云南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期数学周末作业（10）

2027届高二下学期数学周末作业(10) 一、单选题： 1.已知z(1+i)=2+4i,则z=() A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 2.已知集合A={xx-2<2,xeZ,B={xeN3x≥x2},则AUB=() A.[0,4) B.(0,3) C.{0,1,2,3} D.{1,2,3} 3.记Sn为正项等比数列{an}的前n项和.若S4=5S2,a=32,则a2=() A月 C.2 D.-2 4设a>0且a≠1，b>0且b≠1，若10g.3+1og3 =1,则a+9b的最小值是() A.3 B.63 C.9 D.18 3,则sin2a-1 5.已知tana= () 2sin'a-1 1 A.1 B.7 D.-7 6.正多面体的研究始于古希腊柏拉图学派，正四面体与正八面体是其中最具代表 性的两类.将正四面体的棱的中点相连，内部会形成一个完美的正八面体，这一 结构是空间对称性的经典体现.如图，在正四面体ABCD中，连接各棱的中点构 造出正八面体PMNEFO,若该正八面体的相对顶点连线PQ=2√2，则正四面 体ABCD的高为() E D A.4v6 B.2√6 C.46 D.26 3 3 7.设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线与E交于A、B两点，若AB中点的纵坐 标为2，AB=8,则p=() A.22 B.2 C.2 D.1 8设商数)=snar-引o>0)向左平移m0<m<及 个单位后得到函数g(x)=sin@x,若 第1页/共12页 点P,2,R是函数f(x)与g(x)的图象上从左至右依次相邻的三个交点，且∠PQR 2π，则”=() A 27元 3 .3 C. D. 2元 二、多项选择题： 9.为研究某城市二手房销售价格与建筑面积的关系，甲房产研究机构随机调查了80套该城市二手房的建 筑面积x(单位：平方米)和销售价格y(单位：万元)的数据(x,y,)(i=1,2,,80),已知其中有一套 i=1 房源的数据为点P(100,220),且∑y,=17280,根据数据求得的线性经验回归方程为=1.8x+45, 该线性回归方程对应的相关系数为”，对应的决定系数R=0.956,则下列结论正确的是() A.r<0 B.数据点P对应的残差的绝对值为5 C.该样本中二手房的平均建筑面积为95平方米 D.乙房产研究机构也对这组数据进行处理，得到非线性经验回归方程)=2.5(x+10)+30,其决定 系数为R2=0.872,则甲机构选取的模型拟合效果更好 10.设函数f(x)=n(2-x)-lnx+mx+2m,则() A.当m=0时，f(x)只有一个零点 B.当m=0时，∫(x)在定义域内单调递增 C.对于任意实数m,f(x)的图象都是中心对称图形D.若∫(x)存在极值点，则一定存在两个 11.平面直角坐标系xOy中，直线：y=x,直线l:y=-x,动点P(x,y)满足x>y,过点P分别 作L、1的垂线，垂足分别为A、B,若PPB=2,则() A.动点P的轨迹方程为x2-y2=4 B.四边形PAOB的周长可以为2√5 C.直线AB与直线OP的斜率之积为2 D.+的最大值为 7 三、填空题： 12.在等腰直角VABC中，点D是斜边AC上靠近点A的三等分点，若BD=mBC+nBA,则m=; 13.把7个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放2个球，则甲、乙、丙三个小球放在同一个 盒子里的情况有种 14.平面直角坐标系中，曲线x三)x>0)上有一系列点CG(x,4),C,(5,),…对n∈N, 第2页/共12页 以Cn为圆心的圆Cn与x轴都相切，且圆Cn与圆Cn+1彼此外切.若x1<x,且x=1,记数列{x,x} 的前n项的和为3。，则使得，S,<2026恒成立的最小正整数m为一 四、解答题： 15.在VABC中，已知A8Ad=15,ABAC=-15 21 (1)求VABC的面积： (2)若BC=7,求VABC的周长. 面草角坐标系x0中，已知椭圆C:。+广a>6>0)的图象经 3 且椭圆C的右 焦点F的坐标为(1,0). (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为二的直线和椭圆C交于A,B两点，求OA·OB的值. 17.随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制.一 般地，k位二进制数可以表示为aak-1…a,，其中a,∈{0,1}(i=1,2,…,k),并约定4≠0，比如全体3 位二进制数构成的集合为100,101,110,111}.设全体n位二进制数构成的集合为A,其中正整数n≥2， 从集合A中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为5. (1)若n=5,求概率P(5>2): (2)若n=2026,记5=k的概率为Pk,当k·P.取得最大值时，求k的值. 第3页/共12页 18.已知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为2，点O,O分别为上下底面的中心，圆锥OO的顶点为O, 圆锥底面为正方形AB,CD,的内切圆，M为AD中点，如图所示. D (1)设点Q在圆锥OO,的底面圆周上运动 (i)求直线OQ和平面ABCD所成角的正弦值： (i)若CQ=√7，证明：CQ∥平面A,OB. D- M (2)设平面A,BCD和圆锥OO,侧面的公共点构成集合2，若P∈Q,求 A PM的最小值. 19.已知函数f(x)=e*-ax2.(其中e为自然对数的底数，e≈2.718) (1)求f(x)的图象在点(0,1)处的切线方程： (2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围： (3)若f()-f(2+f(2)-f(3++f(9)-f(10=f(1)+f(10),求实数a的值. 第4页/共12页 2027届高二下学期数学周末作业(10)答案 题号 1 2 3 4 6 1 9 10 11 答案 D A B B C BCD ACD AD 7.设过焦点F 2 的直线为x=my+ ,联立抛物线y2=2px得y2-2py-p2=0,设 2 A(,乃)，B(x,),由韦达定理得：片+乃=2pm,所以AB中点纵坐标为2Dm=2,即pm=2: 2 A、8两点代入直线x=心+号可得名=心+号，名=+号，则两式相加可得 2 x+x2=m(y+乃2)+p,所以弦长AB=x+x,+p=m(以+2)+p+p=2pm2+2p=8, 所似p公+小=4：叉因为m=2,印m名代入p+小=4可得P台+=4。 D 化简为p2-4p+4=0,解得p=2 8.函数f(x)向左平移m个单位后得到g(x)=sin gcsn0x,所以m尺2aKeZ,因为o>0,0<m<红，所以飞am取 3 3 k=0,则m=元令sin 30 Qx-T 上sin0x,则ox-行=or+2m(无解)或 3 =元-ox+2m(keZ),解得ox=2+km(k∈Z),即x=2π+@(k∈Z). 3 3 300 将ox=2亚+红代入g)=sinx，中得g()=sim25+a。 3 3 当k为偶数时，sin 2π +2n =sin 2πV3 3 32 当k为奇数时，sin （+a+s n3=- 过Q作QH⊥PR,则相邻两点在y轴方向上的距离为OH=V5, 又x=2红+红(k∈Z),则相邻交点的横坐标间隔为，则PR=2” 300 第5页/共12页 根据对称性可知，△POR为等腰三角形.又∠PQR=2 ,所以∠QPR=元 2H_2lgH√5_25_V3w 在Rt△PQH中， tan∠QPR= PRPR，即32π π，所以0=元 3 2 则m=元 =1m。13 30 x刀故0元元 3 3 2-x>0 10.对于A选项，将m=0代入可得，f(x)=n(2-x)-lnx,此时f(x)的定义域为 ,解 x>0 得0<x<2,当f(d)=0时，即n2-x=nl,解得x=1,所以当m=0时，f()只有一个零点， 故A正确： 2 对于B选顶，当mE0四h2-nx,/G2己2-图为0<x<2, 所以x(2-x)>0,故f'(x)<0,所以当m=0时，f(x)在定义域内单调递减，故B错误； 对于C选项，因为函数f(x)的定义域为(0,2)， f(1+x)=ln(2-(1+x)-ln(1+x)+m(1+x)+2m=n(1-x)-ln(1+x)+m(3+x), f(1-x)=ln(2-(1-x)-ln(1-x)+m(1-x)+2m=n(1+x)-n(1-x)+m(3-x), 所以f(1+x)+f(1-x)=[ln(1-x)-n(1+刈+m(3+x刘]+[n(1+刈-ln(1-刘+M3-]=6m, 所以对称中心为(1,3m),故C正确； 对于D选项，f(x)=ln(2-x)-lnx+mx+2m,f'(x)=m- x(2-x)1 当f'(x)=0时，解得m= x2=x)·令名x)ex222x(=x2x), 当x∈(0,2)时，h(x)∈(0，]，所以g(x)∈[2，+∞)，所以当m<2时，g(x)=m无解，无极值点： 当m=2时，g(x)=2的解为x=1,但在x=1两侧均有f'(x)<0,不变号，非极值点： 当m>2时，g(x)=m有两个解，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)单调递增，最小值为2， 所以当m>2时，存在两个极值点，故D正确， 第6页/共12页 1.对于A由圈意，PA1,PB14,且P4P8=2,则.±以=2，即k-=4, 2V2 又x>y,则x-y=4,所以动点P的轨迹方程为x2-y2=4,故A正确： 对于B,因为四边形PAOB为矩形，所以其周长为2(PA+PB)≥2·2√PA:PB=4W2,当且仅当 PA=PB=√2时等号成立，而4√2>2√5，则四边形PAOB的周长不可能为2√3，故B错误： 对于C,不妨设A在第一象限，B在第四象限，由于PA⊥I,则直线PA的方程为y一y=-(x一x), x=名+ 联立y-=-(x-）,解 2,则4，十 ,同理，PB⊥I2,则直线PB的 y=x y=龙+五 2 2 2 方程为y-y=x-X,联立 y-%=-0,解得 x=Xo-Yo 2 (y=-x y=-%o- （2 2 2 ++。-% 所以k4=,2X兰=，而o=飞，故kao=L,故C错误； 2 2 对于D,由A知，x号-好=4，则 名+五-(+)(-) 4xo 4 食=24e←L,则-0-00-】r-r+小则 4 f0=4(3r-2+=-4+1(31-),令f)>0,得-1<1<写令f0<0,得写1<1， 所以运数0)在(-写上单调指，在上单调递诚，则/0=) 故D正确. 2 13.18 14.507 解：根据题意，曲线生>0上的点CG滴足y,2x:因为圆C与x轴相跏 第7页/共12页 圆心纵坐标为。，故半径。=y,=2x:圆Cn与C的圆心距dn=Vx。-x)}+(y,-y)2, 半径之和为n+n1=yn+y1,因为圆Cn与C1外切，所以V(x。-xi)P+(y。-y)广 =yn+yn+1’ 化简得：(x,-xn)}=4yyn1,将y=2x代入上式可得：(x,-x)=42x,2x1=16xx 又因为无>≥1>0，所以，-4=4红，，即-=4，所以数列 为等差数列，首项： 1=1,公差4=4：通项：=1+(n-)4=4n-3→x,4n一 1 X 所以xnxa41= 1=1(1-1） 4n-3)(4n+1)44n-34n+1 所以-北传一】北 n 1 Sm=4n+14+ ,S随n增大递增，极限为3，→，即S,<对所有nN成立 n 恒成立条件：S,<026恒成立，芳2 202624,即m 2026 4 =506.5: 故最小正整数m=507结论：满足条件的最小正整数m为507. 15.解(1)设角4，B,C的对边分别为a,b,c,则由已知bc=15,bccos4=-15→cos4=- 2 2 因为AG0π，所snA子A故VABC的面积SnA5x55B 2 24 (2)由余弦定理a=Vb2+c2-2 becosA=VB2+c2+15=7, 所以b2+c2=34→(b+c)-2bc=34→b+c=V34+2bc=8, 所以VABC的周长I=a+b+c=15 由余弦定理a=Vb2+c2-2 bccosA=Vb2+c2+15=7, 所以b2+c2=34→(b+c)-2bc=34→b+c=√34+2bc=8, 所以VABC的周长l=a+b+c=15, 第8页/共12页 16解(1)依题意，箱圆的右焦点为F10),则左焦点为F(-L,0),设P 由陆圆的定义可短2a=Pr+r1=0-+径0+0+1：(}0=4。 所以a=2,可得b=√公-c=V5,所以椭圆的方程为父+上 4*31. 2》依题可设过点P的直线方程为x=,+1,将其相国方程 、=1联立，消元得 43 5+25y-9=0,设4，)86，则得男+为-25，- -9 (*), 5 于是oo=同++--}-}月 v4写开y-6号+=6-*%-3+ 格0代入0o4a8-6含号？)- 5 17.解：(1)5位二进制数形如1a4a,a2a,由于每个a,(i=1,2,3,4)有0,1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为24=16个.其中满足5>2的二进制数有5个， 分别为{100,1010,10010,10001,10000，所以P(5>2)=5 16 (2)2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数眼从二项分布，即5~2025》】 023 02 2025 所以p4=Cas2 记f(k)=C2s,则2：最大等价于f(飞)最大： f(k+）_(k+1)C05_k+1 2025! k1(2025-k_2025-k f(k) k(k+1)(2024-k)！ 2025! 第9页/共12页 所以f(k+1)>f(k)台2k<2025台k=0,1,2,,1012,此时f(k)单调递增： f(k+1)<f(k)台2k>2025台k=1013,1014,…,2025,此时f(k)单调递减， 所以f(1013)为最大值.综上，当k·Pk取得最大值时求k的值为1013. 18.解：(1)(i)解：由于OO⊥平面ABCD,所以OO为平面ABCD的法向量， 设直线Og和平面ABCD所成角为0，则sin6=cosO2,OO=cos∠Q00, 因为001平面4BCD→00100→c0s∠000-00- 5, 00V22+125 所以直线00和平面ABCD所成角的正弦值为2V5. (i)证明：因为CQ=√CC2+CQ2=√22+C02=V7→C2=V5, 因为圆锥底面圆的半径r=1,所以C02+r2=C92台√2+1P=√52， 所以OC⊥O2,结合O,C⊥B,D,可知B,D,Q共线.所以CQc平面CB,D. 下面证明平面CB,D∥平面AOB,由于BD∥BD→BD∥BO,结合BOs平面AOB,B,D,4 平面AOB,所以B,D∥平面AOB,由于AC∥AC→AO∥OC,显然AO=OC,所以AOCO 为平行四边形，所以CO∥AO,结合AO≤平面AOB,CO丈平面A,OB,所以CO∥平面A,OB, 由于BD,CO为平面CB,D,中的两条相交直线，所以平面CBD∥平面AOB, 因为CQc平面CB,D,所以CQ∥平面AOB (2)以0为原点，建立如图坐标系，此时A(1,-1,2),B(1,1,0),C(-1,1,0), M(0,-1,0),O(0,0,2),设P(x,y,z),则P在圆锥侧面上台OP=(x,y,z), 00=(00,2)的夹角余弦值为25，即 5 22 25 4 2√x2+y2+z2 5x2+y2+2=5①，设平面4BCD,的法向量为 BA·i=0-2b+2c=0 i=(a,b,c),由 →i=(0,1,1),P在平面ABCD,上 BC,i=0-2a=0 第10页/共12页 台BP,u=0台y+z=1②，PM=Vx2+(y+1)}+z2,结合①②可得， 42,11、√55 p=-0-+2-+=-2*3=-号+5 5 ,V314 取等条件(x,y,z)= 生555 所以PM的最小值为V5S 5 19.(1)因f'(x)=e-2x,则k彻=f'(0)=1,又f(0)=1,故切线方程为y=x+1. (2)由f(x)在R上单调递增，可得f'(x)=e-2a≥0在R上恒成立，记F(x)=e*-2ax,则 F'(x)=e-2a,若a>0,则F'(x)>0→x>ln(2a),此时F(x)单调递增；由 F'(x)<0→x<n(2a),则函数F(x)在(n(2a),+∞)上单调递增，在(-oo,ln(2a》上单调递减， F(x)=F(In(2a))=em()-2aln(2a)=2a(1-In(2a)). 只需F(ym≥0→2a1-lh(2a)20→as号，所以0<as号 若a<0,则F'(x)>0恒成立，故F(x)在R上单调递增，注意到x→-时F(x)→-o,不合题意： 若a=0,则F(x)=e>0,符合题意.综上，实数a的取值范围为 (3)依题需要讨论f(),f(2),,f(10)的大小关系，故不妨设x∈[山，+∞)， 由第2)间可如当ae0时f()单润递增. 当a<0时，f()=e-2m在xe[,+)时了()>0，仍有/()单调递增，即当a≤号均有f() 在[，+o)单调递增，此时∑/（间-f(i+1引=∑[f(i+1)-f(]=f(10)-f()=f10)+f(四）， 所以f()=0→e-a=0→a=e,这与a≤号矛盾，此时无解： 若a>号则f=-2a=2记g--2则/)与)在x21时同号， g()=e-之0→g()在，+w)单调递，此时g0=c-2a<0, x2 第11页/共12页 注意到x→+0时g(x)→+o,所以存在x,>1,使得g(x)=0, 若x∈[，)→g(x)<0→f'(x)<0:若x∈(x,+o)→g(x)>0→f"(x)>0, 所以f(x)在[1，o)单调递减，在(x,+∞)单调递增， 设≤6≤k+1,其中k∈N,等价于g(k)≤g）,g()≤gk+1),即 ≤a≤2k+0*, ①若k≥210，则f()>f(2)>…>f(10), 此时：立r回-f(+=[f间-f+小-f0-fo)=fo)+f0,则 ②若1≤k≤9且f(k+1)≥f(k),则f()>f(2)>…>f(k)≤f(k+1)<f(k+2)<<f(10), 此时/)-f+=[f)-f+]+2[f+)-f]=f0+fo)-2). e ef ek et+i 已知f(例=0，。-k2=0→a=是，代入（可得：k≤定52k+今k=2,验证 f(k+1)≥f()台f(k+1)≥0成立.故a=C符合题意. 4 ③若1≤k≤9且f(k+1)<f(k),则同理可得： ☒701+E0-02k+RF0&V了 代入)可得：2‘化+2+>ke化2,3，由于f化+1因)。f》0,遥-险证 可知只有k=1,a= 符合综上实数a的值为 4 4 第12页/共12页