20.2 勾股定理的逆定理及其应用 课件 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 数学　八年级下册 勾股定理的逆定理及其应用(1) 数学　八年级下册 勾股定理的逆定理 1.如图, 已知△ABC. 勾股定理：若∠C＝90°, 则a2＋b2＝c2. 提出问题：若a2＋b2＝c2, 则∠C＝90°吗？ 解：若a2＋b2＝c2, 则∠C＝90°. (证明过程见本课第2题) 数学　八年级下册 2.(新教材P34观察改编)如图1, 在△ABC中, 已知a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°. 证明：如图2, 作∠C′＝90°, 截取B′C′＝a, A′C′＝b, 则A′B′＝ ＝ ． 由“SSS”可证△ABC≌△A′B′C′, 则∠C＝∠C′＝90°. c 数学　八年级下册 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两条边长的平方和等于第三边长的平方, 那么这个三角形是直角三角形． 几何语言：如图, ∵a2＋b2＝c2, ∴△ABC为 ． 直角三角形 数学　八年级下册 3. (新教材P35例1改编)如图, 在△ABC中, 已知AC＝5, BC＝12, AB＝13. 求证：△ABC是直角三角形． 证明：∵AB2＝132＝169,AC2＝52＝25, BC2＝122＝144, ∴AB2＝AC2＋BC2. ∴△ABC是直角三角形． 数学　八年级下册 4.(2025·增城区期末)如图, 在△ABC中, BC＝6, AC＝8, AB ＝10.求证：∠ACB＝90°. 证明：∵BC＝6, AC＝8,AB＝10, ∴BC2＋AC2＝AB2. ∴∠ACB＝90°. 数学　八年级下册 5.判断以如下的a, b, c为边长的三角形是否为直角三角形, 是的打“√”, 不是的打“×”． (1)a＝3, b＝4, c＝5 ( ) (2)a＝1, b＝1, c＝ ( ) (3)a＝2, b＝3, c＝4 ( ) (4)a＝ , b＝3, c＝ ( ) (5)a∶b∶c＝1∶2∶ ( ) √ √ × √ √ 数学　八年级下册 勾股定理及其逆定理综合 6. (新教材P43 T5改编)如图, 在边长为1的正方形网格上 有一个△ABC, 它的各个顶点都在格点上． (1)△ABC是直角三角形吗？为什么？ (2)求△ABC的周长与面积． 数学　八年级下册 解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下： BC2＝22＋62＝40, AC2＝42＋42＝32, AB2＝22＋22＝8, ∴BC2＝AC2＋AB2. ∴△ABC是直角三角形． 数学　八年级下册 (2)由(1)得AB＝ ＝2 , AC＝ ＝4 , BC＝ ＝2 , ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝6 ＋2 , 面积为 AB·AC＝8. 数学　八年级下册 7.(广东中考改编)如图, 每个小正方形的边长为1, A, B, C是 小正方形的顶点． (1)求AB和BC的长； (2)求∠ABC的度数． 解：(1)AB＝ ＝ , BC＝ ＝ . 数学　八年级下册 (2)如图, 连接AC. AC＝ ＝ ＝BC. ∵AC2＋BC2＝AB2. ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC＝45°. 数学　八年级下册 8.(2025·花都区期末)已知△ABC的三边长分别为a, b, c, 则 下列不能判定△ABC为直角三角形的是 ( ) A．a＝3, b＝4, c＝5 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．a＝1, b＝ , c＝ D．a＝5, b＝6, c＝7 D 数学　八年级下册 9.若△ABC的三边长分别为a, b, c, 且满足(c2－b2)(c2＋b2－ a2)＝0, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 D 数学　八年级下册 10.高师傅有5根长度(单位：dm)分别为a＝6, b＝8, c＝10, d ＝24, e＝26的钢条, 准备选3根焊接一个直角三角形钢架. 请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合. 数学　八年级下册 解：a2＝62＝36, b2＝82＝64, c2＝102＝100, d2＝242＝576, e2＝262＝676. ∵a2＋b2＝100＝c2, c2＋d2＝676＝e2, ∴长度分别为a, b, c或c, d, e的3根钢条可以构成直角三角形, 即高师傅可选长度分别为a, b, c或c, d, e的3根钢条进行焊接. 数学　八年级下册 11.(新教材P38 T5)如图, 在正方形ABCD中, E是BC的中点, F是CD上的一点, 且CF＝ CD.求证：∠AEF＝90°. 证明：设正方形ABCD的边长为4a, 则BE＝CE＝2a, CF＝a, DF＝3a. 在Rt△ABE中,AE2＝AB2＋BE2 ＝16a2＋4a2＝20a2. 数学　八年级下册 在Rt△ECF中, EF2＝EC2＋CF2＝4a2＋a2＝5a2. 在Rt△ADF中, AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋9a2＝25a2. ∴AE2＋EF2＝AF2. ∴∠AEF＝90°. 数学　八年级下册 12.(新教材P36 T2)如图, 以△ABC的三边为直径, 分别作三 个半圆, 三个半圆的面积分别为S1, S2, S3.若S1＋S2＝S3, 判断△ABC是不是直角三角形, 并说明理由. 解：△ABC是直角三角形. 理由如下：依题意, 得 S1＝ π ＝ πAB2, 数学　八年级下册 S2＝ π ＝ πBC2, S3＝ π ＝ πAC2, ∵S1＋S2＝S3, ∴ πAB2＋ πBC2＝ πAC2. ∴AB2＋BC2＝AC2. 由勾股定理的逆定理, 得△ABC是直角三角形. 数学　八年级下册 13.【中考创新考法·新定义】定义：如图, 点M, N把线段 AB分割成AM, MN, NB三部分. 若以AM, MN, NB为边 的三角形是一个直角三角形, 则称M, N是线段AB的勾 股分割点. (1)若AM＝1.5, MN＝2.5, NB＝2, 则M, N是线段AB的勾 股分割点吗？请说明理由. (2)已知M, N是线段AB的勾股分割点, 且AM为直角边. 若AB＝24, AM＝8, 求NB的长. 数学　八年级下册 解：(1)是. 理由如下： ∵AM2＋NB2＝1.52＋22＝6.25, MN2＝2.52＝6.25, ∴AM2＋NB2＝MN2. ∴以AM, MN, NB为边的三角形是一个直角三角形. ∴M, N是线段AB的勾股分割点. 数学　八年级下册 (2)设NB＝x, 则MN＝24－AM－NB＝16－x. ①当MN为斜边时, 依题意, 得MN2＝AM2＋NB2, 即(16－x)2＝64＋x2, 解得x＝6； ②当NB为斜边时, 依题意, 得NB2＝AM2＋MN2, 即x2＝64＋(16－x)2, 解得x＝10. 综上所述, NB的长为6或10. 数学　八年级下册 勾股定理的逆定理及其应用(2) 数学　八年级下册 勾股定理逆定理的应用 1. (新教材P37 T3改编)如图, AB＝4, BD＝12, CD＝13, AC＝3, AB⊥AC. (1)求证：BC⊥BD； (2)求四边形ABDC的面积. 数学　八年级下册 (1)证明：∵AB⊥AC, AB＝4, AC＝3, ∴BC2＝AB2＋AC2＝25. ∴BC＝5. 又∵BD2＝122＝144, CD2＝132＝169, ∴CD2＝BC2＋BD2. ∴∠CBD＝90°, 即BC⊥BD. 数学　八年级下册 (2)解：S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD ＝ ×4×3＋ ×5×12 ＝6＋30 ＝36. 数学　八年级下册 2.(新教材P37例3改编)如图, 在四边形ABCD中, AB⊥BC, AB＝1, BC＝2, CD＝2, AD＝3, 求四边形ABCD的面积. 解：如图, 连接AC. 由勾股定理, 得 AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5. ∴AC＝ . 数学　八年级下册 又∵AD2＝32＝9, CD2＝22＝4, ∴AD2＝AC2＋CD2. ∴∠ACD＝90°, 即AC⊥CD. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝ ×1×2＋ × ×2 ＝1＋ . 数学　八年级下册 3. (新教材P37 T1)A, B, C三地的两两距离如图所示, A地 在B地的正东方向, C地在B地的什么方向？ 解：∵AC2＝132＝169, AB2＝122＝144,BC2＝52＝25, ∴AC2＝AB2＋BC2. ∴∠ABC＝90°. ∴C地在B地的正北方向. 