江西南昌市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

南昌二中2025-2026学年度下学期高二数学期中试卷 命题人：龙光鹏审题人：周启新 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.★已知数列{am}满足am+1=2an(n∈N）,a2=2,则a4= ( A B.2 C.4 D.8 2.★★已知函数f(x)=x2+e“,则1im f(1-△x)-f(1) △c A2e B.3e C.-2-e D.2+e 3.★★现一排有7个座位，安排甲、乙、丙3名同学就坐，若这3位同学不相邻，则不同的安排方法有 A120 B.60 C.40 D.15 4★★已知正项数列{a}满足a+a,=aa,若数列1}是等差数列，则a,- A2 B.1. c 5.★如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则直线CE与平面ABCD所成角的正弦值为（) A2 B.③ C⑤ D.25 2 5 5 6双线E票-若-1a≥0.b>0的右焦点为F,点P双曲线的右支上若O7=c,P=。,则双线的 离心率为 () A√10 B.5 C.2 D.V10 2 7.★★★从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白 球得1分.按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为 () A多 B.3 。号 。号 8.函数f(x)=x-3x2-4x+3的零点个数为 () A0 B.1 C.2 D.3. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.★★函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示，则 () A ·1 A-3是函数y=f(x)的极值点 B.-1是函数y=f(c)的极小值点 C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.-2是函数y=f(x)的极大值点 10.★★★设等比数列{an}的公比为g,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a6a>1,(a?-1)(as-1)<0.则下列 结论正确的是 () A0<q<1 B.a<1 C.as<1 D.T的最大项为T 11.★★★★☆若直线y=kc十b与曲线y=e“相交于不同两点A(w1,y1),B(x2,y2),曲线y=e在A,B点处的切 线交于点P(,y),设AP的斜率为k1,BP的斜率为k2,则 () Ab=0时，k>e B.2x0=x1+D2 C.0<0<e6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.★★已知等差数列{an}中，a2十as=8,则该数列前9项和S,等于数列{bn}的前9项和S等于 13.★★★已知曲线y=l(2m)在点（号，0）处的切线地是曲线)=e1+-a的切线，则a=一· 14.★★★设函数f(x)=x3+ax2+bx十c仅有两个零点x1,c2和一个极大值点x(c1<<D2),若x1,x0,x2是公比 为g的等比数列，则q= 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.★★★已知函数fx)=32-4ar+a1nr在r=1处取得极大值. 2 (1)求a的值； 〔2求fo在区间[是，e]上的最大值， 16.★★★如图数表，在第k(k=1,2,3,n)行中，共有k个相同的数2(a≠0， 记第k行所有数的和为a,前k行所有数的和为Sk 第1行 第2行 aa 2′2 第3行 aa ak=8 2222 第n行 a Q a 2-1′21′2-1′…，2- (1)若a5,a6,a%成等差数列，求k的值； (2)求Sm. 2 17.★★★☆已知数列{an}的前n项和为Sm,若Sn十Sm+1=2n2+2m十1，且S1=1. (1)求{an}的通项公式： (2)令bn=n (L+1）,求数列{b的前n项和为 anan+1 18.★★★☆已知函数f(x)=c(x-lnx). (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)求证：f(c)>2x2-xe; (3)证明：函数g)=)-存在唯一极大值点0，且。<g(<士 .3 19.★★★★已知函数f(x)=ecosa,g(c)=sinc+1. (1求fm)在(0，)内的单调性； (2若存在x∈[一石，0，使得f(四)-g(@)≥0，求实数a的取值范围； (3)设方程fm=gm在区间（2n元+号，2mr+号)n=1,2,…2025,2026)内的根从小到大依次为4，，， x2025,心2026，试比较c2026与x205十2元的大小，并说明理由. …4… P(X=2)= 1.