第一章 碱角形——全等三角形综合练习 2025-2026 学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 以“方法为纲、模型为脉”系统整合全等三角形辅助线技巧与模型应用，构建从基础到综合的解题能力培养体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础辅助线添加|6题|连对角线、作高证全等|从基本图形入手，强化全等判定条件的直接应用| |二次全等|10题|多次全等转化、结论递推|训练全等证明的连贯性与条件挖掘能力| |倍长中线|6题|中线倍长构造全等三角形|利用中点性质实现线段转移与等量代换| |截长补短|5题|截长法、补短法证线段和差|通过线段重组转化为全等判定问题| |一线三等角|5题|构造K型全等、角的转化|利用等角条件建立三角形全等关系| |手拉手模型|6题|旋转全等、对应边夹角相等|基于等边/等腰三角形的旋转不变性| |半角模型|4题|旋转法构造全等、线段和差转化|利用半角条件实现角与线段的等量代换| |全等综合|11题|动态问题、最值问题|整合多方法解决复杂情境下的全等应用|

苏科版初一数学 全等三角形综合练习 目录 题型一 基础辅助线添加---------------------------------------------1 题型二 二次全等------------------------------------------------3 题型三 倍长中线----------------------------------------8 题型四 截长补短----------------------------------------10 题型五 一线三等角------------------------------------------------12 题型六 手拉手模型-----------------------------------------------------15 题型七 半角模型-----------------------------------------------------18 题型八 全等综合-----------------------------------------------------21 答案解析-------------------------------------------------------------22 2 学科网（北京）股份有限公司 一、基础辅助线添加 1．如图，在四边形ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD．求证：AD∥BC． 2．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC＝BD 求证：（1）△ABC≌△BAD；（2）OA＝OB． 3．如图所示：AF＝CD，BC＝EF，AB＝DE，∠A＝∠D．求证：BC∥EF． 4．已知：如图，AD＝BC，AC＝BD，求证：OD＝OC． 5．如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F 是CD 的中点．求证：AF⊥CD． 6．如图，AB＝AC，CD⊥AB 于D，BE⊥AC 于E，BE 与CD 相交于点O． （1）求证：AD＝AE； （2）连接OA，并证明OA 平分∠DAE． 二、二次全等 1．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，E，F 分别是DA，BC 延长线上 的点，AE＝CF，连接EF 交BD 于点O．求证：△EOD≌△FOB． 2．如图，已知AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF． 求证：AF＝DE． 3．如图，已知D 是等边△ABC 内一点，P 是△ABC 外一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP ＝∠DBC． （1）求证：△BDP≌△BDC． （2）求∠BPD 的度数． 4．已知，如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的 平行线与线段ED 的延长线交于点F，连接AE、CF，求证：CF∥AE． 5．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC 于点F，交BC 于点G， 交AB 的延长线于点E，且AE＝AC．求证：BG＝FG． 6．如图，在△ABC 中，BC＝AC，分别过点B 和点A 作BD⊥AC 于点D，AE⊥BC 于点E， AE，BD 相交于点O，连接CO． （1）求证：AD＝BE； （2）求证：CO 平分∠ACB． 7．已知：如图，点B、C、E 三点在同一条直线上，CD 平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM ⊥BE 于M，DN⊥AC 于N． 求证：（1）求证：△BDM≌△ADN； （2）若AC＝2，BC＝1，求CM 的长． 8．已知如图：AD＝BC，FD＝EB，AB＝CD．求证：∠E＝∠F ． 9．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC 与DE 相交于点F，连接 CD，EB． （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举； （2）求证：CF＝EF． 10．在△ABC 中，AB＝AC，点D、E 分别是边AC、BC 上一点，连接AE、BD 交于点G． （1）如图1，点F 是AE 上一点，连接CF，若∠BAC＝∠BGE＝∠EFC，求证：AG＝ CF； （2）如图2，若∠BAC＝90°，AE⊥BD 于点G，CF⊥AC 交AE 延长线于点F，若∠ADB ＝∠CDE，求证：AD＝DC． 三、倍长中线 1．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在AD 上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 2．如图，已知D 是△ABC 的边BC 上的一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE 是△ABD 的中线．求证：AC＝2AE． 3．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线． （1）按要求作图：延长AD 到点E，使DE＝AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC＞2AD． （4）若AB＝5，AC＝3，求AD 的取值范围． 4．已知：如图，M 为△ABC 的边BC 的中点，AT 平分∠BAC，交BC 于T，ME∥AT 交CA 的延长线于E．求证：BD＝CE． 5．如图，△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E、F 分别在AB、AC 上，且DE⊥DF，求证： BE+CF＞EF． 6．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE＝AC，延长BE 交 AC 于F，求证：AF＝EF． 四、截长补短 1．如图，AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，点E 在CD 上． 求证：AB＝AC+BD． 2．已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD＝∠FAE．求证：BE+DF＝AE． 3．如图，在△ABC 中，∠B＝2∠C，∠BAC 的角平分线交BC 于D． 求证：AB+BD＝AC． 4．已知△ABC 中，∠ACB＝2∠B， （1）如图1，图2 中AD 是∠BAC 的平分线， ①若∠C＝90°，∠B＝45°，可得AB＝AC+CD（如图1）（不需要证明） ②图2 中，AB，AC，CD 有什么关系，直接写出来． （2）若AD 是△ABC 的外角的平分线，那么AB，AC，CD 有什么关系，写出来，并进 行证明． 5．已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D＝180°， 求证：AE＝AD+BE． 五、一线三等角 1．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝6，过点D 作DE⊥CD 于 点D，连接AE，若DE＝CD，则△ADE 的面积是 ． 2．