，故⑤不符合题意； 综上，①③④符合题意． 故答案为：B． 【分析】结合函数图形并利用一次函数的图象、性质与系数的关系（①当k>0时，一次函数的图象呈上升趋势，此时函数值y随x的增大而增大；②当k<0时，一次函数的图象呈下降趋势，此时函数值y随x的增大而减小；③当b>0时，函数图象经过y轴的正半轴；④当b<0时，函数图象经过y轴的负半轴）分析求解即可. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：∵△DCF的周长等于6， ∴CD+CF+DF=6， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD=AB=2，BO=DO，AO=CO，AB∥CD，AD∥BC， ∴CD+BC=2+4=6， 即CD+CF+BF=6， ∴CD+CF+DF=CD+CF+BF， ∴DF=BF， ∴△BDF为等腰三角形， ∵BO=DO， ∴FO⊥BD， 即EF⊥BD， ∴∠EOD=90°，故①正确； 过点O作MN⊥BC于M，交AD与N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AD，∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC， 在△OAE和△OCF中， ∠OEA=∠OFC∠OAE=∠OCFAO=CO， ∴△OAE≌△OCF(AAS)， ∴AE=CF， 同理可得，ON=OM， ∴MN=2ON， ∵S△DFC=CF⋅MN，S△AEO=AE⋅ON， ∴S△DFC=2S△AEO，故②正确； 过点G作HK⊥AB于H，交CD于K， AI ∵AB∥CD， ∴HK⊥CD， ∴S△ABG+S△DGC=AB⋅GH+CD⋅GK=AB(GH+GK)=AB⋅HK， ∵S▱ABCD=AB⋅HK， ∴S△ABG+S△DGC=S▱ABCD，故③正确； 过点D作DP⊥BC的延长线于点P，则∠DPC=90°， ∵∠ABC=60°，AB∥CD， ∴∠DCP=∠ABC=60°， ∴∠CDP=90°−60°=30°， ∴CP=CD=×2=1， ∴， 设DF=BF=x，则CF=4−x， ∴FP=4−x+1=5−x， 在Rt△DPF中，FP2+DP2=DF2， ∴(5−x)2+()2=x2， 解得x=， ∴CF=4−=， ∵AE=CF， ∴AE=，故④正确； ∴说法正确的个数有4个， 故选：D． 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理． 由△DCF的周长等于6，可得CD+CF+DF=CD+CF+BF，即得到DF=BF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥BD，即可判断①；过点O作MN⊥BC，交AD与N，证明△OAE≌△OCF，得到AE=CF，同理可得，ON=OM，MN=2ON，再由三角形的面积即可判断②；过点GHK⊥AB于H，交CD于K，可得S△ABG+S△DGC=AB⋅HK，即可判断③；过点D作DP⊥BC的延长线于点P，由平行线可得∠DCP=∠ABC=60°，进而可得∠CDP=30°，得到CP=1，由勾股定理可得DP=，设DF=BF=x，则CF=4−x，在Rt△DPF中，由勾股定理可得(5−x)2+()2=x2，求出x进而可得AE的长，即可判断④；正确作出辅助线是解题的关键． 9．【答案】且 【解析】【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 当时，， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 【分析】本题以含参分式方程的解的非负性问题为背景，考查了分式方程的解法、不等式的求解以及分式方程增根的概念。解题的关键是先将分式方程转化为整式方程并求出解，然后根据“解是非负数”这一条件列出关于k的不等式，同时要注意排除使原分式方程无意义（即分母为0）的增根情况，从而确定k的最终取值范围。 10．【答案】 【解析】【解答】解：∵不等式（m为常数，且）的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【分析】根据“不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，转化为关于字母参数的不等式求解． 11．【答案】(x+3)4 【解析】【解答】解： 故答案为：(x+3)4 . 【分析】把(x2+6x)看作整体，利用完全平方公式计算即可． 12．【答案】 【解析】【解答】解： 如图，过点B作BH⊥DA交DA延长线于H点，过B作BGIIEF，交AH的延长线于G， ∵BE平分∠AEF， ∴∠GEB=∠FEB， ∵BG∥EF， ∴∠FEB=∠EBG， ∴∠EBG=∠GEB， ∴GB=GE， ∵DE=DF，BG∥EF， ∴DG=DB，GE=BF=GB， ∵∠ABC=60°，AB=3， ∴∠BAH=60°，即∠ABH=30°. ∴AH=AB=， ∴BH=， ∴DH=AD+AH=5+， ∴RtABDH中， BD==7， ∴GH=DG-DH=7-=， ∴在RtABGH中，.GB=， ∴BF=， ∴DF=BD-BF=7-， ∴ DE=7-， 故答案为：7-. 【分析】通过角平分线和平分线得到等腰三角形GBE，再根据平行四边形的性质，得到∠GAB=60°，借助勾股定理求得AH，BHHD，BD，再求GH，GB，最后根据线段的和差倍关系求得DF的长即DE的长. 13．【答案】①②③ 【解析】【解答】解：∵DE=BF，∴ DF=BE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°， 在 Rt△AEB和Rt△CFD中， ∴ Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)， ∴ CF=AE.故结论①正确. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF， ∵AE=CF，∴四边形AECF 是平行四边形， ∴OE=OF.故结论②正确. ∵Rt△AEB≌Rt△CFD， ∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD， ∵AB=CD，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 故结论③正确. 易得△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△ABF，△BCD≌△DAB，△CFO≌△AEO 等.故结论④错误. 故正确的结论是①②③. 故答案为：①②③. 【分析】根据HL得到Rt△AEB≌Rt△CFD，即可得到CF=AE判断①；根据一组对边平行且相等得到四边形AECF 是平行四边形，再根据性质判断②；据一组对边平行且相等得到四边形ABCD是平行四边形，再根据性质判断③；根据图中全等三角形的对数判断④解答即可. 