【答案】D C6 【详解】an+1=2an,a2=2,∴.a4=2a3=2×2a2=8, 则X分布列为： 故选：D 2 2.【答案】C P 1 【分析】求出函数f(x)的导数，再利用导数的定义求得答案， 28 28 【详解】函数f(c)=x2+e,求导得f'(x)=2m+e, 所以吗 二A-f@= 所以得分期望为E(X)=4× +3×号+2×号-多 1 fL-△-f0=-f'1)= 28 7 △x -△w 故选：A -2-e. 8.【答案】C 3.【答案】B 【详解】法一：fx)=x-3x2-4+3. 【详解】A店=》=5x42X1=60 2×1 f(c)=4n3-6ac-4 故选：B [f@'=12x2-6=0,=-5,=2 2 4.【答案】A am>0, ,女+1，又令数列}是等 ae(←-o,).(+.fe>0fe八 【详解】 a3十a=a3a7,a7ag 差数列等差为d,则1+2d+1-2d=1→1=号→，= e(9,竖).f@r<0f✉n as as as 2 2. 国的极大值-2)=(-户-3--4=-反+ 故选：A 3√2 2 -4<0, 5.【答案】C 【详解】设M是CC的中点，连接BM, f回)的极财小值f)=反-32-4=-9-4<0，f0 2 2 D. =-6<0, 且f'(2)=32-12-4=16>0, 30∈(1,2)，使得f()=0, ∴.在(-o,)上f(c)<0,fx),在(，+o,)上f(x)>0 ,f(x)/,f(c)mm=fro)=晴-3i-4r+3<f'(1)=-3<0, 又f-1)=1-3+4+3=5>0,f3)=3+-3×32-4×2+3 =49>0 ∴函数f(x)=x-3x2-4o十3的零点个数为2 易得∠MBC等于直线CE与平面ABCD的所成角. 设正方体的边长为2，则G=2,CG=√5，CE=3, 小 nc=方-点 故选：C f'（x)=4x3-6x-4 6.【答案】D 【详解】如图： a+(aP=2e=10e=9=ee=V平-四 4 故选：D 7.【答案】A 【分析】根据取出小球的所有情况写出得分X的所有可能，根 据超几何公式求得X各个取值对应的概率，进而得到其分布 列，求出期望. 【详解】解：设得分为X,根据题意X可以取4,3,2. Px哀P==爱是- 5 fc)=x-3x2-4r+3 em-2mem-1,再利用导数证明g(m)>0即可. 【详解】对于A,b=0时，y=c, 又过原点(0,0)作曲线y=e的切线，设切点为(t,e), y'=e“,则切线方程为y=e(x-t)+e=ec十(1-t)e,又 过(0,0)， ∴.(1-t)e=0,解得t=1,即过原点(0,0)与曲线y=e相切 的直线方程为y=ex, 又直线y=kc与曲线y=e相交于不同两点，：k>e,故A 正确； 对于B,不妨取A(0,1),B(1,e), 则曲线y=e在A,B处的切线方程分别为y=x十1，y=ec, 解得购=。，此时2两=。名*+的=山，故五错误 对于C,不妨取D1<x2,则0>D1, 曲线y=e在A(m,h)处的切线方程为y=ex+(1-)e, 设f(c)=e-ex-(1-x)e,则f'(x)=e-e, 法二：f(c)=D-3x2-4x+3=(x2-2c-3)(x2+2x-1)= 令f'(o)=0,解得c=1, (x+1)(x-3)(x2+2x-1) ∴<时，f(x)=e-e<0,f(x)单调递减， 9.【答案】AC x>m时，f'(x)=e-e>0,f(x)单调递增， 【详解】由图像可得，当x∈(-o0,-3)时f'(x)<0,当x∈ ∴f(c)≥f(x)=0,即e≥ex+(1-)e(当且仅当x=m (-3,+0)时f'(c)>0, 时取等)， 所以f(x)在(-0，-3)上单调递减，在(-3，+∞)上单调递增 由题易天知≠1，e>ex十(1-m)e=0, 故-3是函数y=f(x)的极值点，-2、-1不是函数y= 又e>0,所以y=ex+(1-m)e单调递增，且>m, f(c)的极值点， ∴%>e>0,则0<0<e,故C正确； 故选：AC 对于D,由题可知=e,=e,k=e-e 10.【答案】ACD D2-1 【分析】对于A,分g<0,9≥1讨论可得0<g<1;对于 B、C,借助0<g<1,得{an}为递减数列，即a>as>0, g-62+e=e-2(c2-） 结合(a,-1)(a-1)<0,得a,>1>a8>0;对于D,由BC e e et:-e 知当n≤7时，am>l,当n≥8时，a.