数学　八年级下册 4.(新教材P36例2)如图, 港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口, 各自沿一固定 方向航行, “远航”号每小时航行16 n mile, “海天”号每小 时航行12 n mile.它们离开港口1.5 h后分别位于点Q, R处, 且相距30 n mile.如果“远航”号沿东北方向航行, 那么“海 天”号沿什么方向航行？ 数学　八年级下册 解：依题意, 得 PQ＝16×1.5＝24(n mile), PR＝12×1.5＝18(n mile), QR＝30 n mile. ∵242＋182＝302, 即PQ2＋PR2＝QR2,∴∠QPR＝90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知, ∠QPS＝45°, 则∠SPR＝45°, 即“海天”号沿西北方向航行. 数学　八年级下册 5.如图, OA＝6, OB＝8, AB＝10, 点A在点O的北偏西40°方 向, 则点B在点O的 方向. 北偏东50° 数学　八年级下册 6.三角形的三边a, b, c满足(a＋b)2－c2＝2ab, 则此三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 B 数学　八年级下册 7.(新教材P37例3)如图, 在四边形ABCD中, AB＝5, BC＝3, AD＝ , DC＝ .如果AC⊥BC, 判断AC与AD是否也垂 直, 并说明理由. 数学　八年级下册 解：AC⊥AD.理由如下： ∵AC⊥BC, ∴∠ACB＝90°. 在Rt△ABC中, 由勾股定理, 得 AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16. ∴AC2＋AD2＝16＋ ＝ ＝DC2. ∴△ACD是直角三角形, ∠DAC＝90°, 即AC⊥AD. 数学　八年级下册 8.如图, 在一条东西走向河流的一侧有一村庄C, 河边原有 两个取水点A, B, 其中AB＝AC.由于某种原因, 由C到A的 路现在已经不通, 该村为方便村民取水, 决定在河边新建 一个取水点H(A, H, B在同一条直线上), 并新修一条路CH. 已知CB＝ km, CH＝2 km, HB＝1 km. (1)CH是否为从村庄C到河边最近的路？ 请计算说明. (2)新路CH比原路CA少多少千米？ 数学　八年级下册 解：(1)CH是从村庄C到河边最近的路. 理由如下： ∵CB＝ , CH＝2, HB＝1, ∴CB2＝CH2＋HB2. ∴△BCH为直角三角形, ∴△BCH为直角三角形,∠BHC＝90°. ∴CH⊥AB.∴CH为点C到AB的最短路线. 故CH是从村庄C到河边最近的路. 数学　八年级下册 (2)设AC＝x km, 则AB＝x km. ∴AH＝(x－1)km. 在Rt△ACH中, (x－1)2＋22＝x2, 解得x＝2.5, 即AC＝2.5 km. ∴AC－CH＝2.5－2＝0.5(km). 答：新路CH比原路CA少0.5 km. 数学　八年级下册 9.【易错题】如图, 在△ABC中, ∠ACB＝90°, AB＝5, BC ＝4.若点P从点A出发, 以每秒1个单位长度的速度沿折线 A→C→B→A运动(回到点A时停止运动), 设运动时间为t 秒. (1)当点P在BC上, 且满足PA＝PB时, 求出此时t的值； (2)当点P在AB上, 求t为何值时, △ACP是 以AC为腰的等腰三角形. 数学　八年级下册 解：(1)∵在△ABC中, ∠ACB＝90°, AB＝5, BC＝4, ∴由勾股定理, 得AC＝ ＝3. 如答图1, 连接AP.当PA＝PB时, PC＝t－3, PA＝PB＝7－t. 在Rt△PCA中, PC2＋AC2＝AP2, 即(t－3)2＋32＝(7－t)2,解得t＝ . 故当t＝ 时, PA＝PB. 数学　八年级下册 (2)①如答图2, ∴AC＋CB＋BP＝3＋4＋5－3＝9. 当AC＝AP＝3时, △ACP为等腰三角形, ∴t＝9÷1＝9. 数学　八年级下册 ②如答图3, 当AC＝CP时, 过点C作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中, 由勾股定理, 得AD＝ ＝ ＝1.8, ∴AP＝2AD＝3.6. ∴CA＋CB＋BP＝3＋4＋5－3.6＝8.4.∴t＝8.4÷1＝8.4. 综上所述, 当t的值为9或8.4时, △ACP是以AC为腰的等腰三角形. ∵ AC·BC＝ AB·CD, ∴CD＝2.4. 数学　八年级下册 $