7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习（新高考通）

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何与空间向量核心模块，以基本立体图形的结构认知和表面积体积的公式运算为核心考点，按“双基自测—核心梳理—题型突破—限时训练”逻辑架构整合知识，通过考点梳理构建空间几何体特征与公式体系，方法指导破解直观图还原、组合体切割等难点，真题训练强化数值运算与空间形态辨析能力，体现复习的系统性与针对性。 资料特色在于融合“空间观念”与“运算能力”核心素养，创新设计斜二测画法直观图与原图形互化、多面体展开图最短路径等专题突破策略，设置基础巩固到综合应用的分层练习。通过祖暅原理推导体积公式等教学活动，培养学生几何直观与逻辑推理能力，确保有限时间内高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第七章立体几何与空间向量 §7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【高考考向预测】 基本立体图形侧重柱锥台球结构认知，表面积与体积依托公式运算求解，常结合组合体考查；近三年为高考基础必考考点，小题高频出现，大题也常附带计算设问；预测2027 年依旧侧重常规几何体公式计算，融合切割拼接、镂空组合体题型，兼顾数值运算与空间形态辨析。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)菱形的直观图仍是菱形.(　 　) (2)圆台的母线长都相等.(　　) (3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　 　) (4)锥体的体积等于底面积与高之积.(　 　) 2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该三棱柱的体积为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是(　　) 4.已知球O的表面积与圆锥SO'的侧面积相等，且球O的直径与圆锥SO'的母线长均为4，则圆锥SO'的底面半径为　　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S表=4πR2 V=πR3 1.掌握三个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (3)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图. 2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 【题型突破●明方向】 题型一　基本立体图形 命题点1　结构特征 例1　(多选)(2025·南宁模拟)下面关于空间几何体叙述错误的是(　　) A.正四棱柱都是长方体 B.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 命题点2　直观图 例2　用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC的面积为3，则O'A'的长为(　　) A.2 B. C. D. 命题点3　展开图 例3　如图，已知三棱锥P-ABC的侧棱长均为2，∠APB=∠BPC=35°，∠APC=50°，点D在棱PA上，点E在棱PC上，则△BDE周长的最小值为(　　) A.4 B.4 C.2 D.6 跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中，正确的有(　　) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 C.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 (2)(2025·台州模拟)如图，水平放置的四边形ABCD由斜二测画法得到的直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'=O'B'=B'C'=1，则四边形ABCD的周长为(　　) A.6 B.12 C.8 D.10 (3)(2025·莆田模拟)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”，其意思为“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？”，若1丈=10尺，则葛藤最少长(　　) A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺 题型二　表面积与体积 命题点1　表面积 例4　(1)(2025·济南模拟)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为(　　) A.π B.2π C.4π D.8π (2)如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为(　　) A.12+3π B.12+1.5π C.24+2π D.24+1.5π 命题点2　体积 例5　(1) (2026·聊城模拟)瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘，通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为(　　) A.556π B.900π C.732π D.588π (2)(北师大版必修第二册P257习题6-6B组T3改编)如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上高FH=2，EF=，则该多面体的体积为　　　　. 跟踪训练2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π (2)(2025·湘潭模拟)如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6，当底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA1的中点；当侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好与AC交于点D，则AD等于(　　) A.2 B.4 C.3 D.6-3 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下面关于空间几何体叙述不正确的是(　　) A.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 2.