14．【答案】（1）解： ​​​​​​​ （2）解： ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）提取公因式(x-3)分解因式解答即可； （2）提取公因式y(x+1)分解因式解答即可. 15．【答案】解：（1）， 去分母得，， 移项得，， 合并，得，， 系数化为1，得：， ∴不等式的最大整数解为0； （2） 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为： 【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可； （2）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可. 16．【答案】（1）二 （2）解： ． 【解析】【解答】（1）解：①该学生解答过程从第二步开始出错，其错误原因是分子相加减时是整体相加减，需要加括号． 故答案为：二. 【分析】（1）利用分式的减法的计算方法及去括号的计算方法分析求解即可； （2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可. （1）解：①该学生解答过程从第二步开始出错，其错误原因是分子相加减时是整体相加减，需要加括号． 故答案为：二； （2）解： ． 17．【答案】解：任务1：； 任务2：由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元． 任务3：设每年行驶里程为， 由题意，得 解得． 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【解析】【解答】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； 【分析】 任务1：根据表中的信息，新能源车的每千米行驶费用=，计算即可解答； 任务2：先表示出燃油车的每千米行驶的费用，再表示出新能源车每千米行驶的费用为，再根据 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元，可以列出相应的分式方程，解方程并检验解的合理性，解答即可； 任务3：根据年费用年行驶费用年其他费用，分别表示出燃油车和新能源车的年费用，再根据 买新能源车的年费用更低列出相应的不等式，计算即可解答． 18．【答案】（1） 要证直线AO垂直平分BC，只要证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只要证 AB = AC ， OB = OC （2）如图（2），AO为所作； （3）如图（3），AO为所作． 在△ABC和△AED中 ， ∴△ABC≌△AED， ∴AC=AD，∠ACB=∠ADE， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠BCD=∠EDC， 在△BCD和△EDC中， ， ∴△BCD≌△ECD， ∴∠BDC=∠ECD， ∴OD=OC， ∴AO垂直平分CD． 【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的判定定理（到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）及三角形全等的判定，解题需结合定理和全等性质推导。 (1)要证垂直平分，根据垂直平分线的判定，需证明点A和点O都在的垂直平分线上，而点在垂直平分线上的条件是到线段两端点距离相等，因此只需证（点A到B、C距离相等）和（点O到B、C距离相等）； (2)连接、交于点O，因，，故，可证，得，即是的角平分线，又，故垂直平分，因此直线即为所求； (3)连接、交于点O，连接。先证，得，，进而，故；再证，得，故，结合，可知点A、O都在的垂直平分线上，因此直线即为边的垂直平分线。 19．【答案】（1）； 解：（2）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵S为“完美数”， ∴， 解得：； （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 当时，的最大值为6． 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴10是“完美数”， 故答案为：； 【分析】（1）把10分为两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （3）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 20．【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3， ∴AB=DE=2AC=6， ∴由勾股定理得：BC=AE= ∴ （2）解： ①∵平移， ∴AF∥CD，AF=CD， ∴四边形ACDF是平行四边形。 ∴AN∥DM 又∵EF=BC， ∴AE∥BD，AE=BD， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴DN∥AM。 ∴四边形AMDN是平行四边形。 ②9 （3）60°或240° 【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=， ∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（）=9. 故答案为：9； （3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F， 当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G， ∵AB∥DF， ∴∠AD1F=∠D1FD=60°， ∴∠BAC=90°-30°=60°， ∴△AD1G为等边三角形，符合题意； 当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC， ∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ， ∴△PQC为等腰三角形，符合题意。 故旋转角的度数为：60°或240°。 【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长； （2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=，AM=DN=，进而即可得出 四边形AMDN的周长； （3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。 学科网（北京）股份有限公司 $