（1）如图①，已知：△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m 经过点A，BD⊥m 于 D，CE⊥m 于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC 中，AB＝AC，D、A、E 三点都在 直线m 上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE 是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC 中，∠BAC 是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC，直线m 与BC 的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC 的面积是12， 求△ABD 与△CEF 的面积之和． 3．已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E， （1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由． ①线段CD 和BE 的数量关系是：CD＝BE； ②请写出线段AD，BE，DE 之间的数量关系并证明． 解：①结论：CD＝BE． 理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝ 在△ACD 和△CBE 中，（ ） ∴△ACD≌△CBE，（ ） ∴CD＝BE． ②结论：AD＝BE+DE． 理由：∵△ACD≌△CBE， ∴ ∵CE＝CD+DE＝BE+DE， ∴AD＝BE+DE． （2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE 之间的数 量关系．并说明理由． 4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC，AB⊥BC，CD⊥BD．过点A 作AE⊥BD，垂足为 点E．若CD＝4，DE＝6，求四边形ABCD 的面积． 5．已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E， （1）如图1， ①线段CD 和BE 的数量关系是 ； ②请写出线段AD，BE，DE 之间的数量关系并证明． （2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请直接写出线段AD，BE，DE 之间 的数量关系． 六、手拉手模型 1．如图，C 为线段BD 上一点（不与点B，D 重合），在BD 同侧分别作正三角形ABC 和正 三角形CDE，AD 与BE 交于一点F，AD 与CE 交于点H，BE 与AC 交于点G． （1）求证：BE＝AD； （2）求∠AFG 的度数； （3）求证：CG＝CH． 2．如图1，在等边△ABC 的边AC 的延长线上取一点E，以CE 为边作等边△CDE，使它与 △ABC 位于直线AE 的同侧． （1）同学们对图 1 进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有 （填序号）． ①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ；③△DCP≌△ECQ；④∠ARB＝60°；⑤△ CPQ 是等边三角形． （2）当等边△CED 绕C 点旋转一定角度后（如图2），（1）中有哪些结论还是成立的？ 并对正确的结论分别予以证明． 3．已知△ABC 是等边三角形，点D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作等边 △ADE． （1）如图①，点D 在线段BC 上移动时，直接写出∠BAD 和∠CAE 的大小关系； （2）如图②，点D 在线段BC 的延长线上移动时，猜想∠DCE 的大小是否发生变化．若 不变请求出其大小；若变化，请说明理由． 4．在△ABC 中，AB＝AC，点D 是直线BC 上一点（不与B，C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D 在线段BC 上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝ °． （2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β，当点D 在直线BC 上移动时，α，β之间有怎样 的数量关系？请直接写出你的结论． 5．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D 在 同一条直线上．求证：BD＝CE． 6．如图，两个正方形ABCD 和DEFG，连接AG 与CE，二者相交于H 问：（1）△ADG≌△CDE 是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分∠AHE？ （如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG 有什么数量关系？） 七、半角模型 1．（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F 分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF= 2∠BAD，求线段EF、BE、FD 之间的数量关系小明提供了这样的思1 路：延长EB 到G，使BG＝DF，连接AG，根据小明的思路，请直接写出线段EF、BE、 FD 之间的数量关系： （2）如图②，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F 分别是边BC、 CD 上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；1 2 （3）如图③，在四边形ABCD 中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F 分别是边BC、 CD 延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；1 2 若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 2．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E，F 分别在边AD，CD 上，若∠EBF＝45°，求 △EDF 的周长． 3．（1）如图1，点E、F 分别在正方形ABCD 的边BC、CD 上，∠EAF＝45°，求证：EF ＝BE+FD． （2）如图2，四边形ABCD 中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别在边BC、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明 理由． （3）如图3，四边形ABCD 中，∠BAD≠90°，AB＝AD，AC 平分∠BCD，AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 交CD 延长线于F，请直接写出线段BC、CD 与CE 之间的数量关系为 （不需证明） 4．已知四边形ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°， ∠MBN，绕B 点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN 绕B 点旋转到AE＝CF 时，如图1，易得：AE+CF＝ ；（不 需证明） （2）当∠MBN 绕B 点旋转到AE≠CF 时，如图2 情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明：若不成立，说明理由； （3）当∠MBN 绕B 点旋转到AE≠CF 时，如图3 情况下，AE＝5，CF＝1，EF＝ ． 八、全等综合 1．如图，在△ABC 中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝10cm，直线CM⊥BC，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3cm 的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线 CM 上以每秒2cm 的速度运动，连接AD，AE，设运动时间为t 秒．当△ABD≌△ACE 时， t 的值应为（ ） A．2 或5 B．5 或12 C．2 或10 D．5 或10 2．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E 分别是AB、BC 边上的 动点，满足AD＝BE．