<1,即可得的最 大项. e-e3-2(--6a-1-2(g=e e-e e(e-e） 【详解】对于A,由等比数列性质可得a6g=aas>1， 不妨取1<D2,则e>e,e-e>0,令m=D2 若q<0,因为a4>1,所以a=a1gf>0,as=a9<0,不满 (m>0), 足a,a%>1, 若q≥1，因为a1>1,所以a=a195>1,ag=a19>1,不满 则e2a-1-2(r2-)e=e2m-2mem-1,令g(m)= 足(a,-1)(as-1)<0, e2m-2mem-1,m>0, 所以0<g<1,故A正确： g'(m)=2e2m-2(m+1)em=2em(em-m-1), 对于B、C,因为a1>1,0<q<1,{an}为递减数列，所以 u(m)=em-m-1,u'(m)=em-1, m>0时，u'(m)=em-1>0,u(m)在(0，+o)单调递增， a7>ag>0, 又(a,-1)(as-1)<0,所以ar>1>as>0,故B错误、C正 .u(m)>u(0)=0,则g(m)=2em(em-m-1)>0, 确； ∴g(m)在(0，+∞)单调递增，则g(m)>g(0)=0, 对于D,由B,C可得当n≤7时，am>1,当n≥8时，0< .1+1-2-ee）-1-2-)e am<1, e(e-e） >0,即+ 所以T的最大值为T,故D正确 太>层，或D正确 故选：ACD. 12.【答案】36 11.【答案】ACD 【详解】在等差数列{an}中，满足a2十ag=8=2a5, 【分析】对于A,求出曲线y=e过原点(0,0)的切线方程即 可判断；对于B,取A(0,1),B(1,e)即可判断；对于C,不 所以数列{b}的前9项和S=9a】=92=9x8= 2 2 2 妨取1<2，则>1，再令f(x)=e-ex+(1-)e, 36, 利用导数即可得到e“≥ex+(1-)e,进而可得e>%即 故答案为：36. 可划断：对于D,作送得太+太是 13.【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得y=ln(2x)的切线方程， e2e）-1-2(D2-x）e- 再设出该切线与y=e一1+c一a的切点，再利用公切线的斜率 eee) -,令m=,-(m>0),g(m)= 相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解。 6 【详解】由y=1n2,则g=2=子 故函数f@)在(0，})上单调递增，在（号，1）上单调递减。 所以迪线划=a(2)在点（号，0）处的斜率为为=2， 在(1，+∞)上单调递增 所以曲线y=h2)在点（号.0）处的切线方程为y=2-1. 此时函数f(o)在云=号处取极大值，在0=1处取极小值，与 函数f(x)在x=1处取得极大值不符； 设直线y=2x-1与曲线y=e-1+D-a相切的切点为 (r0yo),且y=e-1+1, 当号=1，即a=3时，令fo)>0得0<<1或m>3,令 则。+1=2 c+药-a=2-1解得{0 f'(x)<0得1<x<3, (a=1 故函数f(x)在(-o0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 14.【答案】2 在(3，+∞)上单调递增 【分析】由题意确定x是f(x)的极小值点，得到o,x是方 此时函数f(x)在m=1处取极大值，在x=3处取极小值，符 程f'(c)=0的，结合韦达定理，即可求解， 合题意： 所以a=3; 2由a)得f()=号e-12+9h,f@) 3-a-3,e[6q 令f四>0，得}<a<1函数f回倒单调递增， 【详解】 令f'(x)<0,得1<x<e,函数fo)单调递减， 因函数f(c)=x3+ax2+bx十c有一个极大值点，则该函数 所以fem=f0=号-2=-2头 2 必有一个极小值点，且极小值点大于，又f(x)仅有两个零 点x1,D2,且1<x0<D2, 16.【答案】①an=2n-1.(2)S.=a-n+2a 2m-1 因此x是f(c)的极小值点， 【详解】简写a=费，%=职a=会as,46,4成诗 易得f'(x)=3x2+2ax+b, 十=-号a 差数列， 即x,x2是方程f'(x)=0的二根，有 r2=吉b 则24=at4,即2x29=投+：a≠0， 即a-号+ 小子-点2=22-，-k=8 b=3x0x2 (2)m=1时，S6=a%=a, 显然，f(x)=(c-)(x-x)2=x3-(m1+2x2)x2+ n≥2时，S%=a1十a2十十a%, (2x1十D2)x2x-E1r5, 则-(a+2到=a=号a+, 8=1x号+2×号+3×号+…+ 20 2k-1 整理得2r1十D2=3m0, 号8=1x号+2×是++6,92+0 22 2-1 2k 两边平方得：4c+4知2十x=96, 因x=cc2,于是得4r+4c1c2十x=9x1c2, 即(4知1-x2)(1-)=0,而x1<D2,有4虹1-D=0, +号++++-2-2=2a-2 n 2=2 所以会=土又<<，所以g=得 20=2a-m+20 2 2n 故答案为：2. (n+2)a 15.【答案】(1)3 :Sn=4a- 2n-1 2)-头 17.【答案】(1)an=2m-1. 【分析】(1)求导，然后令f'(x)=0求出c,代入x=1验证是 (2)T.=n+2-4n+2 否符合题意即可； 【详解】(1)当n=1时，S1+S2=5,又S=1,∴.S=4, (2)求号，确定函数在区间[日。]上的单调性，进而可末最大 当n≥2时，注意到Sn+S+1=2n2+2n+1=n2+(m+1)2. 值 Sn-1+Sn=2(m-1)2+2(n-1)+1=(n-1)2+n2, 【详解】(1)由已知f'(o=3a-n+a2-3m2-hx+a- Sn+1-Sn-1=(n+1)2-(n-1)2=4n=a+1+an, ∴.an+1=-an+ln, (3c-a)(x-a .an+1-2(m+1)+1=-(a.-2m+1), 又(a1-2+1)=0,∴.(an-2m+1)=0,am=2m-1. 令f)=0得=a或=号， 当a=1时，令f回>0得0<<号或>1，令f回)<0 田1可得：=n公+d)2+ 。=(}+)+（+号）+（+） 得号<<1， +号+号+(+ =1+(+)+（号+）+（号+》+ 结合(x)的单调性，即可证得结论成立. 【详解】(1)f'(ax)=e*cos-+e(-sinx)=e(cosx-sinx). +(0+)+(2”1+2 =1+ 2m+1 当0<u<圣时，osx>n2,f(四>0，f(四单调递增； m (m-1×1+2m+1=n+2n+1=n+2-n+2 当至<<受时，os<血，f"(回)<0，fo)单调递减： 18.【答案】(1)x-y=0,(2)见解析；(3)见解析. 【详解】简写（山>0，a)=(e-h)+1-）=2红 所以，f)在(0圣)上单调递增，在（至，）上单调递减。 Ing-1 2)由题可知存在xe[-石，0]，使得eco≥a(sinx+1)成 f(1)=1,f1)=1,.切线方程为y=f1)(c-1)+f1)=1, 立， 即x-y=0. (2)要使f(x)=x(x-lnc)>2x2-xe,即-cnx>x2-e, e[看0时，simr+1e[号，故存在ae看0， 即-lnx>x-e,即lnx+x<e, 使得a≤年品 令h(x)=lnx+x,易得h(x)刀h(x)<2x-1,又易得，e> 2x+2-2n2, 令h()=许品，其中一看≤<0， ∴e>lnc+x恒成立，得证. h()(cosz-sing)(1+sinz)-e'cos' (3)g(a)=f(a)-a=x2-xlnx-a. (1+sina) g'(x)=2c-lnc-1-1=2x-lnx-2, e(cosx-l)1+sinm≤0， [g=2-立，当e(0,).[g<0.g.当ae (1+sina)2 且（四）不恒为零，故函数h(四在[-石，0]上单调递减， (分+0，[g'>0.g'(o7,·g'(m=g'(2)=1 则h(as=-看)=V5ei,故a≤5ei m2-2=h2-1<0, (3)D05>D2025+2r. 又注意到g(1)=0, 证明：由f(r)=g(c)可得e"cosz=1+sinx, g2)=2站-片-2=2+e-2≥0 令p(x)=efcosa--sinx-l,则p'(o)=e(cosD-sinm）- 故日∈（日号）.使得g=20la0-2=0.2-1h cOS. =2 因为m∈(2nx+号，2nr+5)(n∈N4),则sino>cos>0, ,g(x)右唯一极大值=g(o)=xi-olnx-x0=xi- 所以p'(x)<0,所以函数(x)在 2w2)-=5+0>g日=。-名片是=合 (2mx+5,2mx+)(n∈M)上单调递减， x2-xlnx-x 因为(2mx+肾）=e+-9-1≥-9-1 2 2 2 -+1<=} 0,42nr+5)=-2<0, 所以，存在唯一的∈(2nr+号，2nr+号)n∈4，使得 得证. p()=0, 19.【答菜】（①f()在(0.）上单调递增，在（至，）上单调递 所以，n∈(2mx+于，2nx+5）,ecos.-sin.-1=0, 减. 同理可得e+CoS+1-sincn+1-1=0, (2)a≤√3e6 (3)x206>025十2π，理由见解析 且c-2xe(2nx+52nx+5), 【分析】(1)由题可得f'(x)=e(cosc-sinx),解出f'(c)>0 因为n+1-2元<nt1,所以e-2r<en, 和f(x)<0的解集即可求解 因为a+∈(2nx+号+2,2nx+7+2x),所以cos+1>0, (②由已知呵得行在m∈[-看0]，使得≥a(in+1) 所以，p(cn+1-2x)=e-2cos(c+1-2r)-sin(1-2x)-1 成应，因为e[-0时，sin+1e[},故存在e cOs-sin1=cocm =(e-e)cos<0=(n) 【一音0，用参变分离法河得出a≤年品，利用导数东起出 因为函数p(回在(2mr+5,2n+受)上单调递减， 里数A(国=年品在看-0小上的最大值回求解， 故+1-2π>n,即xn+1>cn十2元， (3)令p(x)=ecos-sinc-1,利用导数分析p(c)在 取n=2025,则x2026>x02+2元， (2nx+号，2nx+受)m∈N)上的单调性，利用零点存在性定 理可知2∈(2nπ+号，2nr+号)neN),求得ant1-2x∈ （2nm+号，2nx+)neN),证明出p(r+-2x)<p(, 8