(2025·达州模拟)如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2，A'B'=B'C'=1，则平面图形ABCD的面积为(　　) A.1 B. C. D.3 3.(2025·凉山模拟)某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥的高为(　　) A. B.1 C.2 D.π 4.(2025·大连模拟)空间中有一正方体ABCD-A1B1C1D1，将点A，B1，C，D1依次连接，得到体积为的三棱锥，则正方体的体积为(　　) A.12 B.24 C.6 D.3 5.(2026·潍坊模拟)不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图.已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为(　　) A.240π B.220π C.160π D.176π 6.(2025·玉溪模拟)已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，若点A，B，C，D在该圆锥的底面上，点A1，B1，C1，D1在该圆锥的侧面上，则a等于(　　) A. B. C.1 D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　　) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC=2 D.△PAC的面积为 8.(2025·肇庆期末)圆台O1O2如图所示，在轴截面ABCD中，AB=BC=AD=CD，CD=4，则(　　) A.该圆台的高为1 B.该圆台轴截面面积为3 C.该圆台的体积为 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·红桥模拟)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为　　　　. 10.(2025·包头模拟)如图，已知圆柱的轴截面为正方形ABCD，AB=BC=2，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A-BEF的体积为　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 12.(15分)如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积；(6分) (2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值.(9分) [每小题5分，共10分] 13.(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为(　　) A. B.+ C. D.- 14.(链接教材，人教A版必修第二册P121探究与发现)祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一水平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若用平行于半球底面的平面α去截半径为R的半球，且球心到平面α的距离为，则平面α所截得的较小部分(阴影所示称之为“球冠”)的几何体的体积是　　　　　　. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章立体几何与空间向量 §7.1　基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【高考考向预测】 基本立体图形侧重柱锥台球结构认知，表面积与体积依托公式运算求解，常结合组合体考查；近三年为高考基础必考考点，小题高频出现，大题也常附带计算设问；预测2027 年依旧侧重常规几何体公式计算，融合切割拼接、镂空组合体题型，兼顾数值运算与空间形态辨析。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)菱形的直观图仍是菱形.(　 　) (2)圆台的母线长都相等.(　　) (3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　 　) (4)锥体的体积等于底面积与高之积.(　 　) 【答案】（1）×（2）√（3）×（4）× 2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，则该三棱柱的体积为(　　) A.4 B.3 C.2 D. 【答案】C 【解析】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2， 所以S△ABC=×2×2×sin 60°=， 所以=S△ABC·AA1=2. 3.如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是(　　) 【答案】A 【解析】由斜二测画法的规则，与x'轴平行的线段长度不变， 注意到正方形的对角线在y'轴上，对角线长为， 经过斜二测画法后对角线会变为原来的一半， 故原图形的对角线长是2，只有A符合题意. 4.已知球O的表面积与圆锥SO'的侧面积相等，且球O的直径与圆锥SO'的母线长均为4，则圆锥SO'的底面半径为　　　　　. 【答案】4 【解析】设圆锥SO'的底面半径为r，其母线长为4， 则圆锥SO'的侧面积为4πr，球O的表面积为4π×=16π， 由题意可得4πr=16π，故r=4， 故圆锥SO'的底面半径为4. 【核心梳理●明考点】 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法. (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°或135°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S表=4πR2 V=πR3 1.掌握三个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. (3)直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图=S原图形，S原图形=2S直观图. 2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 【题型突破●明方向】 题型一　基本立体图形 命题点1　结构特征 例1　(多选)(2025·南宁模拟)下面关于空间几何体叙述错误的是(　　) A.正四棱柱都是长方体 B.两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C.