连接AE、CD，则AE+CD 的最小值为 ． 3．如图，在△ABC 中，AC＝6，∠BAC＝90°，E，D 分别为边AB，AC 上的动点，且AE ＝CD，连接BD，CE．当CE+BD 取最小值时，S△BDC+S△AEC＝ ． 4．在Rt△ABC 中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，点N，M 分别是边AB 和AC 上的动点， 始终保持CM＝AN，连接CN，MB，则CN+MB 的最小值为 ． 5．如图，在△ABC 中，∠CBA＝90°，BC＝3，AB＝4，点D、E 分别是AB、AC 边上的动 点，且AD＝CE，则CD+BE 的最小值 ． 6．如图，在Rt△ABC 中，已知∠ACB＝90°，AC＝4，𝐵 = 2 5，点D、E 分别是AB、 AC 边上的两个动点，且始终保持AD＝CE，连接BE、CD，则当CD+BE 取最小值时， AE＝ ． 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，PE、 PF 分别交AB、AC 于点E、F．给出以下四个结论： ①AE＝CF；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF＝S△ABC； ④EF＝AP．上述结论正确的有 ． 8．如图，在△ACB 中，AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，延长CB 到E，使得BE＝3，连接AE， 过点A 作AF⊥AE，且AF＝AE．连接BF，BF 与AC 的延长线交于D 点，则AD 的长 为 ． 9．如图，在等腰直角△ABC 中，O 是斜边BC 的中点，P 是OC 上一点，分别过B，C 作射 线AP 的垂线BD，CE，垂足分别为D，E，连结EO 并延长交BD 于F．若△ABC 和△ DEF 的面积分别记作S1 和S2，且S1﹣S2＝12，则S△AEC＝ ． 10．如图，△ABC 中，∠ABC、∠EAC 的角平分线BP、AP 交于点P，延长BA、BC，PM ⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 ．（填序号） ①CP 平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． 11．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E 为BC 上一点，连接AE，作AF⊥ AE 且AF＝AE，BF 交AC 于D． （1）如图1，求证：D 为BF 中点； （2）如图1，求证：BE＝2CD； （3）如图2，BE:CE=2:3,直接写出 AD:CD的值 一、基础辅助线添加-解析 1. 【解答】证明：连接 BD ∵AB∥CD ∴∠ABD＝∠BDC， A𝐵 = C𝐷 在△ABD 和△CDB 中， ∠A𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐷C， 𝐵𝐷 = 𝐵𝐷 ∴△ABD≌△CDB（SAS）， ∴∠ADB＝∠CBD． ∴AD∥BC 2. 【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°，在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， A𝐵 = 𝐵A， AC = 𝐵𝐷 ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， （2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA， ∴OA＝OB． 3. 【解答】证明：连接 BF、CE，在△ABF 和△DEC 中， A𝐹 = C𝐷 ∠A = ∠𝐷， 𝐵 = 𝐷𝐸 ∴△ABF≌△DEC， ∴BF＝CE（全等三角形对应边相等）， ∵BC＝EF， ∴四边形 BCEF 是平行四边形， ∴BC∥EF． 学科网（北京）股份有限公司 4. 【解答】证明：连接 CD． 在△ADC 和△BCD 中， A𝐷 = 𝐵C 𝐷C = 𝐷C， AC= 𝐵𝐷 ∴△ADC≌△BCD， ∴∠ACD＝∠BDC， ∴OD＝OC． 5. 【解答】证明：连接 AC、AD，在△ABC 和△AED 中， A𝐵 = A𝐸 ∠𝐵 = ∠𝐸 𝐵C = 𝐸𝐷 ∴△ABC≌△AED（SAS）． ∴AC＝AD． ∴△ACD 是等腰三角形． 又∵点 F 是 CD 的中点， ∴AF⊥CD． 6. 【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ACD 和△ABE 中， ∠A𝐷 C= ∠A𝐸𝐵 ∠CA𝐷 = ∠𝐵A𝐸， A𝐵 = AC ∴△ACD≌△ABE（AAS）， ∴AD＝AE； （2）证明：连接 OA， ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠AEB90°． 在 Rt△ADO 和 Rt△AEO 中， OA =OA ， A𝐷 =A 𝐸 ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）． ∴∠DAO＝∠EAO， ∴OA 平分∠DAE． 二、二次全等-解析 1. 【解答】证明：∵AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ODE＝∠OBF， ∵AE＝CF， ∴AD+AE＝BC+CF， 即 DE＝BF， 在△EOD 和△FOB 中， ∠𝐷O𝐸 = ∠𝐵O𝐹 ∠O𝐷𝐸 = ∠O𝐵𝐹， 𝐷𝐸 = 𝐵𝐹 ∴△EOD≌△FOB（AAS）． 2. 【解答】证明：∵BF＝CE， ∴BF+EF＝CE+EF， ∴BE＝CF， 在△ABE 和△DCF 中， A𝐵 = 𝐷C A𝐸 = 𝐷𝐹， 𝐵𝐸 =C𝐹 ∴△ABE≌△DCF（SSS）． ∴∠B＝∠C， 在△ABF 和△DCE 中， A𝐵 = 𝐷C ∠𝐵 = ∠C， 𝐵𝐹 = C𝐸 ∴△ABF≌△DCE（SAS）． ∴AF＝DE． 3. 【解答】（1）证明：连接 CD， ∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝BC， ∵BP＝AB， ∴BP＝BC， 在△BDP 和△BDC 中， 𝐵𝑃 = 𝐵C ∠𝐷𝐵𝑃 = ∠𝐷𝐵C， 𝐵𝐷 = 𝐵𝐷 ∴△BDP≌△BDC（SAS）； （2）解：∵△ABC 为等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°，在△ACD 和△BCD 中， AC= 𝐵C 𝐷C = 𝐷C， A𝐷 = 𝐵𝐷 ∴△ACD≌△BCD（SSS）， ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∵△BDP≌△BDC， ∴∠BPD＝∠BCD＝30°． 4. 【解答】证明：∵AF∥CE， ∴∠AFD＝∠CED， ∵D 是 AC 的中点， ∴AD＝CD， 在△ADF 和△CDE 中， ∠A𝐹𝐷 = ∠C𝐸𝐷 ∠A𝐷𝐹 = ∠C𝐷𝐸， 𝐷A = 𝐷C ∴△ADF≌△CDE（AAS）， ∴DF＝DE， 在△FDC 和△EDA 中， A𝐷 = C𝐷 ∠𝐹𝐷C = ∠𝐸𝐷A， 𝐹𝐷 = 𝐷𝐸 ∴△FDC≌△EDA（SAS）， ∴∠CFD＝∠DEA． ∴FC∥AE． 5. 【解答】证明：连接 AG， ∵∠ABC＝90°，DE⊥AC 于点 F， ∴∠ABC＝∠AFE． 在△ABC 和△AFE 中， ∠A𝐵C = ∠A𝐹𝐸 ∠𝐸A𝐹 = ∠CA𝐵， AC= A𝐸 ∴△ABC≌△AFE（AAS）， ∴AB＝AF． 在 Rt△ABG 和 Rt△AFG 中， 𝐺A = 𝐺A， 𝐵A = 𝐹A ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）． ∴BG＝FG． 6. 【解答】证明：（1）∵BC＝AC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠ADB＝∠BEA＝90°，在△ABD 和 BAE 中， ∠A𝐷𝐵 = ∠𝐵𝐸A ∠CA𝐵 = ∠C𝐵A， A𝐵 = A𝐵 ∴△ABD≌BAE（AAS）， ∴AD＝BE； （2）∵BD⊥AC，AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠BDC＝90°， ∵BC＝AC，AD＝BE， ∴CD＝CE， 在 Rt△COD 和 Rt△COE 中， OC= OC， C𝐷 = C𝐸 ∴Rt△COD≌Rt△COE（HL）， ∴∠OCD＝∠OCE， ∴CO 平分∠ACB． 7. 【解答】解：（1）∵CD 平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC， ∴DN＝DM， ∵∠DBM＝∠DAN，∠AND＝∠BMD，ND＝DM， ∴Rt△ADN≌Rt△BDM（AAS）； （2）∵DC＝DC，DN＝DM， ∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL） ∴CM＝CN， ∵Rt△ADN≌Rt△BDM， ∴BM＝AN， ∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝2， ∴，1+2CM＝2， ∴CM= 12． 8. 【解答】证明：连接 BD， ∵AB＝CD BE＝DF， ∴AB+BE＝CD+DF， 即 AE＝CF， A𝐵 = C𝐷 在△ABD 和△CDB 中 A𝐷 = 𝐵C ， 𝐵𝐷 = 𝐷𝐵 △ABD≌△CDB（SSS）， ∴∠A＝∠C， A𝐸 = 𝐸C 在△AED 和△CFB 中 ∠A = ∠C A𝐷 = 𝐵C ∴△AED≌△CFB（SAS）， ∴∠E＝∠F． 9. 【解答】（1）解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF； （2）证法一：连接 CE， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE． ∴∠ACE＝∠AEC（等边对角）． 又∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴∠ACB＝∠AED． ∴∠ACE﹣∠ACB＝∠AEC﹣∠AED．即∠BCE＝∠DEC． ∴CF＝EF． 证法二：∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD， ∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．即∠CAD＝∠EAB． 在△CAD 和△EAB 中， AC= A𝐸 ∠CA𝐷 = ∠𝐸A𝐵， A𝐷 = A𝐵 ∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE．又∵∠ADE＝∠ABC， ∴∠CDF=∠EBF． 在△CDF 和△EBF 中， ∠C𝐷𝐹 = ∠𝐸𝐵𝐹 ∠𝐷𝐹C = ∠𝐵𝐹𝐸， C𝐷 = 𝐸𝐵 ∴△CDF≌△EBF（AAS）． ∴CF＝EF． 证法三：连接 AF， ∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AB＝AD．又∵AF＝AF， ∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）． ∴BF=DF． 又∵BC＝DE， ∴BC﹣BF＝DE-DF． 即 CF＝EF． 10. 【解答】（1）证明：∵∠BGE＝∠BAG+∠ABG，∠BAC＝∠BAG+∠CAF， ∵∠BAC＝∠BGE， ∴∠BAG+∠ABG＝∠BAG+∠CAF， ∴∠ABG＝∠CAF， 又∵∠EFC＝∠CAF+∠ACF， ∴∠BAG+∠CAF＝∠CAF+∠ACF， ∴∠BAG＝∠ACF， 在△ABG 和△CAF 中， ∠A𝐵𝐺 = ∠AC𝐹 A𝐵 = AC ， ∠𝐵A𝐺 = ∠AC𝐹 ∴△ABG≌△CAF（ASA）， ∴AG＝CF； （2）证明：如图所示： 在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵CF⊥AC， ∴∠DCE＝∠FCE＝45°，∠F+∠CAF＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠CAF+∠ADB＝90°， ∴∠F＝∠ADB， 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠F， 在△CDE 和△CFE 中， ∠𝐷C𝐸 = ∠𝐹C𝐸 ∠C𝐷𝐸 = ∠𝐹 ， C𝐸 = 𝐸C ∴△CDE≌△CFE（AAS）， ∴DC＝FC， ∵∠BAC＝90°，CF⊥AC， ∴∠ACF＝∠BAD＝90°，在△ACF 和△BAD 中， ∠AC𝐹 = ∠𝐵A𝐷 = 90° AC=A 𝐵 ， ∠𝐹 = ∠A𝐷𝐵 ∴△ACF≌△BAD（ASA）， ∴AD＝FC， ∴AD＝DC． 三、倍长中线-解析 1. 【解答】证明：如图，延长 AD 到 F，使 DF＝AD，连接 BF， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD＝DC， 在△ADC 和△FDB 中， A𝐷 = 𝐷𝐹 ∠A𝐷C = ∠𝐹𝐷𝐵， C𝐷 = 𝐵𝐷 ∴△ADC≌△FDB（SAS）， ∴BF＝AC，∠CAD＝∠F， ∵BE＝AC， ∴BE＝BF， ∴∠F＝∠BED， ∴∠BED＝∠CAD． 2. 【解答】证明：作 AB 中点 F，连接 DF． ∵∠ADB＝∠BAD， ∴BD＝AB， 又∵CD＝AB， ∴CD＝BD，即 D 为 BC 中点， ∵F 是 AB 中点， ∴DF∥AC 且 DF＝AC， 又∵AB＝BD，E、F 分别为 BD、AB 中线， ∴DE＝AF= 1AB= 1BD， 2 2 ∵∠ADB＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠EDA， 在△ADF 与△ADE 中， A𝐷 = A𝐷 ∠𝐹A𝐷 = ∠𝐸𝐷A， 𝐷𝐸 = A𝐹 ∴△ADF≌△ADE（SAS）， ∴AE＝DF， ∴AC＝2DF＝2AE． 3. 【解答】（1）解：如图所示， （2） 证明：如图， ∵AD 为 BC 边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE 和△CDA 中， 𝐵𝐷 = C𝐷 ∠1 = ∠2 ， 𝐸𝐷 = A𝐷 ∴△BDE≌△CDA（SAS）． （3） 证明：如图， ∵△BDE≌△CDA， ∴BE＝AC， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， 在△ABE 中，AB+BE＞AE， ∴AB+AC＞2AD． （4） 解：在△ABE 中， AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 由（3）得 AE＝2AD，BE＝AC， ∵AC＝3，AB＝5， ∴5﹣3＜AE＜5+3， ∴2＜2AD＜8， ∴1＜AD＜4． 4. 【解答】证明：如图，过点 C 作 AB 的平行线交 EM 的延长线于 G，则∠6＝∠5，∠B ＝∠CMG，∠4＝∠6． ∵AT EM， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4；又∵AT 平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠6， ∴CE＝CG． 在△BDM 和△CGM 中， ∠5 = ∠6 ∠𝐵 = ∠MC𝐺， 𝐵M = CM ∴△EBM≌△GCM （AAS）， ∴BD＝CG． ∴BD＝CE． 5. 【解答】证明：如图，延长 ED 使得 DM＝DE，连接 FM，CM． ∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDM，DE＝DM， ∴△BDE≌△CDM（SAS）， ∴BE＝CM， ∵DE＝DM，DF⊥EM， ∴FE＝FM， ∵CM+CF＞FM， ∴BE+CF＞EF． 6. 【解答】证明：如图，延长 AD 到点 G，使得 AD＝DG，连接 BG． ∵AD 是 BC 边上的中线（已知）， ∴DC＝DB， 在△ADC 和△GDB 中， 𝐷A = 𝐷𝐺 ∠A𝐷C = ∠𝐺𝐷𝐵(对 顶 角 相 等) 𝐷 = 𝐷𝐵 ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC， ∴BE＝BG， ∴∠BED＝∠G， ∵∠BED＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE， ∴AF＝EF． 四、截长补短-解析 1. 【解答】证明：如图， 在 AB 上截取 AF＝AC，连接 EF，在△CAE 和△FAE 中， AC= A𝐹 ∠CA𝐸 = ∠𝐹A𝐸， 𝐸A = 𝐸A ∴△CAE≌△FAE（SAS），则∠CEA＝∠FEA， 又∠CEA+∠BED＝∠FEA+∠FEB＝90°， ∴∠FEB＝∠DEB， ∵BE 平分∠DBA， ∴∠DBE＝∠FBE， 在△DEB 和△FEB 中， ∠𝐷𝐸𝐵 = ∠𝐹𝐸𝐵 𝐸𝐵 = 𝐸𝐵 ， ∠𝐷𝐵𝐸 = ∠𝐹𝐵𝐸 ∴△DEB≌△FEB（ASA）， ∴BD＝BF， 又∵AF＝AC， ∴AB＝AF+FB＝AC+BD． 2. 【解答】证明：延长 CB 到 G，使 BG＝DF，连接 AG， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，AB∥CD，∠D＝∠ABC＝90°， ∴∠5＝∠BAF＝∠1+∠3，∠ABG＝180°﹣∠ABC＝90°， 在△ABG 和△ADF 中， 𝐵A = 𝐷A ∠A𝐵𝐺 = ∠A𝐷𝐹 = 90°， 𝐵𝐺 = 𝐷𝐹 ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠G＝∠5，∠1＝∠2＝∠4， ∴∠G＝∠5＝∠1+∠3＝∠4+∠3＝∠EAG， ∴AE＝GE＝BE+GB＝BE+DF． 3. 【解答】证明：在 AC 取一点 E 使 AB＝AE，在△ABD 和△AED 中， A𝐵 = AE ∠𝐵A𝐷 = ∠𝐸A𝐷， A𝐷 = A𝐷 ∴△ABD≌△AED， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， ∵∠AED 是△EDC 的外角， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AB+BD＝AE+EC＝AC． 4. 【解答】解：（1）①如图 1，在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD A𝐸 = AC 在△ADE 和△ADC 中， ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐷， 𝐷A = 𝐷A ∴△ADE≌△ADC， ∴DE＝DC，∠AED＝∠C， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠EBD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴BE＝DC， ∴AB＝AE+BE＝AC+CD； ②如图 2，在 AB 上截取 AE＝AC，连接 DE， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD 𝐸A = AC 在△ADE 和△ADC 中， ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐷， 𝐷A = 𝐷A ∴△ADE≌△ADC， ∴DE＝DC，∠AED＝∠ACB， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠EBD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴BE＝DC， ∴AB＝AE+BE＝AC+CD； （2） 如图 3，在 BA 的延长线 AF 上取一点 E，使得 AE＝AC，连接 DE A𝐸 =AC 在△ADE 和△ADC 中， ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐷， A𝐷 =A 𝐷 ∴△ADE≌△ADC， ∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠FED，又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FAD＝2∠B， 又∵∠FED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE， ∴BE＝CD， ∴AB＝CD﹣AC． 5. 【解答】证明：在 AE 上截取 AM＝AD，连接 CM， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， AC =AC 在△AMC 和△ADC 中 ∠1 = ∠2 ， A𝐷 = AM ∴△AMC≌△ADC（SAS）， ∴∠3＝∠D， ∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°， ∴∠4＝∠B， ∴CM＝CB， ∵CE⊥AB， ∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）， ∵AE＝AM+ME， ∴AE＝AD+BE． 五、一线三等角-解析 1. 【解答】解：如图，过点 D 作 DF⊥BC 于 F，过点 E 作 EG⊥AD，交 AD 的延长线于 G， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠B＝∠DFB＝∠BAD＝90°， ∴四边形 ABFD 是矩形， ∴BF＝AD， ∵AD＝3，BC＝6， ∴CF＝BC﹣AD＝6﹣3＝3， ∵DE⊥CD， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDF+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝90°， ∴∠CDF＝∠EDG， 在△CDF 和△EDG 中， ∠C𝐷𝐹 = ∠𝐸𝐷𝐺 ∠C𝐹𝐷 = ∠𝐺 = 90°， C𝐷 = 𝐷𝐸 ∴△CDF≌△EDG（AAS）， ∴EG＝CF＝3， ∴△ADE 的面积= 1AD•EG= 1 ×3×3= 9． 2 2 2 9 故答案为：． 2 二．解答题（共 7 小题） 2. 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线 m，CE⊥直线 m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， ∠A𝐵𝐷 = ∠CA𝐸 在△ADB 和△CEA 中， ∠𝐵𝐷A = ∠C𝐸A， 𝐵A =AC ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2） 解：结论 DE＝BD+CE 成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， ∠A𝐵𝐷 = ∠CA𝐸 在△ADB 和△CEA 中， ∠𝐵𝐷A = ∠C𝐸A， A𝐵 = AC ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3） 解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， ∠A𝐵𝐷 = ∠CA𝐸 在△ABD 和△CEA 中， ∠𝐵𝐷A = ∠C𝐸A， A𝐵 = AC ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC 的底边 BC 上的高为 h，则△ACF 的底边 CF 上的高为 h， ∴S ABC= 1BC•h＝12，S ACF= 1CF•h， △ 2 △ 2 ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD 与△CEF 的面积之和为 6． 3. 【解答】解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE 在△ACD 和△CBE 中，（ ∠A𝐷C = ∠𝐵𝐸C ∠AC𝐷 = ∠C𝐵𝐸） AC= 𝐵C ∴△ACD≌△CBE，（ AAS） ∴CD＝BE． ②结论：AD＝BE+DE． 理由：∵△ACD≌△CBE， ∴AD＝CE ∵CE＝CD+DE＝BE+DE， ∴AD＝BE+DE． ∠A𝐷C = ∠𝐵𝐸C 故答案为：∠CBE， ∠AC𝐷 = ∠C𝐵𝐸，AAS，AD＝CE． AC= 𝐵C （2） 不成立，结论：DE﹣BE＝AD． 理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE 在△ACD 和△CBE 中， ∠A𝐷C = ∠𝐵𝐸C ∠AC𝐷 = ∠C𝐵𝐸， AC= 𝐵C ∴△ACD≌△CBE，（ AAS） ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE﹣BE＝DE﹣DC＝CE＝AD． 4. 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠EBA+∠DBC＝90°， ∵CD⊥BD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DCB+∠DBC＝90°， ∴∠DCB＝∠EBA， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BDC＝∠AEB， 在△ABE 和△BCD 中， ∠A𝐸𝐵 = ∠𝐵𝐷C ∠𝐸𝐵A = ∠𝐷C𝐵， 𝐵A = 𝐵C ∴△ABE≌△BCD（AAS）， ∴AE＝DE，BE＝CD， ∵CD＝4，DE＝6， ∴BE＝CD＝4， ∴BD＝10， ∴AE＝BD＝10， ∴四边形 ABCD 的面积＝S△ABD+S△BDC = 1 × 10 × 10 + 1 × 4 × 10 2 2 ＝70． 5. 【解答】解：（1）①结论：CD＝BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 在△ACD 和△CBE 中， ∠A𝐷 C= ∠𝐵𝐸C ∠AC𝐷 = ∠𝐵 ， AC= C𝐵 ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CD＝BE． ②结论：AD＝BE+DE． 理由：∵△ACD≌△CBE， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵CE＝CD+DE＝BE+DE， ∴AD＝BE+DE． （2） ②中的结论不成立．结论：DE＝AD+BE．理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM， ∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 在△ACD 和△CBE 中， ∠A𝐷C = ∠𝐵𝐸C ∠AC𝐷 = ∠𝐵 ， AC= C𝐵 ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∵DE＝CD+CE＝BE+AD， ∴DE＝AD+BE． 六、手拉手模型-解析 1. 【解答】（1）证明：∵△ABC 和△DEC 是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠4＝∠5＝60°， ∴∠4+∠6＝∠5+∠6， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE 和△ACD 中， 𝐵C =AC ∠𝐵C𝐸 = ∠AC𝐷， C𝐸 = C𝐷 ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD； （2）解：∵由（1）知，△BCE≌△ACD，则∠1＝∠2． ∵∠1+∠3＝∠4＝60°， ∴∠2+∠3＝60° ∴∠AFG＝60°； （3） 证明：∵∠4＝∠5＝60° ∴∠6＝60° ∴∠6＝∠4， 在△ACH 与△BCG 中， ∠6 = ∠4 AC= 𝐵C， ∠2 = ∠1 ∴△ACH≌△BCG（ASA）， ∴CG＝CH（也可以通过证明△CGE≌△CHD）． 2. 【解答】解：（1）∵等边△ABC 和等边△CDE， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD 与△BCE 中， AC= 𝐵C ∠AC𝐷 = ∠𝐵C𝐸， C𝐷 = C𝐸 ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC， 同理证明△ACP≌△BCQ；△DCP≌△ECQ； 进而得出∠ARB＝60°；△CPQ 是等边三角形；所以正确的有①②③④⑤； 故答案为：①②③④⑤； （2）当等边△CED 绕 C 点旋转一定角度后 （1）中结论①、④仍然成立，证明如下： ∵△ABC 和△CDE 是等边三角形 ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD 和△BCE 中， CA= C𝐵 ∠AC𝐷 = ∠𝐵C𝐸， 𝐷C = C𝐸 ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠BCE＝∠CAD，又∵∠APC＝∠BPR， ∴∠ACB＝∠ARB， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ARB＝60°． 3. 【解答】解：（1）∠BAD＝∠CAE；理由如下： ∵△ABC 和△ADE 是等边三角形， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE； （2）∠DCE＝60°，不发生变化；理由如下：如图②， ∵△ABC 是等边三角形，△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE． ∴∠ACD＝120°，∠BAC+∠DAC＝∠DAC+∠DAE， ∴∠DAB＝∠CAE．在△ABD 和△ACE 中 𝐵A = A𝐸 ∠𝐷A𝐵 = ∠CA𝐸， 𝐵A = AC ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD＝60°． ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝120°﹣60°＝60°． 4. 【解答】解：（1）∵当点 D 在线段 BC 上时，∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， 𝐵A = AC ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐸， A𝐷 = A𝐸 ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， 在△ABC 中，AB＝AC，若∠BAC＝90°，则△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， 故答案为：90； （2）在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ABC＝∠ACB= 1（180°﹣∠BAC）= 90° − 2 2， 当点 D 在直线 BC 上移动时，有以下三种情况： ①当点 D 在线段 BC 上时，如图 2①所示： 同（1）证明：△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE= 90° − 2， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝180°﹣α＝β， ∴α+β＝180°； ②当点 C 在 BC 的延长线上时，如图 2②所示： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， 𝐵A = AC ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐸， 𝐷A = 𝐸A ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE= 90° − 2， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝180°﹣α＝β， ∴α+β＝180°； ③当点 D 在 CB 的延长线上时，如图 2③所示： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC+∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD 和△CAE 中， A𝐵 = AC ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐸， A𝐷 = A𝐸 ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD 是△ABC 的外角， ∴∠ABD＝∠BAC+∠ACB＝α+∠ACB， 又∵∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝β+∠ACB， ∴α+∠ACB＝β+∠ACB， ∴α＝β， 综上所述：α，β之间有的数量关系是α+β＝180°或α＝β． 5. 【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形 ∴AD＝AE，AB＝AC， 又∵∠EAC＝90°+∠CAD，∠DAB＝90°+∠CAD， ∴∠DAB＝∠EAC， ∵在△ADB 和△AEC 中 𝐵A = AC ∠𝐵A𝐷 = ∠CA𝐸 𝐷A = 𝐸A ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD＝CE． 6. 【解答】解：（1）∵ABCD 和 DEFG 是正方形， ∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， 在△ADG 与△CDE 中， A𝐷 =C 𝐷 ∠A𝐷𝐺 = ∠C𝐷𝐸， 𝐷𝐺 = 𝐷𝐸 ∴△ADG≌△CDE（SAS）， （2）∵△ADG≌△CDE， ∴AG＝CE； （3） CE 与 DG 交点为 O， ∵△ADG≌△CDE， ∴∠DEC＝∠AGD， ∵∠DEC+∠DOE＝90°， ∴∠AGD+∠DOE＝90°＝∠AGD+∠GOH， ∴∠GHE＝90°； （4） 过点 D 作 MD⊥AG，DN⊥CE， ∵△ADG≌△CDE， ∴S△DCE＝S△ADG， 1 1 ∴ × 𝐸 × 𝐷𝑁 = 2 2 × 𝐺 × 𝐷， ∴DM＝DN，且 MD⊥AG，DN⊥CE， ∴DH 平分∠AHE， 由勾股定理可得：AC2+GE2＝AE2+CG2． 七、半角模型-解析 1. 【解答】解：（1）如图①中，延长 EB 到 G，使 BG＝DF，连接 AG． ∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴AG＝AF，∠1＝∠2． ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF= 12∠ BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD． 故答案为：EF＝BE+FD． （2）（1）中的结论 EF＝BE+FD 仍然成立． 证明：如图②中，延长 CB 至 M，使 BM＝DF，连接 AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM 与△ADF 中， A𝐵 =A 𝐷 ∠1 = ∠𝐷 ， 𝐵M = 𝐷𝐹 ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF= 1∠BAD，2 ∴∠2+∠4= 1∠BAD＝∠EAF．2 ∴∠3+∠4＝∠EAF，即∠MAE＝∠EAF．在△AME 与△AFE 中， AM =A 𝐹 ∠MA𝐸 = ∠𝐸A𝐹， 𝐸A = 𝐸A ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME，即 EF＝BE+BM， ∴EF＝BE+DF． （3）结论 EF＝BE+FD 不成立，应当是 EF＝BE﹣FD． 证明：如图③中，在 BE 上截取 BG，使 BG＝DF，连接 AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG 与△ADF 中， 𝐵A = A𝐷 ∠A𝐵𝐺 = ∠A𝐷𝐹， 𝐵𝐺 = 𝐷𝐹 ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF= 1∠BAD．2 ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 2. 【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°， ∴把△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90°可得到△BCG，如图， ∴BG＝BE，CG＝AE，∠GBE＝90°，∠BAE＝∠C＝90°， ∴点 G 在 DC 的延长线上， ∵∠EBF＝45°， ∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°， ∴∠FBG＝∠FBE， 在△FBG 和△EBF 中， 𝐵𝐹 = 𝐵𝐹 ∠𝐹𝐵𝐺 = ∠𝐹𝐵𝐸， 𝐵𝐺 = 𝐵𝐸 ∴△FBG≌△FBE（SAS）， ∴FG＝EF， 而 FG＝FC+CG＝CF+AE， ∴EF＝CF+AE， ∴△DEF 的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4． 3. 【解答】（1）证明：把△ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ADG，如图 1 所示：则△ADG≌△ABE， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE， 又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°， ∴∠GAF＝∠FAE， A𝐺 = A𝐸 在△GAF 和△FAE 中， ∠𝐺A𝐹 = ∠𝐹A𝐸 ， 𝐹A =A 𝐹 ∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴GF＝EF． 又∵DG＝BE， ∴GF＝BE+DF， ∴BE+DF＝EF． （2） 解：∠BAD＝2∠EAF．理由如下： 如图 2 所示，延长 CB 至 M，使 BM＝DF，连接 AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°， ∴∠D＝∠ABM， A𝐵 =A 𝐷 在△ABM 和△ADF 中， ∠A𝐵M = ∠𝐷 ， 𝐵M = 𝐷𝐹 ∴△ABM≌△ADF（SAS） ∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF， ∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF， 𝐸A = 𝐸A 在△FAE 和△MAE 中， ∠𝐹A𝐸 = ∠MA𝐸 ， A𝐹 = AM ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即 EF＝BE+DF． （3） 解：BC+CD＝2CE；理由如下： ∵AC 平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF， 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中， 𝐵A = A𝐷， A𝐸 =A 𝐹 ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， 同理：Rt△ACE≌Rt△ACF， ∴CE＝CF， ∴BC+CD＝BE+CE+CF﹣DF＝2CE； 故答案为：BC+CD＝2CE． 4. 【解答】解：（1）∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A＝∠C＝90°， 在△BAE 和△BCF 中， A𝐵 = 𝐵C ∠A = ∠C， A𝐸 = C𝐹 ∴△BAE≌△BCF（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF， ∵∠MBN＝60°， ∴△BEF 为等边三角形， ∴BE＝BF＝EF， ∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°， ∴∠𝐵𝐸 = ∠𝐵𝐹 = 120°−60° = 30°，2 ∴𝐸 = 1 𝐵𝐸，2 同理得：𝐹 = 1 𝐵𝐹，2 ∴AE+CF＝EF；故答案为：EF； （2） 上述结论成立； 证明：如图 2，延长 DC 至点 K，使 CK＝AE，连接 BK， 在△BAE 与△BCK 中， A𝐵 = 𝐵C ∠𝐵A𝐸 = ∠𝐵CK， A𝐸 = CK ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠CBK， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠FBK＝∠FBE＝60°，在△KBF 与△EBF 中， 𝐵K = 𝐵𝐸 ∠K𝐵𝐹 = ∠𝐸𝐵𝐹， 𝐵𝐸 = 𝐵K ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF， 故上述结论成立； （3） 延长 DC 至 G，使 CG＝AE，如图 3， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG， ∴∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， 在△GBF 和△EBF 中， 𝐵𝐺 = 𝐵𝐸 ∠𝐺𝐵𝐹 = ∠𝐸𝐵𝐹， 𝐵𝐹 = 𝐵𝐹 ∴△GBF≌△EBF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴EF＝GF＝CG﹣CF＝AE﹣CF＝5﹣1＝4．故答案为：4． 八、全等综合-解析 1. 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 如图，当点 E 在射线 CM 上时，D 在 CB 上，BD＝CE， ∵CE＝2t，BD＝10﹣3t， ∴10﹣3t＝2t， ∴t＝2． 如图，当点 E 在 CM 的反向延长线上时，BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵CE＝2t，BD＝3t﹣10， ∴2t＝3t﹣10， ∴t＝10． 综上所述，当 t＝2 或 10 时，△ABD≌△ACE，故选：C． 2. 【解答】解：过点 A 作 AF⊥AB，使 AF＝AB＝3，连接 DF，CF，过点 F 作 FH⊥AF，交 CB 的延长线于 B，如图所示： ∵∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠ABC＝90°，在△ADF 和△BEA 中， 𝐹A = 𝐵A ， ∠𝐹A𝐷 = ∠A𝐵C = 90°， A𝐷 = 𝐵𝐸 ∴△ADF≌△BEA（SAS）， ∴FD＝AE， ∴AE+CD＝FD+CD， 根据“两点之间线段最短”得：FD+CD≥CF， ∴FD+CD 的最小值为线段 CF 的长，即 AE+CD 的最小值为线段 CF 的长， ∵AF⊥AB，FH⊥CB，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠ABH＝∠H＝90°， ∴四边形 ABHF 为矩形， ∴BH＝AF＝AB＝3，FH＝AB＝3， ∴CH＝BC+BH＝3+4＝7， 在 Rt△CFH 中，由勾股定理得：CF=CH2 + 𝐹H2 = 58， ∴AE+CD 的最小值为 58． 3. 【解答】解：如图，在 AC 下方作 CF⊥AC，且使得 AC＝CF＝6， 则∠BAC＝∠DCF＝90°，AB∥CF，又∵AE＝CD， ∴△ACE≌△CFD（SAS）， 则 S△AEC＝S△DCF， ∴CE＝FD， 则 CE+BD＝FD+BD≥BF， 即当点 D 在 BF 上时，CE+BD 取得最小值， 此时，△𝐵𝐷 + △𝐸 = △𝐵𝐷 + △𝐷𝐹 = △𝐵𝐹 =C𝐹 ⋅ AC/2 = 6 × 6/2 = 18， 故答案为：18． 4. 【解答】解：如图，过点 C 作 CG∥AB，使 CG＝AC，连接 GM、BG， ∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°， ∴AC=𝐵2 + 𝐵2 ∴CG＝AC＝5， ∵CG∥AB， =5， ∴∠GCB＝∠ABC＝90°，32 + 52 ∴BG=𝐵2 + 𝐺2 ∵CG∥AB， = = 34， ∴∠GCM＝∠BAC， ∵CM＝AN，CG＝AC， ∴△GCM≌△CAN（SAS）， ∴GM＝CN， ∴BM+CN＝BM+GM≥BG， ∴当点 G、M、B 三点共线时，BM+CN 的值最小，最小值为 BG 的值， ∴BM+CN 的最小值为 34． 5. 【解答】解：作 FA⊥AC，使 FA＝BC，且点 F 与点 E 在直线 AB 的异侧，连接 FD， ∵∠CBA＝90°，BC＝3，AB＝4， ∴AC= =𝐵2 + 𝐵2 ∵∠CAF＝90°， ∴CF = =5，FA＝BC＝3， = 34，∠FAD＝∠BCE＝90°﹣∠BAC，32 + 42 32 + 52 在△FAD 和△BCE 中， 𝐹A = 𝐵C ∠𝐹A𝐷 = ∠𝐵C𝐸， A𝐷 = C𝐸 ∴△FAD≌△BCE（SAS）， ∴FD＝BE， ∵CD+FD≥CF， ∴CD+BE≥ 34， ∴CD+BE 的最小值为 34，故答案为： 34． 6. 【解答】解：如图，作 CT∥AB，且 CT＝AC，连接 ET，过点 T 作 TH⊥BC 交 BC 的延长线于点 H，设 BT 交 AC 于点 E′． ∵AB∥CT， ∴∠A＝∠ECT，∠ABC＝∠TCH， ∵AC＝4，BC＝2 5.∠ACB＝90°，42 + (2 5)2 ∴AB=AC2 + 𝐵C2 = =6， ∵∠ACB＝∠H＝90°， ∴△ACB∽△THC， 𝐵 ∴ = 𝐵 = ， 4 62 5 ∴ = = 4， ∴TH= 8，CH= 4 5， 3 3 ∴BH＝BC+CH= 10 5，3 ∵CE′∥TH， 𝐸′ ∴ = 𝐵 ， 𝐸′ ∴ 8 3 𝐵 2 5 = 10 5 ， 3 ∴CE′= 85， ∴AE′＝AC﹣CE′＝4− 8 = 12， 5 5 在△ACD 和△CTE 中， 𝐷 = 𝐸 ∠ = ∠𝐸， = ∴△ACD≌△CTE（SAS）， ∴CD＝ET， ∴CD+BE＝BE+ET≥BT， ∴当点 E 与点 E′重合时，CD+BE 的值最小，此时 AE＝AE′= 12．5 12 故答案为： 5 ． 7. 【解答】解：①∵AB＝AC，P 是 BC 的中点，∠BAC＝90°， ∴AP⊥BC，AP= 1BC＝PC，2 ∴∠CPF+∠APF＝90°，∠BAP＝∠C＝45°， ∵∠EPF＝90°， ∴∠APE+∠APF＝90°， ∴∠APE＝∠CPF， 在△APE 和△CPF 中， ∠A𝑃𝐸 = ∠C𝑃𝐹 ∵ 𝑃A = 𝑃C ， ∠𝐸A𝑃 = ∠C ∴△APE≌△CPF（ASA）， ∴AE＝CF，故①正确； ②∵△APE≌△CPF ∴EP＝FP ∴△EFP 是等腰直角三角形，故②正确； ③∵△APE≌△CPF， ∴S△APE＝S△CPF， ∴S AEPF＝S APF+S APE＝S APF+S CPF＝S APC= 1S ABC， 四边形 △ △ △ △ 故③错误； △ 2 △ ④由等腰直角三角形的性质，EF= 2PE， 所以，EF 随着点 E 的变化而变化，只有当点 E 为 AB 的中点时，EF= 2PE＝AP，在其它位置时 EF≠AP， 故④错误； 综上所述，正确的结论有：①②故答案为①② 8. 【解答】解：作 FG⊥CD，交 CD 的延长线于点 G， ∵AF⊥AE，∠ACB＝90°， ∴∠FAE＝∠G＝∠ACB＝∠BCD＝90°， ∴∠AFG＝∠EAC＝90°﹣∠FAG，在△AFG 和△EAC 中， ∠A𝐹𝐺 = ∠𝐸AC ∠𝐺 = ∠AC𝐸 ， 𝐹 A= 𝐸A ∴△AFG≌△EAC（AAS）， ∴FG＝AC，AG＝EC， ∵AC＝BC＝5，BE＝3， ∴AG＝EC＝BC+BE＝5+3＝8，FG＝BC， ∴CG＝AG﹣AC＝8﹣5＝3，在△FDG 和△BDC 中， ∠𝐹𝐷𝐺 = ∠𝐵𝐷C ∠𝐺 = ∠𝐵C𝐷 ， 𝐹𝐺 = 𝐵C ∴△FDG≌△BDC（AAS）， ∴GD＝CD= 1CG= 1 ×3= 3， 2 2 2 ∴AD＝AC+CD＝5+ 3 = 13， 2 2 13 故答案为： 2 ． 9. 【解答】解：∵AD⊥AE 于点 D，CE⊥AE 于点 E， ∴BD∥CE，∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠OBF＝∠OCE， ∵等腰直角△ABC 中，O 是斜边 BC 的中点， ∴AB＝CA，∠BAC＝90°，OB＝OC， ∴∠ABD＝∠CAE＝90°﹣∠BAE，在△BDA 和△AEC 中， ∠A𝐵𝐷 = ∠CA𝐸 ∠A𝐷𝐵 = ∠C𝐸A， 𝐵A = AC ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴S△BDA＝S△AEC， 在△BOF 和△COE 中， ∠O𝐵𝐹 = ∠OC𝐸 O𝐵 =OC ， ∠𝐵O𝐹 = ∠CO𝐸 ∴△BOF≌△COE（ASA）， ∴S△BOF＝S△COE， ∵S△ABC＝S1，S△DEF＝S2，且 S1﹣S2＝12， ∴S△ABC﹣S△DEF＝12， ∴S△BDA+S△BOF+S 四边形 POFD+S△APC﹣（S 四边形 POFD+S△POE）＝12， ∴S△AEC+S△COE﹣S△POE+S△APC＝12， ∴S△AEC+S△AEC＝12， ∴S△AEC＝6，故答案为：6． 10. 【解答】解：①过点 P 作 PD⊥AC 于 D， ∵PB 平分∠ABC，PA 平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点 P 在∠ACF 的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°，在 Rt△PAM 和 Rt△PAD 中， 𝑃 M= 𝑃𝐷， 𝑃 A= 𝑃A ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA 平分∠CAE，BP 平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM= 1∠ABC+∠APB，2 ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知 Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，故答案为：①②③④． 11. 【解答】证明：（1）如图 1，过 F 点作 FG⊥AC 于点 G， ∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°， ∴∠CAE＝∠AFG， 在△AGF 和△ECA 中， ∠A𝐺𝐹 = ∠𝐸CA ∠𝐺𝐹A = ∠CA𝐸， A𝐹 = 𝐸A ∴△AGF≌△ECA（AAS）， ∴AG＝EC，FG＝AC， ∵AC＝BC， ∴BC＝FG， 又∵∠FGD＝∠DCB＝90°，∠FDG＝∠CDB， ∴△FGD≌△BCD（AAS）， ∴DF＝BD， 即 D 为 BF 的中点； （2） 证明：∵△FGD≌△BCD， ∴DC＝GD， ∴CG＝2CD， ∵AG＝CE，AC＝BC， ∴CG＝BE， ∴BE＝2CD； （3） 解：如图 2，过 F 点作 FG⊥AC 于点 G， 𝐵𝐸 2 ∵𝐸C = 3， 𝐸C 3 ∴ = ， 𝐵C 5 ∵AC＝CB， 𝐸C ∴ AC 3 = 5， 由（1），（2）可知△AGF≌△ECA，△FGD≌△BCD， ∴CE＝AG，CD＝DG， A𝐺 3 ∴ AC= 5， C𝐺 2 = ， 𝐺A 3 𝐷C 1 ∴𝐺A = 3， 𝐷C 1 = ． 𝐷A 4 𝐷A ∴𝐷 C= 4． $