20.2勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理及其应用，涵盖逆命题、逆定理概念，直角三角形判断方法及勾股数等核心知识点。课堂通过四组数据让学生动手画图测量，观察直角三角形三边关系，从勾股定理自然过渡到逆定理，搭建猜想验证的学习支架。 其亮点是以活动探究驱动学习，通过画三角形、测量角度培养数学眼光中的几何直观，通过构造全等三角形证明逆定理发展数学思维中的推理能力，结合四边形面积计算、蚂蚁最短路径等实例强化数学语言的模型意识。小结明确判断步骤，助力学生构建结构化知识，既提升学生探究与应用能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

20.2勾股定理的逆定理及其应用 1.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 2.会用勾股定理的逆定理判断直角三角形，会应用勾股定理及其 逆定理解决问题 任务一：理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系 活动1：下面有四组数分别是一个三角形的三边长a， b， c: ①4、7、9 ; ②5、12、13； ③7、24、25; 8、15、17. (1)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，看看它们是否 都是直角三角形. （2）观察确定为直角三角形的每组数据，找出它们的三边在数量关系上 有什么相同点，据此写出你的猜想. ④ 3 4 5 这个三角形三边有什么关系吗？ 32 + 42 = 52 画一画 (1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角形： ① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5. (2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数. 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 (3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想. 这些三角形是直角三角形！ 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 猜想 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 20，BC = 15，CD = 7，AD = 24，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积. 解：如图，连接 AC. ∵∠B = 90°，AB = 20，BC = 15， ∴AC2 = AB2 + BC2 = 202 + 152 =625. ∵AD2 + CD2 = 242 + 72 =625， ∴AC2 = AD2 + CD2， ∴△ADC 是直角三角形，且∠D 是直角. ∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ADC = AB·BC + AD·CD = ×20×15 + ×24×7 = 234. A B C D 转化思想 练习 1. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段 组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形. ∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2， 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 证明：作Rt△A′B′C′ 使∠C′=90°，A′C′=AC=b，B′C′=BC=a， 由勾股定理可得：A′B′²=A′C′²+B′C′²=b²+a² ∵a²+b²=c² ∴A′B′²=c² ∴A′B′=AB=c 在△ABC和△A′B′C′中 ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)， ∴∠C= ∠C′=90° ∴△ABC是直角三角形. 归纳总结 题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理. 例3: 如果圆柱换成如图的棱长为10cm 的正方体盒子, 蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B 答: 蚂蚁沿着表面爬行的最短路线是 cm. 10 10 10 B C A 解: 展开图如图 , 在Rt△ABC中, ∵AC＝20 , BC＝10, ∴AB＝ A B 10 利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形的方法如下： 1.排序：把三条线段按由小到大排列; 2.计算：看较小两条线段边的平方和是否等于最大线段的平方; 3.结论：判断能否构成直角三角形.（最长边所对应的角为直角） 活动小结 知识点拨：像3，4，5这样能够成为直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数． 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形有 ，其中a，b，c 是勾股数的有 .（填序号） ①a=6，b=8，c=10 ； ②a＝1.5，b＝2，c＝2.5 . 练一练 ①② ① 知识梳理 能够成为直角三角形三条边长的三个 ，称为勾股数. 如：3，4，5；7，24，25. 正整数 3. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段 组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形. ∵ a2 = c2-b2，∴ a2 + b2 = c2， 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 4. 说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，内错角相等； （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； 其逆命题为“内错角相等，两直线平行”；这个命题成立. 其逆命题为“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”；这个命题不成立. 如 |-3| = |3|，但 -3 ≠ 3. 归纳总结 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 真命题 真命题 互逆命题 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆定理 例题练习 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a15，b8，c17； (2) a13，b14，c15. 分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方. (2)∵132142169196365，152225 ∴132142152 ∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 解：(1)∵1528222564289，172289 ∴15282172 ∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点, 连接对称点与另一点的线段就是最短路径长, 以连接对称点与另一个点的线段为斜边, 构造出直角三角形, 再运用勾股定理求最短路径. 归纳 例5. 如图, 圆柱形玻璃杯高为12cm, 底面周长为18cm, 在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处, 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 。 将军饮马问题 已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的 正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边 所对的角是直角？请说明理由. 课堂练习 解：∵AB ²+BC ²=(n²-1)²+(2n)² =n4-2n²+1+4n² =n4+2n²+1 =(n²+1)² =AC ² ∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角 $