直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 【答案】BCD 【解析】对于A，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，而长方体是底面为矩形的直棱柱，所以正四棱柱满足长方体的定义，正四棱柱都是长方体，A正确； 对于B，两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，比如两个底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错误； 对于C，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误； 对于D，根据圆台的定义，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分为圆台，D错误. 命题点2　直观图 例2　用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中B'C'=O'A'，A'B'⊥O'A'，若原平面图形OABC的面积为3，则O'A'的长为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】方法一　如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形OABC， 设O'A'=x，可得O'B'=x， 则OB=2O'B'=2x， BC=B'C'=，OA=O'A'=x， 且OB为原平面图形中梯形的高，所以原平面图形OABC的面积为S=×2x=3， 解得x=. 方法二　由S直观图=S原图形可得S直观图=， 设O'A'=x，则O'B'=x，B'C'=，A'B'=x， 根据直角梯形的面积公式得x=， 解得x=. 命题点3　展开图 例3　如图，已知三棱锥P-ABC的侧棱长均为2，∠APB=∠BPC=35°，∠APC=50°，点D在棱PA上，点E在棱PC上，则△BDE周长的最小值为(　　) A.4 B.4 C.2 D.6 【答案】C 【解析】如图，将三棱锥的侧面展开， 则△BDE周长的最小值为展开图中的线段B1B2的长. 在△PB1B2中，PB1=PB2=2，∠B1PB2=35°+35°+50°=120°， 在△PB1B2中，根据余弦定理可得 B1=P+P-2PB1·PB2cos 120° =22+22-2×2×2×=12， 所以B1B2=2， 即△BDE周长的最小值为2. 【思维升华】(1)辨别空间几何体的两种方法 ①定义法：紧扣定义进行判定； ②反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可. (2)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半. (3)在解决空间曲线(段)最短问题时一般考虑其展开图，采用化曲为直的策略，将空间问题平面化. 跟踪训练1　(1)(多选)下列命题中，正确的有(　　) A.圆柱的侧面展开图是一个矩形 B.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 C.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】AC 【解析】对于A，圆柱的侧面展开图是一个矩形，故A正确； 对于B，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故B错误； 对于C，由平行六面体的概念和性质可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 对于D，根据棱台的特征可知，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. (2)(2025·台州模拟)如图，水平放置的四边形ABCD由斜二测画法得到的直观图为矩形A'B'C'D'，已知A'O'=O'B'=B'C'=1，则四边形ABCD的周长为(　　) A.6 B.12 C.8 D.10 【答案】D 【解析】由题设知，原四边形ABCD中，AB=CD=A'B'=C'D'=2，且AB∥CD， 所以原四边形ABCD为平行四边形， 而O'C'=，则原四边形ABCD中，OC=2，OB=1，故AD=BC==3， 所以四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=10. (3)(2025·莆田模拟)我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？”，其意思为“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少？”，若1丈=10尺，则葛藤最少长(　　) A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺 【答案】C 【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如图所示， 矩形的高(即圆木长)为2×10=20(尺)，矩形的底边长为7×3=21(尺)， 因此葛藤最少长=29(尺). 题型二　表面积与体积 命题点1　表面积 例4　(1)(2025·济南模拟)已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上、下底面面积之差的绝对值为(　　) A.π B.2π C.4π D.8π 【答案】B 【解析】如图，设展开图小圆半径和大圆半径分别为r，R，则圆台侧面积S=(R2-r2)=4π，即R2-r2=8， 上底面半径r1==，下底面半径R1==， 圆台上、下底面面积之差的绝对值为|π-π|==|R2-r2|=2π. (2)如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为(　　) A.12+3π B.12+1.5π C.24+2π D.24+1.5π 【答案】D 【解析】所得几何体的表面积为 6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2 =24-0.5π+2π=24+1.5π. 命题点2　体积 例5　(1) (2026·聊城模拟)瓷器是由瓷石、高岭土、石英石、莫来石等烧制而成的，其外表施有玻璃质釉或彩绘，通过在窑内的高温烧制，瓷器表面的釉色会因为温度的不同从而发生各种化学变化.某瓷器可近似地看作由一个半球、一个圆柱和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为(　　) A.556π B.900π C.732π D.588π 【答案】D 【解析】由题图可知，半球和圆柱底面圆的半径均为6，圆柱的高为8，圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，高为9， 所以该瓷器的体积为×π×63+π×62×8+(62+22+)×9=588π. (2)(北师大版必修第二册P257习题6-6B组T3改编)如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，△FBC中BC边上高FH=2，EF=，则该多面体的体积为　　　　. 【答案】 【解析】连接EB，EC(图略).因为平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，FH⊥BC，FH⊂平面FBC，所以FH⊥平面ABCD. 又EF∥AB，EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，FH为四棱锥E-ABCD的高. 因为AB⊥BC，平面FBC⊥平面ABCD， 平面FBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面FBC， 因为EF∥AB，所以EF⊥平面FBC. 所以V=V四棱锥E-ABCD+V三棱锥E-FBC =S四边形ABCD·FH+S△FBC·EF =×32×2+××=. 【思维升华】求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体 积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 跟踪训练2　(1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为r， 则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等， 所以2πr×=πr×， 即2=，故r=3， 故圆锥的体积为π×9×=3π. (2)(2025·湘潭模拟)如图，一个三棱柱形容器中盛有水，AC=6，当底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA1的中点；当侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好与AC交于点D，则AD等于(　　) A.2 B.4 C.3 D.6-3 【答案】D 【解析】当底面ABC水平放置时，水面恰好过侧棱AA1的中点， 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，则水的体积为V， 当侧面AA1B1B水平放置时，三棱柱有水部分的体积为V， 则无水部分为水平放置的小三棱柱CDE-C1GH(一侧面为水面)，其体积为V， 由于三棱柱CDE-C1GH和三棱柱ABC-A1B1C1的高相同， 故S△CDE=S△CAB，由于DE∥AB， 则△CDE∽△CAB， 故=，而AC=6，故DC=3， 故AD=AC-DC=6-3. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下面关于空间几何体叙述不正确的是(　　) A.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 B.在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 C.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 【答案】C 【解析】对于A，因为母线长相等，所以圆锥过轴的截面是一个等腰三角形，A正确； 对于B，在圆柱的上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，B正确； 对于C，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，D正确. 2.(2025·达州模拟)如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2，A'B'=B'C'=1，则平面图形ABCD的面积为(　　) A.1 B. C. D.3 【答案】D 【解析】方法一　易知原图形为直角梯形ABCD，AB⊥AD，AB⊥BC，BC=B'C'=1，AD=A'D'=2，AB=2A'B'=2，故平面图形ABCD的面积为×(1+2)×2=3. 方法二　在梯形A'B'C'D'中，∠B'A'D'=45°，则该梯形的高为A'B'sin 45°=， 梯形A'B'C'D'的面积为S'=·=， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的2倍， 所以平面图形ABCD的面积S=2S'=2×=3. 3.(2025·凉山模拟)某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥的高为(　　) A. B.1 C.2 D.π 【答案】A 【解析】设圆锥底面圆半径为r，高为h，母线l=1， 则圆锥的侧面积为πrl=πr，轴截面面积为×2r×h=rh， 依题意=2π，解得h=， 故该圆锥的高为. 4.(2025·大连模拟)空间中有一正方体ABCD-A1B1C1D1，将点A，B1，C，D1依次连接，得到体积为的三棱锥，则正方体的体积为(　　) A.12 B.24 C.6 D.3 【答案】D 【解析】由题意可得，三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个体积相等的三棱锥体积， 即=----， 设正方体的边长为a， 则有=a3-4=a3⇒a=， 所以正方体体积为3. 5.(2026·潍坊模拟)不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成，如图.已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为(　　) A.240π B.220π C.160π D.176π 【答案】A 【解析】该陀螺的表面由圆柱的底面、圆柱的侧面和圆锥的侧面组成， 因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8， 则底面圆的面积为π×82=64π， 因为圆柱的高为6， 所以圆柱的侧面积为2×8π×6=96π， 根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8， 得圆锥母线长为=10， 所以圆锥的侧面积为π×8×10=80π， 所以该陀螺的表面积为64π+96π+80π=240π. 6.(2025·玉溪模拟)已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，若点A，B，C，D在该圆锥的底面上，点A1，B1，C1，D1在该圆锥的侧面上，则a等于(　　) A. B. C.1 D. 【答案】C 【解析】过正方体ABCD-A1B1C1D1的一组对棱AA1，CC1作圆锥SO的截面，如图所示， 由题意可得SO=2，ON=，OO1=a，SO1=SO-OO1=2-a， 面对角线AC=a， 所以OC=O1C1=a， 由O1C1∥ON，可得△SO1C1∽△SON， 所以=，即=，解得a=1. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2023·新高考全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　　) A.该圆锥的体积为π B.该圆锥的侧面积为4π C.AC=2 D.△PAC的面积为 【答案】AC 【解析】依题意，∠APB=120°，PA=2， 所以OP=1，OA=OB=. A项，圆锥的体积为×π×()2×1=π，故A正确； B项，圆锥的侧面积为π××2=2π，故B错误； C项，取AC的中点D，连接OD，PD，如图所示， 则AC⊥OD，AC⊥PD，所以∠PDO是二面角P-AC-O的平面角， 则∠PDO=45°，所以OP=OD=1， 故AD=CD==，则AC=2，故C正确； D项，PD==， 所以S△PAC=×2×=2，故D错误. 8.(2025·肇庆期末)圆台O1O2如图所示，在轴截面ABCD中，AB=BC=AD=CD，CD=4，则(　　) A.该圆台的高为1 B.该圆台轴截面面积为3 C.该圆台的体积为 D.一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】对于A，在梯形ABCD中，O1O2即为圆台的高，利用勾股定理计算可得O1O2===，故A错误； 对于B，轴截面梯形ABCD的面积为S=(AB+CD)·O1O2=×(2+4)×=3，故B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为π×22=4π，上底面圆的面积为π×12=π， 所以该圆台的体积为V=(4π+π+)×=，故C正确； 对于D，将圆台侧面沿母线BC剪开，其侧面展开图如图所示， 易知，的长度分别为2π，4π，设扇环的圆心为O，圆心角为θ，OB=r. 由弧长公式可知θr=2π，θ(r+2)=4π， 解得θ=π，r=2， 所以∠AOB=90°， 设E为AD的中点，连接EC，当小虫从点C沿着EC爬行到AD的中点，所经过的路程最短， 易知OE=3，OC=4，且OE⊥OC， 由勾股定理可知EC==5，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2026·红桥模拟)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为　　　　. 【答案】8π 【解析】设截面圆的半径为r，球的半径为R， 由题意可知解得 所以球的表面积为S=4πR2=4×π×()2=8π. 10.(2025·包头模拟)如图，已知圆柱的轴截面为正方形ABCD，AB=BC=2，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若AB⊥EF，则三棱锥A-BEF的体积为　　　　. 【答案】 【解析】如图，设圆柱的下底面的圆心为O，连接AG，BG，OG， 因为EF⊥AB，EF⊥BC，AB∩BC=B，AB，BC⊂平面ABCD， 所以EF⊥平面ABCD，且EF=2，S△ABG=AB·BC=2， 所以V三棱锥A-BEF=V三棱锥E-ABG+V三棱锥F-ABG=S△ABG·EG+S△ABG·FG=S△ABG·(EG+FG)=S△ABG·EF=×2×2=. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=4，BC=5，在梯形ABCD内，挖去一个以A为圆心，2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. 【解析】由题意知，所求几何体的表面由圆台下底面、侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，如图所示， 在Rt△DEC中，CD==5， 所以S半球=×4π×22=8π，S圆台侧=π×(2+5)×5=35π，S圆台下底=π×52=25π， 所以形成的几何体的表面积为S表=8π+35π+25π=68π. 因为圆台的体积V1=(π×22++π×52)×4=52π， 半球的体积V2=××π×23=， 所以所求几何体的体积为V=V1-V2=52π-=. 12.(15分)如图，AB是圆柱的底面直径，AP是圆柱的母线且AB=AP=4，点C是圆柱底面圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积；(6分) (2)若AC=2，D是PB的中点，点E在线段AP上，求CE+DE的最小值.(9分) 【解析】(1)由题知，底面半径为2，母线长为4， 所以圆柱的侧面积S=2π×2×4=16π， 圆柱的体积V=π×22×4=16π. (2)记底面圆心为O，连接OC， 因为底面半径为2，AC=2， 以AP所在直线为轴，将△APC旋转到△APC'，使得△APC'和轴截面PAB共面，如图， 则OC'=2+2=4，OD=2， 当C'，E，D三点共线时，CE+DE取得最小值=2. [每小题5分，共10分] 13.(2024·天津)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD=1，BE=2，CF=3，则该五面体的体积为(　　) A. B.+ C. D.- 【答案】C 【解析】用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌， 使得D，N；E，M；F，L重合， 因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1， AD=1，BE=2，CF=3， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面DGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形， 侧棱长l=1+3=2+2=3+1=4， V五面体ABC-DEF=V三棱柱ABC-JIH =S△DGK·l=××1×1××4 =. 14.(链接教材，人教A版必修第二册P121探究与发现)祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家.祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一水平面上，然后在圆柱内挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等.若用平行于半球底面的平面α去截半径为R的半球，且球心到平面α的距离为，则平面α所截得的较小部分(阴影所示称之为“球冠”)的几何体的体积是　　　　　　. 【答案】 【解析】∵V圆柱=πR2·=，V大圆锥=πR2·R=，V小圆锥=π·=， ∴V圆台=V大圆锥-V小圆锥=-=， ∴V球冠=V圆柱-V圆台=-=. 故所求几何体的体积为. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $